Sujeto. Teoría de sistemas hacer cola.
Cada QS consta de un cierto número de unidades de servicio, que se denominancanales de servicio (Se trata de máquinas herramienta, carros de transporte, robots, líneas de comunicación, cajeros, vendedores, etc.). Cada QS está diseñado para servir a algunosflujo de aplicación (requisitos) llegando en algún momento aleatorio.
Clasificación QS según el método de procesamiento del flujo de entrada de aplicaciones.
Sistemas de colas
Con rechazos
(sin cola)
con una cola
cola limitada
con prioridad
En orden de llegada
Prioridad relativa
Prioridad absoluta
Por tiempo de servicio
Por longitud de cola
Clasificación por forma de funcionamiento:
abierto, es decir el flujo de solicitudes no depende del estado interno del QS;
cerrado, es decir el flujo de entrada depende del estado del QS (un trabajador de mantenimiento atiende todos los canales cuando fallan).
QS multicanal con espera
Un sistema con una longitud de cola limitada. Considerar Canal QS con espera, que recibe un flujo de solicitudes con intensidad. ; intensidad del servicio (para un canal) ; número de lugares en la fila
Los estados del sistema están numerados según el número de aplicaciones, relacionado con el sistema:
sin cola:
- todos los canales son gratuitos;
- un canal está ocupado, el resto están libres;
- ocupado -canales, el resto no lo son;
- todos están ocupados - no hay canales gratuitos;
hay una cola:
- todos los n canales están ocupados; una aplicación está en la cola;
- todos los n canales están ocupados, r solicitudes en la cola;
- Todos los n canales están ocupados y r solicitudes en la cola.
GSP se muestra en la fig. 9. Cada flecha tiene intensidades correspondientes de flujos de eventos. Según las flechas de izquierda a derecha, el sistema siempre se transfiere por el mismo flujo de aplicaciones con intensidad. , según las flechas de derecha a izquierda, el sistema es transferido por el flujo de servicio, cuya intensidad es igual a multiplicado por el número de canales ocupados.
Arroz. 9. QS multicanal con espera
Probabilidad de fracaso.
(29)
El rendimiento relativo complementa la probabilidad de falla a uno:
Rendimiento absoluto de QS:
(30)
Número medio de canales ocupados.
El número promedio de solicitudes en la cola se puede calcular directamente como la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta:
(31)
Dónde .
Aquí nuevamente (expresión entre paréntesis) se produce la derivada de la suma de una progresión geométrica (ver arriba (23), (24) - (26)), usando la relación para ello, obtenemos:
Número promedio de aplicaciones en el sistema:
Tiempo medio de espera de una solicitud en la cola.
(32)
Al igual que en el caso de un QS de espera de un solo canal, observamos que esta expresión difiere de la expresión para la longitud promedio de la cola solo por el factor , es decir.
.
Tiempo medio de residencia de una aplicación en el sistema, igual que para un QS monocanal 
.
Sistemas con longitud de cola ilimitada. Hemos revisado canal QS con espera, cuando no pueden haber más de m solicitudes en la cola al mismo tiempo.
Al igual que antes, al analizar sistemas sin restricciones, es necesario considerar las relaciones obtenidas para .
Probabilidad de falla
El número medio de solicitudes en cola se obtendrá en de (31):
,
y el tiempo medio de espera es de (32): 
.
Número medio de solicitudes .
Ejemplo 2 Gasolinera con dos columnas (n = 2) atiende el flujo de automóviles con intensidad =0,8 (coches por minuto). Tiempo medio de servicio por máquina:
No hay otra gasolinera en la zona, por lo que la cola de coches delante de la gasolinera puede crecer casi indefinidamente. Encuentra las características del QS.
director de marketing con tiempo limitado Expectativas. Anteriormente, consideramos sistemas con espera limitada solo por la longitud de la cola (el número de m clientes simultáneamente en la cola). En tal QS, un reclamo que se ha convertido en una cola no sale de ella hasta que espera servicio. En la práctica, existen QS de otro tipo, en los que la aplicación, después de esperar un tiempo, puede abandonar la cola (las llamadas aplicaciones "impaciente").
Considere un QS de este tipo, suponiendo que la restricción del tiempo de espera es una variable aleatoria.
