У попередніх лекціях ми навчилися імітувати настання випадкових подій. Тобто ми можемо розіграти якез можливих подій настане і в якомукількості. Щоб це визначити, треба знати статистичні характеристики появи подій, наприклад, такою величиною може бути ймовірність появи події або розподіл ймовірностей різних подій, якщо типів цих подій нескінченно багато.
Але часто ще важливо знати, коликонкретно настане те чи інше подія у часі.
Коли подій багато і вони йдуть один за одним, то вони утворюють потік. Зауважимо, що події при цьому повинні бути однорідними, тобто чимось схожими одна на одну. Наприклад, поява водіїв на АЗС, які бажають заправити свій автомобіль. Тобто однорідні події утворюють певний ряд. У цьому вважається, що статистична характеристика цього явища (інтенсивність потоку подій) задана. Інтенсивність потоку подій вказує, скільки в середньомувідбувається таких подій за одиницю часу. Але коли саме станеться кожна конкретна подія, треба визначити методами моделювання. Важливо, що коли ми згенеруємо, наприклад, за 200 годин 1000 подій, їх кількість дорівнює приблизно величині середньої інтенсивності появи подій 1000/200 = 5 подій на годину, що є статистичною величиною, що характеризує цей потік в цілому.
Інтенсивність потоку у певному сенсі є математичним очікуванням кількості подій за одиницю часу. Але реально може виявитися, що в одну годину з'явиться 4 події, в іншій 6, хоча в середньому виходить 5 подій на годину, тому однієї величини для характеристики потоку недостатньо. Другою величиною, що характеризує наскільки великий розкид подій щодо математичного очікування, є, як і раніше, дисперсія. Власне, саме ця величина визначає випадковість появи події, слабку передбачуваність моменту її появи. Про цю величину ми розповімо у наступній лекції.
Потік подій – це послідовність однорідних подій, що наступають одна одною у випадкові проміжки часу. На осі часу ці події виглядають, як показано на рис. 28.1.
Прикладом потоку подій можуть бути послідовність моментів торкання злітної смуги літаками, що прилітають до аеропорту.
Інтенсивність потоку λ Це середня кількість подій в одиницю часу. Інтенсивність потоку можна розрахувати експериментально за такою формулою: λ = N/Tн, де Nкількість подій, що відбулися за час спостереження Tн.
Якщо інтервал між подіями τ jдорівнює константі або визначений будь-якою формулою у вигляді: t j = f(t j 1), то потік називається детермінованим. Інакше потік називається випадковим.
Випадкові потоки бувають:
- ординарні: ймовірність одночасної появи двох і більше подій дорівнює нулю;
- стаціонарні: частота появи подій λ (t) = const( t) ;
- без післядії: ймовірність появи випадкової події залежить від моменту здійснення попередніх подій.
Пуасонівський потік
За стандарт потоку в моделюванні прийнято купувати пуасонівський потік.
Пуасонівський потікЦе ординарний потік без післядії.
Як раніше було зазначено, ймовірність того, що за інтервал часу (t 0 , t 0 + τ ) станеться mподій, визначається із закону Пуассона:
де aПараметр Пуассона.
Якщо λ (t) = const( t) , то це стаціонарний потік Пуассона(Найпростіший). В цьому випадку a = λ · t . Якщо λ = var ( t) , то це нестаціонарний потік Пуассона.
Для найпростішого потоку ймовірність появи mподій за час τ дорівнює:
Ймовірність непояви (тобто жодного, m= 0 ) події за час τ дорівнює:
Мал. 28.2 ілюструє залежність P 0 від часу. Очевидно, що чим більше час спостереження, тим ймовірність не появи жодної події менше. Крім того, чим більше значення λ , Тим крутіше йде графік, тобто швидше зменшується ймовірність. Це відповідає тому, що й інтенсивність появи подій велика, то ймовірність непояви події швидко зменшується з часом спостереження.
Імовірність появи хоча б однієї події ( PХБ1С) обчислюється так:
так як PХБ1С+ P 0 = 1 (або з'явиться хоча б одна подія, або не з'явиться жодного, іншого не дано).
