Предмет. Теория на системите опашка.
Всяка QS се състои от определен брой сервизни единици, които се извикватобслужващи канали (това са машини, транспортни колички, роботи, комуникационни линии, касиери, продавачи и др.). Всеки QS е проектиран да обслужва някакъв видпоток от приложения (изисквания), пристигащи в някои произволни моменти във времето.
Класификация на QS според метода на обработка на входния поток от приложения.
Системи за масово обслужване
С откази
(без опашка)
С опашка
Ограничена опашка
С приоритет
Кой превари, той завари
Относителен приоритет
Абсолютен приоритет
По време на обслужване
По дължина на опашката
Класификация по режим на работа:
отворен, т.е. потокът от приложения не зависи от вътрешното състояние на QS;
затворен, т.е. входният поток зависи от състоянието на QS (един ремонтен работник обслужва всички канали, когато се повредят).
Многоканален QS с изчакване
Система с ограничена дължина на опашката. Нека помислим канал QS с чакане, който получава поток от заявки с интензитет ; интензивност на услугата (за един канал) ; брой места в опашката
Състоянията на системата са номерирани според броя на приложенията, свързани от системата:
без опашка:
- всички канали са безплатни;
- един канал е зает, останалите са свободни;
- зает -канали, без други;
- всички са заети -няма безплатни канали;
има опашка:
- всички n-канали са заети; едно приложение е на опашката;
- всички n-канали, r-заявки в опашката са заети;
- Всички n-канали, r-заявки в опашката са заети.
GSP е показан на фиг. 9. Всяка стрелка е маркирана със съответните интензитети на потоците от събития. Системата винаги се движи по стрелките отляво надясно от същия поток от приложения с интензивност , следвайки стрелките отдясно наляво, системата се прехвърля от обслужващ поток, чийто интензитет е равен на , умножено по броя на заетите канали.
Ориз. 9. Многоканален QS с изчакване
Вероятност за провал.
(29)
Относителната производителност допълва вероятността от повреда до едно:
Абсолютна производителност на QS:
(30)
Среден брой заети канали.
Средният брой заявки в опашка може да се изчисли директно като математическо очакване на дискретна случайна променлива:
(31)
Където .
Тук отново (изразът в скоби) се появява производната на сумата от геометричната прогресия (виж по-горе (23), (24) - (26)), като използваме връзката за нея, получаваме:
Среден брой приложения в системата:
Средно време за изчакване на приложение на опашката.
(32)
Точно както в случая на едноканален QS с изчакване, имайте предвид, че този израз се различава от израза за средната дължина на опашката само по фактора , т.е.
.
Средно време, през което една заявка остава в системата, същото като за едноканален QS 
.
Системи с неограничена дължина на опашка. Прегледахме канал QS с чакане, когато не повече от m-заявки могат да бъдат в опашката едновременно.
Както и преди, когато се анализират системи без ограничения, е необходимо да се вземат предвид получените отношения за .
Вероятност за провал
Получаваме средния брой приложения в опашката на от (31):
,
и средното време на изчакване е от (32): 
.
Среден брой приложения .
Пример 2. Бензиностанцияс две колони (n = 2) обслужва трафика с интензивност =0,8 (коли в минута). Средно време за обслужване на машина:
В района няма друга бензиностанция, така че опашката от автомобили пред бензиностанцията може да расте почти неограничено. Намерете характеристиките на QS.
SMO с ограничено времеочаквания. Преди това разглеждахме системи с чакане, ограничено само от дължината на опашката (броя m-заявки едновременно в опашката). В такъв QS приложение, което е нараснало в опашката, не я напуска, докато не изчака услуга. На практика има и други видове QS, при които едно приложение, след като е изчакало известно време, може да излезе от опашката (т.нар. „нетърпеливи” приложения).
Нека разгледаме QS от този тип, като приемем, че ограничението на времето за изчакване е случайна променлива.