Poisson "flujo de fugas" con intensidad:
Si este flujo es Poisson, entonces el proceso que ocurre en el QS será Markov. Encontremos las probabilidades de estados para ello. La numeración de los estados del sistema está asociada con la cantidad de solicitudes en el sistema, tanto atendidas como en cola:
sin cola:
- todos los canales son gratuitos;
- un canal está ocupado;
- dos canales están ocupados;
- todos los n canales están ocupados;
hay una cola:
- todos los n canales están ocupados, hay una solicitud en la cola;
- todos los n canales están ocupados, las r solicitudes están en la cola, etc.
El gráfico de estados y transiciones del sistema se muestra en la fig. 10.
Arroz. 10. CMO con tiempo de espera limitado
Etiquetemos este gráfico como antes; todas las flechas que van de izquierda a derecha tendrán la intensidad del flujo de aplicaciones . Para los estados sin cola, las flechas que van desde ellos de derecha a izquierda tendrán, como antes, la intensidad total del flujo de servicio de todos los canales ocupados. En cuanto a los estados con cola, las flechas que salen de ellos de derecha a izquierda tendrán la intensidad total del flujo de servicio de todos los n canales. más la intensidad correspondiente del flujo de salida de cola. Si hay r-entradas en la cola, entonces la intensidad total del flujo de salidas será igual a .
Número promedio de solicitudes en la cola: (35)
Para cada una de estas solicitudes, hay un "flujo de salida" con una intensidad . Entonces del promedio - las solicitudes en cola saldrán en promedio sin esperar el servicio, -las solicitudes por unidad de tiempo y el total por unidad de tiempo se atenderán en promedio - aplicaciones. El rendimiento relativo del QS será: 
Canales ocupados promedio todavía se obtiene dividiendo el rendimiento absoluto de A por Cerrado QS
Hasta ahora hemos considerado sistemas en los que el flujo entrante no está conectado de ninguna manera con el saliente. Estos sistemas se denominan abiertos. En algunos casos, las solicitudes atendidas, después de un retraso, vuelven a ingresar a la entrada. Estos QS se denominan cerrados. Un policlínico que atiende un área determinada, un equipo de trabajadores asignados a un grupo de máquinas, son ejemplos de sistemas cerrados.
En un QS cerrado circula el mismo número finito de necesidades potenciales. Hasta que un requisito potencial se haya materializado como requisito de servicio, se considera que está en un bloque de retraso. En el momento de la implementación, ingresa al propio sistema. Por ejemplo, los trabajadores atienden a un grupo de máquinas. Cada máquina es una necesidad potencial, que se convierte en una necesidad real en el momento en que se avería. Mientras la máquina está en funcionamiento, está en la unidad de retardo, y desde el momento de la avería hasta el final de la reparación, está en el propio sistema. Cada trabajador es un canal de servicio. = =P 1 + 2 PAG 2 +…+(n- 1 )PAG norte- 1 +n( 1 -PAG La entrada de un QS de tres canales con fallas recibe un flujo de aplicaciones con una intensidad \u003d 4 solicitudes por minuto, tiempo para atender una aplicación por un canalt servicio=1/μ =0,5 min. ¿Es ventajoso desde el punto de vista del rendimiento de QS forzar a los tres canales a atender aplicaciones a la vez y reducir el tiempo medio de servicio en un factor de tres? ¿Cómo afectará esto al tiempo promedio que pasa una aplicación en el CMO?
Ejemplo 2 . /μ=2, ρ/norte =2/3<1.
Tarea 3:
Dos trabajadores atienden a un grupo de cuatro máquinas. Las paradas de una máquina en marcha se producen en promedio después de 30 minutos. El tiempo medio de preparación es de 15 minutos. El tiempo de funcionamiento y el tiempo de preparación se distribuyen exponencialmente.
Encuentre la proporción promedio de tiempo libre de cada trabajador y el tiempo promedio que la máquina está funcionando.
Encuentre las mismas características para un sistema donde:
a) se asignan dos máquinas a cada trabajador;
b) dos trabajadores atienden siempre la máquina juntos y con doble intensidad;
c) la única máquina defectuosa es atendida por ambos trabajadores a la vez (con doble intensidad), y cuando aparece al menos una máquina defectuosa más, comienzan a trabajar por separado, cada uno atendiendo a una máquina (primero, describa el sistema en términos de muerte y procesos de nacimiento).