З графіка на рис. 28.3 видно, що ймовірність появи хоча б однієї події прагне згодом до одиниці, тобто за відповідного тривалого спостереження події така обов'язково рано чи пізно відбудеться. Чим довше ми спостерігаємо за подією (чим більше t), тим більше ймовірність того, що подія відбудеться графік функції монотонно зростає.
Чим більша інтенсивність появи події (чим більше λ ), тим швидше настає ця подія, і тим швидше функція прагне одиниці. На графіку параметр λ представлений крутістю лінії (нахил дотичної).
Якщо збільшувати λ , то при спостереженні за подією протягом одного і того ж часу τ , Імовірність настання події зростає (див. рис. 28.4). Очевидно, що графік виходить із 0, оскільки якщо час спостереження нескінченно мало, то ймовірність того, що подія відбудеться за цей час, мізерна. І навпаки, якщо час спостереження нескінченно велике, то подія обов'язково відбудеться хоча б один раз, отже графік прагне до значення ймовірності рівної 1.
Вивчаючи закон, можна визначити, що: m x = 1/λ , σ = 1/λ , тобто для найпростішого потоку m x = σ . Рівність математичного очікування середньоквадратичного відхилення означає, що даний потік потік без післядії. Дисперсія (точніше середньоквадратичне відхилення) такого потоку велика. Фізично це означає, що час появи події (відстань між подіями) погано передбачувано випадково перебуває в інтервалі m x σ < τ j < m x + σ . Хоча ясно, що в середньому воно приблизно дорівнює: τ j = m x = Tн/ N . Подія може з'явитись у будь-який момент часу, але в межах розкиду цього моменту τ jщодо m xна [ σ ; +σ ] (величину післядії). На рис. 28.5 показані можливі положення події 2 щодо осі часу при заданому σ . У цьому випадку кажуть, що перша подія не впливає на другу, другу на третю тощо, тобто післядія відсутня.
За змістом Pодно r(див. лекцію 23. Моделювання випадкової події. Моделювання повної групи несумісних подій), тому, висловлюючи τ із формули (*) , остаточно визначення інтервалів між двома випадковими подіями маємо:
τ = 1/ λ · Ln ( r) ,
де rрівномірно розподілене від 0 до 1 випадкове число, яке беруть з ГСЧ, τ інтервал між випадковими подіями (випадкова величина τ j ).
приклад 1 . Розглянемо потік виробів, що приходять на технологічну операцію. Вироби приходять випадковим чином в середньому вісім штук за добу (інтенсивність потоку λ = 8/24 [од/год]). Необхідно промоделювати цей процес протягом Tн = 100 годин. m = 1/λ = 24/8 = 3 тобто в середньому одна деталь за три години. Зауважимо, що σ = 3. На рис. 28.6 представлений алгоритм, що генерує потік випадкових подій.
На рис. 28.7 показаний результат роботи алгоритму - моменти часу, коли деталі приходили на операцію. Як видно, всього за період Tн = 100 виробничий вузол обробив N= 33 вироби. Якщо запустити алгоритм знову, то Nможе бути рівним, наприклад, 34, 35 або 32. Але в середньому, за Kпрогонів алгоритму Nбуде дорівнює 33.33 Якщо порахувати відстані між подіями tз iі моментами часу, що визначаються як 3 · i, то в середньому величина дорівнюватиме σ = 3 .
Моделювання неординарних потоків подій
Якщо відомо, що потік не є ординарним, необхідно моделювати крім моменту виникнення події ще й число подій, яке могло з'явитися в цей момент. Наприклад, вагони на залізничну станцію прибувають у складі поїзда у випадкові моменти часу (ординарний потік поїздів). Але при цьому у складі поїзда може бути різна (випадкова) кількість вагонів. І тут про потік вагонів говорять як про потік неординарних подій.
Припустимо, що M k = 10 , σ = 4 (тобто, у середньому у 68 випадках зі 100 приходить від 6 до 14 вагонів у складі поїзда) та їх число розподілено за нормальним законом. У місце, зазначене (*) у попередньому алгоритмі (див. рис. 28.6), потрібно вставити фрагмент, показаний на рис. 28.8.