Поасонов „поток от заминавания“ с интензивност:
Ако този поток е Поасон, тогава процесът, протичащ в QS, ще бъде марковски. Нека намерим вероятностите на състоянието за това. Номерирането на системните състояния е свързано с броя на приложенията в системата - както обслужвани, така и стоящи на опашка:
без опашка:
- всички канали са безплатни;
- един канал е зает;
- два канала са заети;
- всички n-канали са заети;
има опашка:
- всички n-канала са заети, една заявка е в опашката;
- Всички n-канали са заети, r-заявките са в опашка и т.н.
Графиката на състоянията и преходите на системата е показана на фиг. 10.
Ориз. 10. QS с ограничено време на изчакване
Нека маркираме тази графика както преди; всички стрелки, водещи отляво надясно, ще показват интензивността на потока от приложения . За състояния без опашка, стрелките, водещи от тях отдясно наляво, както и преди, ще показват общата интензивност на потока, обслужващ всички заети канали. Що се отнася до състоянията с опашка, стрелките, водещи от тях отдясно наляво, ще покажат общата интензивност на потока услуги на всички n-канали плюс съответната интензивност на потока от напускания от опашката. Ако в опашката има r-заявки, тогава общата интензивност на потока от заминавания ще бъде равна на .
Среден брой заявления в опашката: (35)
Всяко от тези приложения е обект на „поток от заминавания“ с интензивност . И така, от средното - средно приложенията в опашката ще напуснат, без да чакат услуга, - ще се обслужват заявления за единица време и средно общо за единица време - приложения. Относителният капацитет на QS ще бъде: 
Среден брой заети канали все още получаваме, като разделим абсолютния капацитет на A на Затворен QS
Досега разглеждахме системи, в които входящият поток по никакъв начин не е свързан с изходящия поток. Такива системи се наричат отворена верига. В някои случаи обслужваните заявки се получават отново на входа след закъснение. Такива QS се наричат затворени. Клиника, обслужваща даден район, екип от работници, назначени към група машини, са примери за затворени системи.
В затворен QS циркулира същият краен брой потенциални изисквания. Докато потенциално изискване не бъде реализирано като заявка за услуга, то се счита, че е в блок за забавяне. В момента на внедряване той влиза в самата система. Например работниците поддържат група машини. Всяка машина е потенциално изискване, което се превръща в реално в момента на повредата. Докато машината работи, тя е в блока за забавяне, а от момента на повредата до края на ремонта е в самата система. Всеки работник е обслужващ канал. = =P 1 + 2 П 2 +...+(n- 1 )P н- 1 +n( 1 -П Входът на триканален QS с откази получава поток от заявки с интензитет =4 заявки в минута, време за обслужване на заявка от един каналT обсл=1/μ =0,5 мин. От гледна точка на капацитета на QS, изгодно ли е да принудите и трите канала да обслужват заявки наведнъж, а средното време за обслужване да се намали три пъти? Как това ще повлияе на средното време, което едно приложение прекарва в CMO?
Пример 2 . /μ=2, ρ/н =2/3<1.
Задача 3:
Двама работници управляват група от четири машини. Спирането на работеща машина става средно след 30 минути. Средното време за настройка е 15 минути. Времето за работа и настройка се разпределят по експоненциален закон.
Намерете средния дял на свободното време за всеки работник и средното време на работа на машината.
Намерете същите характеристики за система, в която:
а) на всеки работник се разпределят две машини;
б) двама работници винаги обслужват машината заедно и с двойна интензивност;
в) единствената неизправна машина се обслужва едновременно от двамата работници (с двойна интензивност), а когато се появи поне още една неизправна машина, те започват да работят поотделно, като всеки обслужва една машина (първо опишете системата от гледна точка на процесите на смърт и раждане).