El sistema recibe un flujo de requerimientos de Poisson con intensidad λ, el flujo de servicio tiene intensidad μ, el número máximo de lugares en la cola es T. Si un reclamo ingresa al sistema cuando todos los lugares en la cola están ocupados, deja el sistema sin atender.
Las probabilidades finales de los estados de tal sistema siempre existen, ya que el número de estados es finito:
S 0 – el sistema está libre e inactivo;
S 1: se atiende una solicitud, el canal está ocupado, no hay cola;
S 2: se atiende una solicitud, otra está en la cola;
S metro +1 - se entrega una solicitud, t cola.
El gráfico de estado de dicho sistema se muestra en la Figura 5:
S 0 S 1 S 2 S m+1
μ μ μ ………. μ μ
Figura 5: QS de un solo canal con cola limitada.
En la fórmula para R 0 encontrar la suma de un número finito de miembros de una progresión geométrica:
(52)
Teniendo en cuenta la fórmula de ρ, obtenemos la expresión:
Hay (m+2) elementos de una progresión geométrica entre paréntesis con el primer miembro 1 y el denominador ρ. Según la fórmula para la suma (m + 2) de los miembros de la progresión:
(54)
(55)
Las fórmulas para las probabilidades de estados límite quedarán así:
Probabilidad de denegación de servicio Definimos una solicitud como la probabilidad de que cuando una solicitud ingrese al sistema, su canal esté ocupado y todos los lugares de la cola también estén ocupados:
(57)
De ahí la probabilidad de servicio.(así como de ancho de banda del operador) son iguales a las probabilidades del evento opuesto:
Ancho de banda absoluto es el número de solicitudes atendidas por el sistema por unidad de tiempo:
(59)
Número promedio de solicitudes bajo servicio:
(60)
(61)
Número promedio de aplicaciones en el sistema:
(62)
En Mathcad se puede considerar un QS de un solo canal con una cola limitada.
Ejemplo:
El estacionamiento da servicio a 3 autos con un caudal de 0.5 y un tiempo promedio de servicio de 2.5 minutos. Determinar todos los indicadores del sistema.
6 Smoo multicanal con cola ilimitada
Sea un sistema S que tiene PAG canales de servicio que reciben el flujo más simple de solicitudes con intensidad λ. Sea el flujo de servicio también el más simple y tenga intensidad μ. La cola para el servicio no es limitada.
Por el número de aplicaciones en el sistema, denotamos los estados del sistema: S 0 ,S 1 ,S 2 ,…,S k ,… S n , donde S k – el estado del sistema cuando hay k solicitudes en él (el número máximo de solicitudes bajo servicio es n). El gráfico de estado de dicho sistema se muestra como un diagrama en la Figura 6:
λ λ λ λ λ λ λ
……. …….
S 0 S 1 S 2 S m+1 S n
µ 2 µ 3 µ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ
Figura 6: QS multicanal con cola ilimitada.
La intensidad del flujo de servicios varía en función del estado del sistema: kμ al pasar del estado S k al estado S k -1 ya que cualquiera de los k canales; Después de que todos los canales están ocupados con el servicio, la intensidad del flujo de servicios sigue siendo igual a pμ, al recibir las siguientes aplicaciones en el sistema.
Para encontrar las probabilidades finales de estados, obtenemos fórmulas similares a cómo se hizo para un sistema monocanal.
(63)
Por lo tanto, las fórmulas para las probabilidades finales se expresan en términos de
Para encontrar R 0 obtenemos la ecuación:
Para los términos entre paréntesis, comenzando desde el (n + 2), puedes aplicar la fórmula para encontrar la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente con el primer término 
y denominador ρ/n:
(66)
Finalmente, obtenemos la fórmula de Erlang para encontrar la probabilidad de tiempo de inactividad del sistema:
(67)
Demos fórmulas para calcular los principales indicadores de la eficiencia del sistema.
El sistema hará frente al flujo de solicitudes si
condición
,
(68)
lo que significa que la cantidad de solicitudes recibidas por el sistema por unidad de tiempo no excede la cantidad de solicitudes atendidas por el sistema durante el mismo tiempo. Donde probabilidad de denegación de servicio es igual a cero.