Приклад 2 . Дуже корисним у виробництві є вирішення наступного завдання. Який середній час добового простою обладнання технологічного вузла, якщо вузол обробляє кожен виріб випадковий час, заданий інтенсивністю потоку випадкових подій λ 2? При цьому експериментально встановлено, що привозять вироби на обробку також у випадкові моменти часу, задані потоком λ 1 партіями по 8 штук, причому розмір партії коливається випадково за нормальним законом m = 8 , σ = 2 (див. лекцію 25). До початку моделювання T= 0 складі виробів був. Необхідно промоделювати цей процес протягом Tн = 100 годин.
На рис. 28.9 представлений алгоритм, що генерує випадковим чином потік приходу партій виробів на обробку та потік випадкових подій виходу партій виробів з обробки.
На рис. 28.10 показаний результат роботи алгоритму - моменти часу, коли деталі приходили на операцію, та моменти часу, коли деталі залишали операцію. На третій лінії видно, скільки деталей стояло в черзі на обробку (лежало на складі вузла) у різні моменти часу.
Відзначаючи для обробного вузла часи, коли він простоював в очікуванні чергової деталі (див. на рис. 28.10 ділянки часу, виділені червоним штрихуванням), ми можемо порахувати сумарний час простоїв вузла за весь час спостереження, а потім розрахувати середній час простою протягом доби. Для цієї реалізації цей час обчислюється так:
Tпр. пор. = 24 · ( t 1 ін. t 2 ін. t 3 ін. t 4 ін + + + t Nін)/ Tн.
Завдання 1 . Змінюючи величину σ , встановіть залежність Tпр. пор. ( σ ) . Задаючи вартість за простий вузл 100 євро/год, встановіть річні втрати підприємства від нерегулярності в роботі постачальників. Запропонуйте формулювання пункту договору підприємства з постачальниками «Величина штрафу за затримку постачання виробів».
Завдання 2 . Змінюючи величину початкового заповнення складу, встановіть, як зміняться річні втрати підприємства від нерегулярності у роботі постачальників залежно від прийнятої для підприємства величини запасів.
Моделювання нестаціонарних потоків подій
У ряді випадків інтенсивність потоку може змінюватися з часом λ (t). Такий потік називається нестаціонарним. Наприклад, середня кількість за годину машин швидкої допомоги, що залишають станцію за викликами населення великого містапротягом доби може бути різним. Відомо, наприклад, що найбільша кількістьвикликів падає на інтервали з 23 до 01 години ночі та з 05 до 07 ранку, тоді як в інші години воно вдвічі менше (див. рис. 28.11).
У цьому випадку розподіл λ (t) може бути задано або графіком, або формулою, або таблицею. На алгоритмі, показаному на рис. 28.6 в місце, позначене (**), потрібно буде вставити фрагмент, показаний на рис. 28.12.
Інтервал часу між двома сусідніми подіями найпростішого потоку має розподіл:
f 1 (x) = f(x) = (x³0),
де – інтенсивність потоку.
Використовуючи метод імітації показового (експоненційного) розподілу, отримуємо наступний спосіб моделювання пуасонівського потоку:
t 0 = 0; t j = t j -1 - (1/) lnu, (j=1,2,3,...).
Величина u – випадкове число, що отримується від ДСЧ.
Рівномірний потік
І тому потоку подій вважається, що період між послідовними подіями рівномірно розподілений на інтервалі , тобто.
f(x)=1/(b-a) , (a£x£b).
f 1 (x)=2(b-x)/(b-a) 2;
F 1 (x)=1-[(b-x) 2 /(b-a) 2 ] , (a£x£b)
Застосовуючи для моделювання метод зворотної функції отримаємо алгоритм обчислення першого моменту часу
де u одержують від ДСЧ.
Остаточно маємо наступний алгоритм моделювання рівномірного потоку:
1) момент часу t 1 настання першої події обчислюється за формулою
2) для наступних моментів часу виробляються обчислення за формулою
t j = t j -1 + a + (b-a)u;
Розмір u виробляється ДСЧ.
Потік Ерланга порядку k
Потоком Ерланга k-го порядку називають потік подій, що виходить "проріджування" найпростішого потоку, коли зберігається кожна k-а точка(Подія) в потоці, а всі проміжні викидаються.
Інтервал часу між двома сусідніми подіями в потоці Ерланга k-го порядку є сумою k незалежних випадкових величин Z 1 ,Z 2 ,...,Z k , що мають показовий розподіл з параметром λ:
Закон розподілу випадкової величини Z називається законом Ерланга k-го порядку та має щільність
, (x > 0).