Системата получава Поасонов поток от заявки с интензитет λ, потокът на услугата има интензитет μ, максималният брой места в опашката е T.Ако дадено приложение влезе в системата, когато всички места в опашката са заети, то оставя системата необслужена.
Крайните вероятности за състояния на такава система винаги съществуват, тъй като броят на състоянията е краен:
S 0 – системата е свободна и в неактивно състояние;
S 1 – обслужва се една заявка, каналът е зает, няма опашка;
S 2 – една заявка се обслужва, една е на опашка;
С м +1 - обслужва се една заявка, Tопашка.
Графиката на състоянието на такава система е показана на фигура 5:
S 0 S 1 S 2 S m+1
μ μ μ ………. μ μ
Фигура 5: Едноканален QS с ограничена опашка.
Във формулата за Р 0 Нека намерим сумата от краен брой членове на геометрична прогресия:
(52)
Като вземем предвид формулата за ρ, получаваме израза:
В скоби има (m+2) елемента от геометрична прогресия с първи член 1 и знаменател ρ. Използвайки формулата за сумата от (m+2) члена на прогресията:
(54)
(55)
Формулите за вероятностите за гранични състояния ще изглеждат така:
Вероятност за отказ на услугадефинираме заявка като вероятността, че когато заявка пристигне в системата, нейният канал ще бъде зает и всички места в опашката също ще бъдат заети:
(57)
Оттук и вероятността за услуга(а също и от честотна лента на оператора) са равни на вероятността от противоположното събитие:
Абсолютна производителност– броя на приложенията, обслужвани от системата за единица време:
(59)
Среден брой обслужвани приложения:
(60)
(61)
Среден брой приложения в системата:
(62)
В Mathcad може да се разглежда едноканален QS с ограничена опашка.
Пример:
Паркингът обслужва 3 автомобила с дебит 0,5 и средно време на обслужване 2,5 минути. Определете всички системни индикатори.
6 Многоканален smo с неограничена опашка
Нека е дадена система S, като Побслужващи канали, които получават най-простия поток от заявки с интензитет λ. Нека обслужващият поток също е най-простият и има интензитет μ. Опашката за обслужване е неограничена.
С броя на приложенията в системата означаваме състоянията на системата: S 0 ,S 1 ,S 2 ,…,S k ,… S n, където S k – състоянието на системата, когато в нея има k заявки (максималния брой обслужвани заявки е n). Графиката на състоянието на такава система е изобразена като диаграма на фигура 6:
λ λ λ λ λ λ λ
……. …….
S 0 S 1 S 2 S m+1 S n
μ 2μ 3μ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ
Фигура 6: Многоканален QS с неограничена опашка.
Интензитетът на сервизния поток варира в зависимост от състоянието на системата: kμ при преминаване от състояние S k в състояние S k -1, тъй като всяко от k канали; след като всички канали са заети с услуга, интензивността на потока на услугата остава еднаква pμ,при получаване на следващи приложения в системата.
За да намерим крайните вероятности на състоянията, получаваме формули, подобни на това как беше направено за едноканална система.
(63)
Следователно формулите за крайните вероятности се изразяват чрез
Да намеря Р 0 получаваме уравнението:
За членовете в скоби, започващи с (n+ 2)-ия, можете да приложите формулата за намиране на сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия с първия член 
и знаменател ρ/n:
(66)
Накрая получаваме формулата на Erlang за намиране на вероятността от прекъсване на системата:
(67)
Нека представим формули за изчисляване на основните показатели за производителност на системата.
Системата ще се справи с потока от заявки, ако
условие изпълнено
,
(68)
което означава, че броят на приложенията, получени от системата за единица време, не надвишава броя на заявления, обслужени от системата за същото време. При което вероятност за отказ от услугаравно на нула.