De aquí probabilidad de servicio(así como rendimiento relativo sistemas) son iguales a las probabilidades del evento opuesto, es decir, a la unidad:
(69)
Absolutorendimiento- el número de solicitudes atendidas por el sistema por unidad de tiempo:
(70)
Si el sistema hace frente al flujo de aplicaciones, entonces en modo estacionario tasa de salida es igual a la intensidad del flujo de solicitudes que ingresan al sistema, ya que todas las solicitudes son atendidas:
ν=λ . (71)
Dado que cada canal atiende μ solicitudes por unidad de tiempo, entonces canales ocupados promedio se puede calcular:
(72)
Promediotiemposervicio un canal de aplicación ;
.
(73)
La probabilidad de que al entrar al sistema un pedido acabe en cola es igual a la probabilidad de que haya más de PAG aplicaciones:
(74)
El número de aplicaciones en servicio, es igual al número de canales ocupados:
(75)
Número promedio de solicitudes en la cola:
(76)
Entonces promedionúmeroaplicacionesen el sistema:
(77)
Tiempo medio de residencia de una aplicación en el sistema (en la cola):
(78)
(79)
En el sistema Mathcad se puede considerar un QS multicanal con una cola ilimitada.
Ejemplo 1:
La peluquería cuenta con 5 maestros. En hora punta, la intensidad del flujo de clientes es de 6 personas. A la una. El servicio de un cliente dura una media de 40 minutos. Determine la longitud promedio de la cola, suponiendo que es ilimitada.
Fragmento de resolución del problema en Mathcad.
Ejemplo 2:
La taquilla del tren tiene 2 ventanillas. El tiempo para atender a un pasajero es de 0,5 minutos. Los pasajeros se acercan a la taquilla en grupos de 3. Determine todas las características del sistema.
Fragmento de resolución del problema en Mathcad.
Continuación de la solución del problema en Mathcad.
En la práctica, el QS de un canal con cola es bastante común (un médico que atiende a los pacientes; un teléfono público con una cabina; una computadora que cumple con los pedidos de los usuarios). En la teoría de las colas, los QS de un solo canal con cola también ocupan un lugar especial (la mayoría de las fórmulas analíticas obtenidas hasta ahora para sistemas no markovianos pertenecen a tales QS). Por lo tanto, prestaremos especial atención al QS monocanal con cola.
Sea un QS monocanal con una cola a la que no se le imponen restricciones (ni en la longitud de la cola ni en el tiempo de espera). Este QS recibe un flujo de aplicaciones con intensidad λ; el flujo de servicios tiene una intensidad μ que es inversa al tiempo medio de atención de la solicitud tb. Se requiere encontrar las probabilidades finales de los estados QS, así como las características de su eficiencia:
Lsyst: el número promedio de aplicaciones en el sistema,
Wsyst es el tiempo medio de residencia de una aplicación en el sistema,
Loch: el número promedio de solicitudes en la cola,
Woch: el tiempo promedio que la aplicación permanece en la cola,
Rzan: la probabilidad de que el canal esté ocupado (el grado de carga del canal).
En cuanto al rendimiento absoluto A y Q relativo, no es necesario calcularlos: debido a que la cola es ilimitada, cada aplicación será atendida tarde o temprano, por lo tanto A = λ, por la misma razón Q = 1.
Solución. Los estados del sistema, como antes, se numerarán según el número de aplicaciones en el QS:
S0 - el canal está libre,
S1: el canal está ocupado (atiende la solicitud), no hay cola,
S2: el canal está ocupado, hay una solicitud en la cola,
Sk: el canal está ocupado, k: hay 1 solicitud en la cola.
En teoría, el número de estados no está limitado por nada (infinitamente). El gráfico de estado tiene la forma que se muestra en la Fig. 4.11. Este es un esquema de muerte y reproducción, pero con un número infinito de estados. Para todas las flechas, el flujo de solicitudes con intensidad λ transfiere el sistema de izquierda a derecha, y de derecha a izquierda, el flujo de servicios con intensidad μ.
Arroz. 4.11. Gráfico de estados QS en forma de esquema de muerte y reproducción con un número infinito de estados.
En primer lugar, preguntémonos: ¿existen probabilidades finales en este caso? Después de todo, el número de estados del sistema es infinito y, en principio, cuando t→∞, ¡la cola puede crecer indefinidamente! Sí, es cierto: las probabilidades finales de tal QS no siempre existen, sino sólo cuando el sistema no está sobrecargado. Se puede demostrar que si p es estrictamente menor que uno (p<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!