Математичне очікування та дисперсія випадкової величини Z відповідно дорівнюють:
M[Z]=k/; D[Z]=k/ 2 .
За підсумками визначення потоку Ерланга виходить простий спосіб моделювання: проріджується пуасонівський потік з інтенсивністю = /k, тобто. у пуассонівському потоці допускаємо моменти часу з номерами 1,2,...,k-1, а k-й моментзалишаємо, т.к. він належить до нового потоку і т.д. Таким чином, моменти часу потоку Ерланга обчислюються за формулами:
де - Інтенсивність потоку Ерланга k-го порядку, u j - випадкові числа від ДСЧ.
3. ОБ'ЄКТИ І ЗАСОБИ ДОСЛІДЖЕННЯ
Об'єктами дослідження у лабораторній роботі є потоки подій, утворені злиттям кількох потоків з відомими характеристиками.
У процесі імітації потоків подій використовують різні методи сортування.
Одним з простих методівсортування є метод бульбашки (BUBBLE) який дозволяє масив A, що містить N елементів, розташувати, наприклад, у зростаючому порядку. Відповідний алгоритм наведено на рис.4.1. Проте. Найефективнішим методом для цього завдань буде метод вставки.
процедура BUBBLE (A, N);
Цикл I = 1, N1;
Якщо A(K) £ A(J) то йти до 20;
Якщо (K³1), то йти до 10;
Рис.4.1. Підпрограма сортування методом бульбашки
У лабораторній роботі можуть бути використані інші ефективні методисортування (наприклад, адресне сортування тощо).
4. ПІДГОТОВКА ДО РОБОТИ
4.1. Ознайомитись із основними типами потоків подій.
4.2. Ознайомитись з методами моделювання пуасонівського, рівномірного потоку подій та потоку Ерланга порядку k.
4.3. Ознайомитись із методами сортування масивів чисел.
5. ПРОГРАМА РОБОТИ
У деяку систему масового обслуговуваннярізними каналами надходять заявки, що утворюють потік подій заданого типу. На вході системи потоки зливаються до одного. Скласти алгоритм та програму імітації результуючого потоку, зазначеного у варіанті.
Перші 100 моментів часу надходження заявок у результуючому потоці вивести на друк. За першими 1000 заявок розрахувати оцінку середньої інтенсивності потоку. Знайдену оцінку можна порівняти з теоретичним значенням інтенсивності потоку.
5.1. Потік утворений злиттям трьох пуасонівських потоків подій з інтенсивностями 1, 2, 3 (1/с) (табл.5.1.).
Таблиця 5.1.
| варіант | ||||||
| 1 | 2,5 | 1,5 | ||||
| 2 | 0,5 | |||||
| 3 | 0,5 | 0,5 | 0,5 |
5.2. Потік утворений злиттям двох рівномірних потоків з параметрами a1, b1 і a2, b2(с) (табл. 5.2.).
Таблиця 5.2.
| варіант | ||||||
| a 1 | 1,5 | |||||
| b 1 | 2,5 | 1,5 | ||||
| a 2 | 0,5 | |||||
| b 2 |
5.3. Потік утворений злиттям пуассонівського потоку з інтенсивністю (1/с) та рівномірного потоку з параметрами a та b(с) (табл.5 3.).
Таблиця 5.3.
6. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ
6.1. Дати визначення потоку подій.
6.2. Як будується ймовірне опис потоку подій.
6.3. У чому полягає спосіб моделювання стаціонарного потоку з обмеженим наслідком.
6.4. Охарактеризувати пуасонівський потік та спосіб його моделювання.
6.5. Охарактеризувати рівномірний потік та спосіб його моделювання.
6.6. Дати характеристику потоку Ерланга k-го порядку та методу його імітації.
6.7. Навести характеристики потоку подій, дослідженого у лабораторній роботі.
Якщо число nвипробувань досить велике, а ймовірність pнастання події Ау незалежних випробуваннях мала, то для знаходження ймовірності використовується теорема Пуассона
: Якщо в nнезалежних випробуваннях ймовірність pнастання події Ау кожному їх стала і мала, а число випробувань досить велике, то ймовірність те, що подія А настане kраз, обчислюється за формулою 
, де 
.