Оттук вероятност за обслужване(и също относителна производителностсистеми) са равни на вероятността от противоположното събитие, тоест единство:
(69)
Абсолютнопропускателна способност- брой приложения, обслужвани от системата за единица време:
(70)
Ако системата се справи с потока от заявки, тогава в стационарен режим интензивност на изтичанее равна на интензивността на потока от приложения, влизащи в системата, тъй като всички приложения се обслужват:
ν=λ . (71)
Тъй като всеки канал обслужва μ заявки за единица време, тогава среден брой заети каналиможе да се изчисли:
(72)
Средно аритметичновремеобслужванеканал на една заявка ;
.
(73)
Вероятността дадено приложение да бъде на опашката при влизане в системата е равна на вероятността да има повече от Пприложения:
(74)
Брой обслужвани приложенияравен на броя на заетите канали:
(75)
Среден брой заявления в опашката:
(76)
Тогава средно аритметичнономерприложенияв системата:
(77)
Средно време, през което едно приложение остава в системата (на опашка):
(78)
(79)
В системата Mathcad може да се разглежда многоканален QS с неограничена опашка.
Пример 1:
Фризьорският салон разполага с 5 фризьори. В час пик интензивността на клиентопотока е 6 души. В един часа. Обслужването на един клиент продължава средно 40 минути. Определете средната дължина на опашката, като приемете, че е неограничена.
Фрагмент от решаване на задача в Mathcad.
Пример 2:
ЖП гишето е с 2 витрини. Времето за обслужване на един пътник е 0,5 минути. Пътниците се приближават до гишето за билети на групи от по трима. Определете всички характеристики на системата.
Фрагмент от решаване на задача в Mathcad.
Продължение на решаването на задачата в Mathcad.
На практика често се срещат едноканални медицински услуги с опашка (лекар, обслужващ пациенти; телефонен автомат с една кабина; компютър, изпълняващ потребителски поръчки). В теорията на масовото обслужване едноканалните QS с опашка също заемат специално място (повечето от получените досега аналитични формули за немарковски системи принадлежат към такива QS). Затова ще обърнем специално внимание на едноканалните QS с опашка.
Нека има едноканална QS с опашка, върху която не се налагат ограничения (нито за дължината на опашката, нито за времето за изчакване). Този QS получава поток от заявки с интензитет λ; потокът от услуги има интензитет μ, който е обратен на средното време за обслужване на заявка tob. Необходимо е да се намерят крайните вероятности на състоянията на QS, както и характеристиките на неговата ефективност:
Lsyst - среден брой приложения в системата,
Wsyst е средното време, през което една заявка остава в системата,
Loch - среден брой приложения в опашката,
Woch - средното време, през което едно приложение остава в опашка,
Rzan е вероятността каналът да е зает (степента на натоварване на канала).
Що се отнася до абсолютната пропускателна способност A и относителната Q, няма нужда да ги изчислявате: поради факта, че опашката е неограничена, всяка заявка рано или късно ще бъде обслужена, следователно A = λ, по същата причина Q = 1.
Решение. Както и преди, ще номерираме състоянията на системата според броя на приложенията в QS:
S0 - каналът е безплатен,
S1 - каналът е зает (обслужва заявка), няма опашка,
S2 - каналът е зает, една заявка е на опашка,
Sk - каналът е зает, k - 1 заявки са на опашка.
Теоретично броят на състоянията е неограничен (безкраен). Графиката на състоянието има формата, показана на фиг. 4.11. Това е схема на смърт и размножаване, но с безкраен брой състояния. По всички стрелки потокът от заявки с интензитет λ премества системата отляво надясно, а отдясно наляво - потокът от услуги с интензитет μ.
Ориз. 4.11. Графика на състоянието на QS под формата на схема на смърт и размножаване с безкраен брой състояния
Първо, нека се запитаме има ли крайни вероятности в този случай? В крайна сметка броят на състоянията на системата е безкраен и по принцип при t→∞ опашката може да се увеличава неограничено! Да, така е: крайните вероятности за такъв QS не винаги съществуват, а само когато системата не е претоварена. Може да се докаже, че ако p е строго по-малко от едно (p<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!