Pero volvamos a nuestro QS monocanal con cola ilimitada. Estrictamente hablando, las fórmulas para las probabilidades finales en el esquema de muerte y reproducción las dedujimos sólo para el caso de un número finito de estados, pero las usaremos también para un número infinito de estados. Calculemos las probabilidades finales de estados según las fórmulas (4.21), (4.20). En nuestro caso, el número de términos de la fórmula (4.21) será infinito. Obtenemos la expresión para p0:
dóndeLas probabilidades p1, p2, ..., pk, ... se pueden encontrar mediante las fórmulas:
de donde, teniendo en cuenta (4.38), encontramos finalmente:
pag 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., paquete= ρ4(1- ρ), . . . (4.39)
Como puedes ver, las probabilidades p0, p1, ..., pk, ... forman una progresión geométrica con el denominador p. Curiosamente, el máximo de ellos p0 es la probabilidad de que el canal esté libre. No importa qué tan cargado esté el sistema con la cola, si tan solo pudiera hacer frente al flujo de aplicaciones (p<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.
Encontremos el número promedio de aplicaciones en QS Lsyst. La variable aleatoria Z (el número de aplicaciones en el sistema) tiene valores posibles 0, 1, 2, ..., k, ... con probabilidades p0, p1, p2, ..., pk, ... Su la expectativa matemática es igual a
| |
(la suma no se toma de 0 a ∞, sino de 1 a ∞, ya que el término cero es igual a cero).
Sustituyamos en la fórmula (4.40) la expresión para рk (4.39):
Ahora sacamos p (1 - p) del signo de la suma:
Aquí volvemos a aplicar el “pequeño truco”: kpk-1 no es más que la derivada con respecto a p de la expresión pk; Medio,
Intercambiando las operaciones de diferenciación y suma, obtenemos:
Bueno, ahora apliquemos la fórmula de Little (4.25) y encontremos el tiempo promedio de residencia de una orden en el sistema:
| |
Encuentre el número promedio de solicitudes en la cola de Loch. Argumentaremos de la siguiente manera: la cantidad de aplicaciones en la cola es igual a la cantidad de aplicaciones en el sistema menos la cantidad de aplicaciones en servicio. Esto significa (de acuerdo con la regla de suma de expectativas matemáticas), el número promedio de aplicaciones en la cola Lch es igual al número promedio de aplicaciones en el sistema Lsyst menos el número promedio de aplicaciones bajo servicio. El número de solicitudes en servicio puede ser cero (si el canal está libre) o uno (si está ocupado). La expectativa matemática de dicha variable aleatoria es igual a la probabilidad de que el canal esté ocupado (lo denotamos como Rzan). Obviamente, Pzan es igual a uno menos la probabilidad p0 de que el canal esté libre:
y finalmente
Por tanto, se han encontrado todas las características de la eficiencia QS.
Sugerimos al lector que resuelva un ejemplo por su cuenta: un QS monocanal es un patio de clasificación ferroviaria, que recibe el flujo más simple de trenes con una intensidad de λ = 2 (trenes por hora). El mantenimiento (disolución) de la composición dura un tiempo aleatorio (demostrativo) con un valor medio de tb = 20 (min.). En el parque de llegadas de la estación, hay dos vías en las que los trenes que llegan pueden esperar el servicio; si ambas vías están ocupadas, los trenes se ven obligados a esperar en las vías exteriores. Se requiere encontrar (para el modo de operación estacionario límite de la estación): el número promedio de trenes Lsyst asociados con la estación, el tiempo promedio Wsyst de permanencia del tren en la estación (en vías internas, en vías externas y en mantenimiento), el número medio Lch de trenes que esperan en la cola para su disolución (no importa en qué vía), el tiempo medio Wch de permanencia del tren en la cola. Además, intente encontrar el número medio de trenes que esperan para disolverse en las vías externas Lext y el tiempo medio de espera de este Wext (los dos últimos valores están relacionados mediante la fórmula de Little). Finalmente, encuentre la multa diaria total W que la estación tendrá que pagar por el retraso de los trenes en vías exteriores, si la estación paga la multa a (rublos) por una hora de retraso de un tren. Por si acaso, informamos las respuestas: Lcist = 2 (composición), Wsyst = i (hora), Loch = 4/3 (composición), Woch = 2/3 (horas), Lext = 16/27 (composición), Wext = 8 /27 ≈ 0,297 (horas). La multa media diaria W por esperar trenes en vías exteriores se obtiene multiplicando el número medio de trenes que llegan a la estación por día, el tiempo medio de espera de un tren en vías exteriores y la sanción horaria a: W ≈ 14,2a.