Ця формула називається формулою Пуассона .
Приклад 15. Імовірність попадання в літак за кожного пострілу з кулемету дорівнює 0.001. Здійснюється 3000 пострілів. Знайти ймовірність попадання в літак: а) один чи двічі; б) хоча б один раз.
Рішення. За умовою прикладу n=300, p=0.001, 
.
а) Позначимо подію A=(потрапляння у літак один чи двічі). Тоді.
б) Позначимо подію B = (попадання в літак хоча б один раз). Тоді.
Потоком подійназивається послідовність подій, які наступають одна одною у випадкові моменти часу.
Наприклад, потік викликів у сфері обслуговування (ремонт телевізорів, виклики швидкої допомоги та ін.), потік викликів на телефонній станції, відмова у роботі окремих частин певної системи тощо.
Потік називається найпростішим , якщо виконуються такі умови:
Імовірність появи події залежить від довжини проміжку часу t;
Ймовірність появи числа подій на будь-якому проміжку часу не залежить від того, яке подій настало до початку цього проміжку;
Імовірність настання двох чи більшого числа подій за досить малий проміжок часу мала і що менше, то менше стає можливість.
За виконання цих умов справедливе таке твердження:
Імовірність того, що випадкова подія за час t настане k разів, визначається за формулою
,
де - Середня кількість подій, що наступають в одиницю часу.
Приклад 16. На ткацьких верстатах, які обслуговує ткаля, протягом години відбувається 90 обривів нитки. Якою є ймовірність того, що за 4 хвилини відбудеться: 1) один обрив; 2) хоча б один урвище.
Рішення. За умовою t=4. Середня кількість обривів за одну хвилину дорівнює 
. Тоді 
.
1) 
. 2) .
Запитання для самоконтролю знань
1. Що називається сумою спільних подій?
2. Що називається сумою несумісних подій?
3. Як формулюється теорема складання ймовірностей несумісних подій?
4. Чому дорівнює сума ймовірностей протилежних подій?
5. Що називається твором двох подій?
6. Які події називаються незалежними?
7. Як формулюється теорема множення ймовірностей незалежних подій?
8. Які події називаються залежними?
9. Що називається умовною імовірністю?
10. Як формулюється теорема множення ймовірностей залежних подій?
11. Що називається повною ймовірністю події та як записується формула повної ймовірності?
12. Як записується формула Байєса?
13. Які випробування називаються незалежними та як записується формула Бернуллі?
14. Як формулюється локальна теорема Лапласа?
15. Як формулюється інтегральна теорема Лапласа?
16. Як формулюється теорема Пуассона?
Під потоком подійтеоретично ймовірностей розуміється послідовність подій, які відбуваються одне одним у якісь моменти часу. Прикладами можуть бути: потік викликів на телефонній станції; потік рекомендованих листів, що надходять у відділення пошти, і т.п. Події, що утворюють потік, у випадку можуть бути різними. Якщо події відрізняються лише моментами появи, то потік подій називається однорідним.
Потік подій називається регулярним, якщо події йдуть одне за одним через певні проміжки часу. Такий потік порівняно рідко зустрічається в реальних системах, але цікавий як граничний випадок.
Потік подій називається стаціонарнимякщо ймовірність попадання того чи іншого числа подій на проміжок часу залежить тільки від тривалості проміжку і не залежить від того, де саме на осі часу розташований цей проміжок.
Насправді часто зустрічаються потоки заявок, ймовірнісні характеристики якого залежить від часу. Наприклад, потік викликів на міській телефонній станції на ділянці часу від 12 до 13 години може вважатися стаціонарним. Той же протягом
Потік подій називається потоком без післядії, якщо для будь-яких ділянок часу, що не перетинаються, кількість подій, що володіють на одну з них, не залежить від числа подій, що потрапляють на інші.
Наприклад, потік пасажирів, що входять до станції метро, можна вважати потоком без післядії. Потік пасажирів, що залишають станцію метро, вже не може вважатися потоком без післядії, оскільки моменти виходу пасажирів, які прибули одним і тим самим поїздом, залежні між собою.