Но нека се върнем към нашия едноканален QS с неограничена опашка. Строго погледнато, ние изведехме формули за крайните вероятности в схемата на смъртта и размножаването само за случая на краен брой състояния, но ще ги използваме за безкраен брой състояния. Нека изчислим крайните вероятности на състояния, използвайки формули (4.21), (4.20). В нашия случай броят на членовете във формула (4.21) ще бъде безкраен. Получаваме израз за p0:
къдетоВероятностите p1, p2, ..., pk, ... се намират по формулите:
откъдето, като вземем предвид (4.38), накрая намираме:
стр 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., pk= ρ4(1- ρ), . . . (4,39)
Както можете да видите, вероятностите p0, p1, ..., pk, ... образуват геометрична прогресия със знаменател p. Колкото и да е странно, максимумът от тях p0 е вероятността каналът да бъде напълно безплатен. Колкото и да е натоварена една система с опашка, дали изобщо може да се справи с потока от приложения (п<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.
Нека намерим средния брой приложения в системата QS L. Случайната променлива Z - броят на приложенията в системата - има възможни стойности 0, 1, 2, ..., k, ... с вероятности p0, p1, p2, ..., pk, ... Математическото му очакване е
| |
(сумата се взема не от 0 до ∞, а от 1 до ∞, тъй като нулевият член е равен на нула).
Нека заместим израза за рk (4.39) във формула (4.40):
Сега нека извадим p (1 - p) от знака за сумата:
Тук отново прилагаме „малък трик“: kpk-1 не е нищо повече от производната по отношение на p от израза pk; означава,
Обръщайки операциите диференциране и сумиране, получаваме:
Е, сега прилагаме формулата на Литъл (4.25) и намираме средното време, през което една заявка остава в системата:
| |
Нека намерим средния брой приложения в опашката Loch. Ще разсъждаваме така: броят на приложенията в опашката е равен на броя на приложенията в системата минус броя на приложенията в процес на обслужване. Това означава (съгласно правилото за добавяне на математически очаквания), средният брой приложения в опашката Loch е равен на средния брой приложения в системата Lsyst минус средния брой приложения в процес на обслужване. Броят на обслужваните заявки може да бъде нула (ако каналът е свободен) или едно (ако е зает). Математическото очакване на такава случайна променлива е равно на вероятността каналът да е зает (означихме го с Rzan). Очевидно Pzan е равно на едно минус вероятността p0 каналът да е свободен:
и накрая
Така са установени всички характеристики на ефективността на QS.
Каним читателя сам да реши пример: едноканална QS е железопътна сортировъчна гара, която получава най-простия поток от влакове с интензивност λ = 2 (влакове на час). Поддръжката (разформироването) на влака продължава произволно (индикативно) време със средна стойност tob = 20 (мин.). Паркът за пристигане на гарата има две коловози, на които пристигащите влакове могат да чакат за обслужване; ако и двата коловоза са заети, влаковете са принудени да чакат на външните коловози. Необходимо е да се намери (за ограничителния, стационарен режим на работа на гарата): средният брой влакове Lсистема, свързани с гарата, средното време Wсистема, през което влакът престоява на гарата (на вътрешни коловози, на външни коловози и под услуга), средният брой Lof влакове, чакащи на опашка за разпускане (няма значение кои коловози), средното време, през което влакът остава на опашка. Освен това се опитайте да намерите средния брой влакове, чакащи да бъдат разпуснати на външни коловози Lext и средното време на това чакане Wext (последните две стойности са свързани с формулата на Little). И накрая, намерете общата дневна глоба Sh, която станцията ще трябва да плати за престой на влак на външни коловози, ако станцията плати глоба a (рубли) за един час престой на един влак. За всеки случай съобщаваме отговорите: Lcist = 2 (влак), Wsyst = i (час), Loch = 4/3 (влак), Woch = 2/3 (часа), Lext = 16/27 (влак), Wext = 8 /27 ≈ 0,297 (часа). Средната дневна глоба Ш за изчакване на влакове по външни коловози се получава като се умножат средният брой на пристигащите влакове за денонощие на гарата, средното време за изчакване на влаковете по външни коловози и часовата глоба а: Ш ≈ 14,2а.