QS multicanal con cola ilimitada
Consideremos la tarea. Disponible QS de canal n con cola ilimitada. El flujo de aplicaciones que ingresan al QS tiene una intensidad l, y el flujo de servicios tiene una intensidad m, es necesario encontrar las probabilidades límite de los estados del QS y los indicadores de su eficiencia.
El sistema puede estar en uno de los estados S0, S1, S2, ..., Sk .., Sn, ..., numerados según el número de solicitudes en el QS: S0 - no hay solicitudes en el sistema ( todos los canales son gratuitos); S - un canal está ocupado, el resto están libres; S2-- dos canales están ocupados, el resto están libres; Sk -- k canales están ocupados, el resto están libres; Sn: los n canales están ocupados (no hay cola); Sn+1: los n canales están ocupados y hay una solicitud en la cola; Sn+r: los n canales están ocupados, r solicitudes están en la cola.
El gráfico de estado del sistema se muestra en la Figura 7. Prestemos atención al hecho de que, a diferencia del QS anterior, la intensidad del flujo de servicio (transfiriendo el sistema de un estado a otro de derecha a izquierda) no permanece constante , pero a medida que el número de solicitudes en el QS aumenta de 0 a n aumenta de ma n??, a medida que el número de canales de servicio aumenta en consecuencia. Cuando el número de solicitudes en el QS es mayor que n, la intensidad del flujo de servicio sigue siendo igual a nm.
Figura 7 - Gráfico de estados de QS multicanal
Se puede demostrar que para c/n< 1 предельные вероятности существуют. Если с/n ? 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (20) и (21) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью
La probabilidad de que la aplicación esté en la cola,
Para un QS de n canales con una cola ilimitada, usando los trucos anteriores, se puede encontrar:
canales ocupados promedio
número promedio de aplicaciones en el sistema
El tiempo medio de residencia de una aplicación en la cola y el tiempo medio de residencia de una aplicación en el sistema, como antes, se calculan utilizando las fórmulas de Little (48) y (49).
Comentario. Para un QS con cola ilimitada para s< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк = 0, Q=1, а равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = л.
QS con cola limitada
Los QS con una cola limitada se diferencian únicamente en que el número de solicitudes en la cola es limitado (no puede exceder un determinado m). Si llega un nuevo reclamo en el momento en que todos los lugares de la cola están ocupados, deja el QS sin atender, es decir. es rechazado.
QS de un solo canal con longitud de cola limitada
Probabilidades marginales:
Probabilidad de falla:
Ancho de banda absoluto
Ancho de banda relativo
Número medio de solicitudes en la cola
Número promedio de solicitudes bajo servicio (número promedio de canales ocupados)
Número medio de aplicaciones en el sistema.
QS multicanal con cola limitada
Probabilidades marginales:
Probabilidad de falla:
Ancho de banda absoluto
Ancho de banda relativo
Número medio de solicitudes en la cola
Número promedio de solicitudes bajo servicio (número promedio de canales ocupados)
Considere un QS multicanal (PAG> 1), cuya entrada recibe un flujo de solicitudes de Poisson con intensidad y la intensidad del servicio de cada canal es p, el número máximo posible de lugares en la cola está limitado por el valor T. Los estados discretos del QS están determinados por la cantidad de solicitudes recibidas por el sistema, que se puede escribir:
Sq: todos los canales son gratuitos, k = 0;
S- solo un canal está ocupado (cualquiera), k = 1;
*5*2 - sólo dos canales están ocupados (cualquiera), k = 2;
sn- todos están ocupados PAG canales, k = pag.
Mientras el QS esté en cualquiera de estos estados, no hay cola. Una vez que todos los canales de servicio están ocupados, las solicitudes posteriores forman una cola, lo que determina el estado posterior del sistema:
S norte + - todos están ocupados PAG canales y una aplicación está en la cola, k = PAG + 1;
S n +2 - todo ocupado PAG canales y dos aplicaciones están en la cola, k = PAG + 2;
Sn+m- todos están ocupados PAG cuerdas y todo t lugares en fila k = norte + metro.
Canal i del gráfico de estado director de marketing Con cola, limitado t lugares, como se muestra en la Fig. 5.18.