Вихідний потік (або потік обслужених заявок), що залишає систему масового обслуговування, зазвичай має післядія, навіть якщо вхідний потік не має. Розглянемо, наприклад, одноканальну систему масового обслуговування, на яку
час обслуговування будь-якої заявки має одну й ту саму величину t про. Тоді в потоці обслужених заявок мінімальний інтервал часу між заявками, що залишають
систему, дорівнюватиме t про. Неважко переконатися, що такий мінімальний інтервал неминуче призводить до післядії. Справді, нехай відомо, що в якийсь момент t 1 систему залишила обслужена заявка. Тоді можна стверджувати з достовірністю, що на будь-якому інтервалі часу, що лежить у межах ( t 1 , t 1 + t про) ,
жодна заявка не залишить систему. Отже, матиме місце залежність між числами подій на ділянках, що не перетинаються.
Потік подій називається ординарнимЯкщо ймовірність появи двох і більше подій за малий проміжок часу має більш високий порядок трішки порівняно з ймовірністю появи за цей проміжок однієї події. Для простого потоку подій можливість одночасної появи більш ніж однієї події дорівнює нулю.
Умова ординарності означає, що заявки приходять поодинці, а чи не парами, трійками тощо.
Пуассонівським(найпростішим) потоком називають потік, який має властивості стаціонарності, відсутності післядії та ординарності. Назва “пуасонівський” пов'язана з тим, що для цього потоку кількість подій, які потрапляють на будь-який фіксований інтервал часу, буде розподілено згідно із законом Пуассона.
Пуасонівський потік відіграє серед потоків подій особливу роль, певною мірою аналогічну ролі нормального закону серед інших законів розподілу. Можна довести, що аналогічно тому як під час підсумовування великої кількостінезалежних випадкових величин, підпорядкованих практично будь-яким законам розподілу, виходить величина, приблизно розподілена за нормальним законом, при підсумовуванні (взаємному накладенні) великої кількості ординарних, стаціонарних потоків з практично будь-яким післядіям виходить потік, скільки завгодно близький до пуассонівського. Умови, які повинні для цього дотримуватися, аналогічні умовам центральної теореми, а саме – потоки, що складаються, повинні надавати на суму приблизно рівномірний вплив.
У пуассонівському потоці подій (стаціонарному та нестаціонарному) кількість подій потоку, що потрапляють на будь-яку ділянку, розподілено за законом Пуассона
Таким чином, для досліджуваної системи S з дискретними станами і безперервним часом переходи зі стану до стану відбуваються під дією пуассонівських потоків подій з певною інтенсивністю Я.
Представимо автомобіль як деяку систему S з дискретними станами iSj. 2. .... Sn, яка переходить із стану S/ в стан Sj(i - 1, 2,. .., n,j = I, 2,. .., і) під впливом пуассонівських потоків подій (відмов) з інтенсивністю Хд. Розглянемо такі стани автомобіля, в яких він може знаходитися в процесі експлуатації і які характеризуються цілоденними простоями
Пуасонівський потік подій - це потік, що володіє двома властивостями ординарністю та відсутністю післядії.
У цьому параграфі встановлюється зв'язок між пуасонівськими потоками подій і з безперервним часом. Показується, як використовується інтенсивність пуассонівських стаціонарних потоків як густини ймовірностей переходів системи зі стану в стан при аналізі моделей конкретних ситуацій.
Між пуасонівськими потоками подій та дискретними марківськими процесами з безперервним часом є тісний зв'язок.
Зв'язок пуассонівських потоків подій з дискретними марківськими процесами з безперервним часом
Тобто технічно, марківську модель з безперервним часом побудувати простіше, ніж модель з дискретним часом, хоча проблема підпорядкування пуассонівському закону розподілу всіх потоків подій, що переводять елементи системи зі стану, залишається.
Можна вважати, що події, що переводять автомобіль зі стану в стан, є потоками подій (наприклад, потоки відмов). Якщо всі потоки подій, що переводять систему (автомобіль) зі стану в стан, пуассонівські (стаціонарні або нестаціонарні), то процес, що протікає в системі, буде марківським, а щільність ймовірності переходу Ху в безперервному ланцюзі Маркова є інтенсивністю потоку подій, що переводить систему з стану Si у стан Sj. Наприклад, Х03 - інтенсивність потоку відмов автомобіля, який переводить автомобіль зі стану справний, працює стан знаходиться в ТР.