Многоканален QS с неограничена опашка
Нека разгледаме проблема. На разположение n-канален QS с неограничена опашка. Потокът от заявки, влизащи в QS, има интензитет l, а потокът от услуги има интензитет m. Необходимо е да се намерят граничните вероятности на състоянията на QS и показателите за неговата ефективност.
Системата може да бъде в едно от състоянията S0, S1, S2, ..., Sk .., Sn, ..., номерирани според броя на заявките в QS: S0 -- няма заявки в системата (всички канали са безплатни); S -- един канал е зает, останалите са свободни; S2- два канала са заети, останалите са свободни; Sk -- k канала са заети, останалите са свободни; Sn -- всички n канала са заети (няма опашка); Sn+1 -- всички n канала са заети, има една заявка в опашката; Sn+r -- всички n канала са заети, r приложения са на опашка.
Графиката на състоянието на системата е показана на Фигура 7. Нека отбележим, че за разлика от предишния QS, интензивността на потока на услугата (прехвърляне на системата от едно състояние в друго отдясно наляво) не остава постоянна, а като броя на заявките в QS се увеличават от 0 на n се увеличават от m на n??, тъй като броят на каналите за обслужване се увеличава съответно. Когато броят на заявките в QS е по-голям от n, интензивността на обслужващия поток остава равна на nm.
Фигура 7 - Графика на състоянието на многоканален QS
Може да се покаже, че за c/n< 1 предельные вероятности существуют. Если с/n ? 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (20) и (21) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью
Вероятността дадено приложение да бъде в опашката е
За n-канален QS с неограничена опашка, използвайки предишни техники, може да се намери:
среден брой заети канали
среден брой приложения в системата
Средното време, през което едно приложение остава в опашката, и средното време, през което едно приложение остава в системата, както преди, се намират с помощта на формулите на Литъл (48) и (49).
Коментирайте. За QS с неограничена опашка с< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк = 0, Q=1, а равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = л.
QS с ограничена опашка
Задачите с ограничена опашка се различават само по това, че броят на приложенията в опашката е ограничен (не може да надвишава определено определено m). Ако нова заявка пристигне в момент, когато всички места в опашката са заети, тя оставя QS необслужен, т.е. получава отказ.
Едноканален QS с ограничена дължина на опашката
Гранични вероятности:
Вероятност за провал:
Абсолютна производителност
Относителна честотна лента
Среден брой заявления в опашката
Среден брой обслужвани заявки (среден брой заети канали)
Среден брой приложения в системата
Многоканален QS с ограничена опашка
Гранични вероятности:
Вероятност за провал:
Абсолютна производителност
Относителна честотна лента
Среден брой заявления в опашката
Среден брой обслужвани заявки (среден брой заети канали)
Помислете за многоканален QS (П> 1), чийто вход получава Поасонов поток от заявки с интензитет и интензитетът на услугата на всеки канал е p, максималният възможен брой места в опашката е ограничен от стойността T.Дискретните състояния на QS се определят от броя на приложенията, получени от системата, които могат да бъдат записани:
Sq - всички канали са безплатни, к = 0;
С-само един канал е зает (всеки), к = 1;
*5*2 - само два канала (който и да е) са заети, к = 2;
S n- всички са заети Пканали, k = p.