La transición del QS al estado con números más altos está determinada por el flujo de solicitudes entrantes con la intensidad
Arroz. 5.18
que, por condición, la atención de estas solicitudes es atendida por PAG canales idénticos con un caudal de servicio igual a p para cada canal. Al mismo tiempo, la intensidad total del flujo de servicios aumenta con la conexión de nuevos canales hasta tal estado. S n , cuando todo PAG Los canales estarán ocupados. Con la llegada de la cola, la intensidad del servicio ya no aumenta, ya que ya alcanzó el valor máximo igual a ph.
Escribamos expresiones para las probabilidades límite de estados.
La expresión de rho se puede convertir usando la fórmula de progresión geométrica para la suma de términos con denominador p /PAG:
La formación de una cola es posible cuando una solicitud recién recibida encuentra en el sistema al menos PAG requisitos, es decir cuando el sistema estará pag, pag + 1, PAG + 2, (PAG + t- 1) requisitos. Estos eventos son independientes, por lo que la probabilidad de que todos los canales estén ocupados es igual a la suma de las respectivas probabilidades. r u Rp + rp +2 > ->Rp+t- 1- Por tanto, la probabilidad de formar una cola es
La probabilidad de una denegación de servicio ocurre cuando todos PAG canales y todo t los lugares en la cola están ocupados
El rendimiento relativo será igual a
Ancho de banda absoluto
Canales ocupados promedio
Canales inactivos promedio
Tasa de ocupación (uso) de canales
Relación de inactividad del canal
El número medio de solicitudes en las colas,
si r/n = 1, esta fórmula toma una forma diferente:
El tiempo medio de espera en la cola está determinado por las fórmulas de Little. 
El tiempo medio de permanencia de una aplicación en el QS, como en el caso de un QS monocanal, es mayor que el tiempo medio de espera en la cola en un tiempo medio de servicio igual a 1/p, ya que la aplicación siempre es atendida por un solo canal. :
Ejemplo 5.21. El minimercado recibe un flujo de clientes con una intensidad de seis clientes por minuto, los cuales son atendidos por tres controladores de caja con una intensidad de dos clientes por minuto. La longitud de la cola está limitada a cinco clientes. Determinar las características del QS y evaluar su desempeño.
Solución
norte = 3; t = 5; x=6; pag = 2; pag =x/x = 3; r/n = 1.
Encontramos las probabilidades límite de los estados QS:
Proporción de tiempo de inactividad de los controladores-cajeros
La probabilidad de que sólo un canal esté ocupado.
La probabilidad de que dos canales estén ocupados sirviendo.
La probabilidad de que los tres canales estén ocupados es
La probabilidad de que los tres canales y los cinco lugares de la cola estén ocupados es
La probabilidad de denegación de servicio ocurre cuando k=t+n== 5 + 3 = 8 y es p$ = p OTK = 0,127.
Los rendimientos relativos y absolutos del QS son respectivamente iguales a q = 1 - ok= 0,873 y l = 0,873A. = 5,24 (comprador/min).
El número medio de canales ocupados y la longitud media de la cola son:
El tiempo medio de espera en la cola n estancia en el QS, respectivamente, es igual a:
El sistema de servicio de un minimercado merece grandes elogios, ya que la duración media de la cola y el tiempo medio que pasa el comprador en la cola son pequeños.
Ejemplo 5.22. En promedio, después de 30 minutos, los coches con productos hortofrutícolas llegan a la base hortofrutícola. El tiempo medio de descarga de un camión es de 1,5 horas y la descarga la realizan dos equipos de cargadores. En el territorio de la base, en el embarcadero, no pueden estar en fila más de cuatro vehículos esperando la descarga. Determinemos los indicadores y demos una valoración del trabajo del QS.
Solución
SMO de dos canales, PAG= 2 con un número limitado de lugares en la cola metro= 4, la intensidad del flujo entrante l. \u003d 2 auto / h, intensidad de servicio c \u003d 2/3 auto / h, intensidad de carga p \u003d A. / p \u003d 3, r/n = 3/2 = 1,5.