Припущення про пуассонівський характер потоку подій і показовий розподіл проміжків часу між подіями цінні тим, що дозволяють практично застосувати потужний апарат марковських випадкових процесів .
Пуасонівський стаціонарний (найпростіший) потік подій
Пуасонівський стаціонарним (найпростішим) потік подій
Пуассонівський нестаціонарний потік подій
Розглянемо нестаціонарний пуасонівський потік з інтенсивністю Mf), деякий проміжок часу довжиною г>0, що починається з моменту t0 (і закінчується, отже, в момент +г) і дискретну випадкову величину Х р г) - кількість подій, що наступають у потоці за проміжок часу від ta до t0+r.
Визначення 6.2. Елементом ймовірності появи події у нестаціонарному пуассонівському потоці називається ймовірність >,(АТ появи події за елементарний (досить малий) проміжок часу від t0 до t0+bt.
Теорема 6.2. Для елемента ймовірності появи події за елементарний проміжок часу від t0 до t0+Af у нестаціонарному потоці Пуассонів з інтенсивністю A(t) має місце наближена формула
Основне характеристичне властивість нестаціонарного пуассоновского потоку у тому, що ймовірність настання певного числа подій за часовий проміжок залежить тільки від його довжини, а й від його початку.
Однією з основних стохастичних характеристик нестаціонарного пуассонівського потоку є дискретна випадкова величина X(t т), що є випадковим числом подій, що наступають у потоці за проміжок [t.+t.
Інший основний стохастичною характеристикою нестаціонарного пуассонівського потоку є випадковий інтервал часу T(tB) між двома сусідніми подіями, перша з яких настала в момент t0.
Доказ Імовірність p (t At) того, що система S, що знаходилася в момент часу t у стані sp за проміжок часу від t до t+Ы, перейде з нього в стан s (див. 4) дорівнює елементу ймовірності pfa t) появи події в пуассонівському потоці П. на елементарній ділянці від t до +Д (див. Визначення 5.11). Але (див. (4.3))
Система, в якій протікає дискретний марківський процес з безперервним часом, перескакує з одного стану х в інший xj не спонтанно, а під впливом певної події, яку ми можемо віднести до подій деякого пуассонівського потоку П.. і вважати, таким чином, що перехід системи зі стану х стан х відбувається під впливом всього потоку /L. Залучення всього потоку П.. дає можливість розглядати інтенсивність А() цього потоку.
Розглянемо докладніше випадок пуассонівського розподілу попиту. Функція витрат матиме вигляд, аналогічний (5.6.18), із заміною інтегрування з їх сумуванням. Знайдемо густину 1> (т) розподілу часу дефіциту. Розподіл часу настання k-го події пуассонівського потоку підпорядкований закону Ерланга k-го порядку. Дефіцит починається при витрати всього запасу S і ще однієї одиниці, так що
Загальний потік відмов, пов'язаний із попаданням автомобілів досліджуваної групи в ТО-2, виходить шляхом накладання (суперпозиції) потоків ТО-2 цих автомобілів. Як показують розрахунки, розподіл інтервалу пробігу між подіями у цьому потоці підпорядковується показовому закону. При цьому потік ТО-2 всіх досліджуваних автомобілів є пуасонівським.
Образ потоку відмов, що з списанням автомобіля, є умовним. Дійсно, якщо автомобіль відмовляє в той момент, коли відбувається перша подія даного потоку, то абсолютно байдуже, продовжується після цього потік відмов або припиняється доля автомобіля від цього вже не залежить. Якщо елемент (автомобіль) не підлягає відновленню, потік відмов є пуассонівським.
Кожен із входять в блок агрегатів є складною системою, що складається з великої кількості елементів. Відмова кожного їх може призвести до втрати можливості виконання поставленої завдання всього агрегату. Потік відмов агрегату у часі утворюється в результаті накладення безлічі подій - потоків відмов елементів, що входять до його складу. При вирішенні практичної задачі відмови в елементах можна розглядати як незалежні (або слабозалежні) та ординарні події, тому для сумарного потоку відмов всього агрегату правомірне застосування граничної теореми потоків у теорії випадкових процесів. Ця теорема визначає умови, за яких сума незалежних (або слабко залежних)