Докато QS е в някое от тези състояния, няма опашка. След като всички канали за обслужване са заети, следващите заявки образуват опашка, като по този начин определят по-нататъшното състояние на системата:
S n + -всички са заети Пканали и едно приложение е на опашка, к = П + 1;
С n +2 - всички са заети Пканали и две приложения са на опашка, к = П + 2;
S n+m -всички са заети Пвъжета и всичко Tместа в ред k = n + m.
Графика на състоянието и канал SMOс опашка,ограничен Tна някои места, показани на фиг. 5.18.
Преходът на QS към състояние с големи числа се определя от потока от входящи заявки с интензитет
Ориз. 5.18
като според условието те участват в обслужването на тези заявки Пидентични канали с интензитет на обслужващия поток, равен на p за всеки канал. В този случай общата интензивност на потока услуги се увеличава със свързването на нови канали до това състояние Sn,когато всички Пканалите ще бъдат заети. С появата на опашката интензивността на услугата вече не се увеличава, тъй като вече е достигнала максималната стойност, равна на тел.
Нека напишем изрази за граничните вероятности на състоянията
Изразът за rho може да бъде преобразуван с помощта на формулата за геометрична прогресия за сумата от членове със знаменател p /P:
Образуването на опашка е възможно, когато новопостъпило приложение намери в системата най-малко Пизисквания, т.е. кога системата ще бъде p, p + 1, П + 2, (П + T- 1) изисквания. Тези събития са независими, така че вероятността всички канали да са заети е равна на сумата от съответните вероятности r yu Rp+bPp+2 > ->Рп+т- 1- Следователно вероятността за образуване на опашка е
Възможността за отказ на услуга възниква, когато всички Пканали и всичко Tместата на опашката са запълнени
Относителната производителност ще бъде равна на
Абсолютна производителност
Среден брой заети канали
Среден брой неактивни канали
Коефициент на заетост (използване) на канала
Коефициент на прекъсване на канала
Среден брой заявления на опашки
ако r/n = 1, тази формула приема различна форма:
Средното време на чакане на опашка се определя по формулите на Литъл 
Средното време, което едно приложение остава в QS, като за едноканален QS, е по-голямо от средното време на изчакване в опашката със средното време за обслужване, равно на 1/p, тъй като приложението винаги се обслужва само от един канал:
Пример 5.21. Минимаркетът приема клиентопоток с интензитет от 6 клиента в минута, които се обслужват от трима касиери с интензитет от 2 клиента в минута. Дължината на опашката е ограничена до пет клиента. Определете характеристиките на QS и оценете неговата ефективност.
Решение
n = 3; T = 5; X =6; р = 2; p =X/x = 3; r/n = 1.
Намираме граничните вероятности на QS състоянията:
Дял на престоя на касиерите
Вероятността само един канал да е зает с обслужване е
Вероятността два канала да са заети с обслужване е
Вероятността и трите канала да са заети е
Вероятността и трите канала и петте места в опашката да са заети е
Възможността за отказ на услуга възниква, когато k = t + n = = 5 + 3 = 8 и е р$ = р ОТК = 0,127.
Относителният и абсолютният капацитет на QS са съответно равни Q = 1 - r отворен= 0,873 и L = 0,873А. = 5,24 (клиенти/мин).
Средният брой заети канали и средната дължина на опашката са:
Средното време на чакане в опашката n престой в QS е съответно равно на:
Системата за обслужване на минимаркета заслужава висока оценка, тъй като средната дължина на опашката и средното време, което клиентът прекарва на опашката, са малки.
Пример 5.22. Автомобилите с плодове и зеленчуци пристигат средно на всеки 30 минути в склада за плодове и зеленчуци. Средното време за разтоварване на един камион е 1,5 ч. Разтоварването се извършва от два екипа товарачи. На територията на базата не повече от четири превозни средства могат да стоят на опашката на площадката в очакване на разтоварване. Ще определим индикаторите и ще оценим работата на QS.