Determinamos las características del QS:
La probabilidad de que no todas las tripulaciones estén cargadas cuando no hay vehículos,
La probabilidad de rechazo cuando hay dos coches descargando y cuatro coches en cola,
Número promedio de autos en fila
La proporción de tiempo de inactividad de los cargadores es muy pequeña y representa sólo el 1,58% del tiempo de trabajo, y la probabilidad de rechazo es alta: al 36% de las solicitudes recibidas se les niega la descarga, ambos equipos están casi completamente ocupados, la tasa de empleo está cerca de la unidad y es igual a 0,96, el rendimiento relativo es bajo: solo se atenderá el 64% del número de solicitudes recibidas, la longitud promedio de la cola es de 2,6 vehículos, por lo tanto, CM O ns no puede hacer frente a la ejecución de solicitudes de servicio y es necesario aumentar el número de equipos de carga y aprovechar más el embarcadero.
Ejemplo 5.23. Una empresa comercial recibe hortalizas tempranas de los invernaderos de una granja estatal suburbana en momentos aleatorios con una intensidad de 6 unidades. en un día. Cuartos de servicio, equipos y recursos laborales le permite procesar y almacenar productos en la cantidad de 2 unidades. La empresa emplea a cuatro personas, cada una de las cuales, en promedio, puede procesar los productos de una entrega en 4 horas. trabajo por turnos son 12 horas ¿Cuál debe ser la capacidad del almacén para que el procesamiento completo de los productos sea al menos el 97% del número de entregas?
Solución
Resolvamos el problema determinando secuencialmente los indicadores QS para diferentes valores de capacidad del almacén. t= 2, 3, 4, 5, etc. y comparación en cada etapa del cálculo de la probabilidad de servicio con un valor dado pag 0 () C = 0,97.
Determinamos la intensidad de la carga:
Encuentre la probabilidad, o fracción de tiempo, de tiempo de inactividad para t = 2:
La probabilidad de denegación de servicio, o la proporción de solicitudes perdidas,
La probabilidad de servicio, o la proporción de solicitudes atendidas entre las recibidas, es
Dado que el valor obtenido es menor que el valor dado de 0,97, continuamos los cálculos para t= 3. Para este valor, los indicadores de estados QS tienen los valores
La probabilidad de servicio en este caso también es menor que el valor dado, por lo que continuamos los cálculos para el siguiente t = 4, para el cual los indicadores de estado tienen los siguientes valores: pag$ = 0,12; Rotk = 0,028; pofc= 0,972. Ahora el valor de probabilidad de servicio obtenido satisface la condición del problema, ya que 0.972 > 0.97, por lo tanto, se debe aumentar la capacidad del almacén a un volumen de 4 unidades.
Para lograr una determinada probabilidad de servicio, es posible seleccionar el número óptimo de personas en el procesamiento de vegetales de la misma manera, calculando sucesivamente los indicadores QS para norte = 3, 4, 5 etc Se puede encontrar una solución de compromiso comparando y contrastando los costos asociados tanto con un aumento en el número de empleados como con la creación de un grupo especial. Equipo tecnológico sino el procesamiento de hortalizas en una empresa comercial.
Por lo tanto, los modelos de colas combinados con metodos economicos las definiciones de tareas permiten analizar los QS existentes, desarrollar recomendaciones para su reorganización para aumentar la eficiencia del trabajo y también determinar los indicadores óptimos de los QS recién creados.
Ejemplo 5.24. A un lavadero llegan una media de nueve coches por hora, pero si ya hay cuatro coches en la cola, los nuevos clientes, por regla general, no hacen cola, sino que pasan de largo. El tiempo medio de lavado de coches es de 20 minutos y sólo hay dos lugares de lavado. El coste medio de un lavado de coches es de 70 rublos. Determine la pérdida promedio de ingresos por lavado de autos durante el día.
Solución
X= 9 automático/h; = 20 minutos; norte = 2 t = 4.
Encontrar la intensidad de la carga. 
Determinar la proporción de tiempo de inactividad del lavado de autos
Probabilidad de falla
El rendimiento relativo es el rendimiento absoluto Número promedio de automóviles en la cola
El número medio de aplicaciones en servicio,
Tiempo medio de espera en cola
Tiempo medio de lavado de coches
Por lo tanto, el 34% de las solicitudes no serán atendidas, la pérdida por 12 horas de trabajo de un día ascenderá en promedio a 2570 rublos. (12*9* 0,34 70), es decir 52% de todos los ingresos porque p otk = 0,52 pag 0 ^ s.
- rendimiento relativo, o probabilidad de servicio, rendimiento absoluto número promedio de cuadrillas empleadas coeficiente de empleo por el trabajo de las cuadrillas de carga