Решение
SMO двуканален, П= 2 с ограничен брой места на линия м= 4, интензитет на входящия поток l. = 2 av/h, интензивност на обслужване c = 2/3 av/h, интензивност на натоварване p = A./p = 3, r/n = 3/2 = 1,5.
Ние определяме характеристиките на QS:
Вероятността всички екипажи да не са натоварени, когато няма превозни средства
Вероятността от повреда, когато има две коли в процес на разтоварване и четири коли в опашката,
Среден брой коли в опашката
Делът на престоите на товарачите е много малък и възлиза само на 1,58% от работното време, а вероятността за отказ е висока - 36% от получените заявления получават отказ за разтоварване, двата екипа са почти напълно заети, коефициентът на заетост е близо до единица и равна на 0,96, относителната пропускателна способност е ниска - само 64% от получените заявки ще бъдат обслужени, средната дължина на опашката е 2,6 автомобила, следователно SM O не може да се справи с изпълнението на заявките за обслужване и е необходимо да увеличаване на броя на екипите товарачи и по-широко използване на възможностите на площадката за кацане.
Пример 5.23. Търговско дружество получава ранни зеленчуци от оранжериите на крайградска държавна ферма в произволно време с интензивност от 6 единици. в един ден. Помощни помещения, оборудване и трудови ресурсиви позволяват да обработвате и съхранявате продукти в обем от 2 единици. Във фирмата работят четирима души, всеки от които средно може да обработи продуктите от една доставка в рамките на 4 часа.Продължителността на работния ден е работа на смение 12 ч. Какъв трябва да бъде капацитетът на склада, така че пълната обработка на продуктите да бъде поне 97% от броя на извършените доставки?
Решение
Нека решим проблема, като последователно определим QS индикаторите за различни стойности на капацитета за съхранение T= 2, 3, 4, 5 и т.н. и сравнение на всеки етап от изчисляването на вероятността за обслужване с дадена стойност р 0 ()С = 0,97.
Определете интензивността на натоварването:
Намираме вероятността или част от времето за престой за t = 2:
Вероятност за отказ на услуга или процент на загубени приложения,
Вероятността за обслужване или делът на обслужените заявления от получените е
Тъй като получената стойност е по-малка от зададената стойност от 0,97, ние продължаваме изчисленията за T= 3. За тази стойност индикаторите на QS състоянията имат стойностите
Вероятността за обслужване в този случай също е по-малка от посочената стойност, така че продължаваме изчисленията за следващия t = 4, за които показателите за състояние са със следните стойности: p$ = 0,12; Rotk = 0,028; Pofc = 0,972. Сега получената стойност на вероятността за услугата удовлетворява условията на проблема, тъй като 0,972 > 0,97, следователно капацитетът на склада трябва да се увеличи до обем от 4 единици.
За да постигнете дадена вероятност за услуга, можете да изберете по същия начин оптималния брой хора за обработка на зеленчуци чрез последователно изчисляване на QS показателите за n = 3, 4, 5 и т.н. Компромисно решение може да се намери чрез сравняване и противопоставяне на различните варианти за организациите на ООП на разходите, свързани както с увеличаването на броя на служителите, така и със създаването на специална технологично оборудванено преработката на зеленчуци в търговско предприятие.
По този начин моделите за опашка, комбинирани с икономически методизадаването на задачи ви позволява да анализирате съществуващите QS, да разработите препоръки за тяхната реорганизация, за да подобрите оперативната ефективност, както и да определите оптималните показатели на новосъздадените QS.
Пример 5.24. Средно девет коли пристигат на автомивка на час, но ако вече има четири коли на опашката, новопристигащите клиенти по правило не се присъединяват към опашката, а минават. Средното време за измиване на кола е 20 минути, а местата за измиване са само на две. Средната цена на измиване на кола е 70 рубли. Определете средната загуба на приходи за автомивка през деня.
Решение
х= 9 коли/ч; = 20 минути; p = 2; t = 4.
Намиране на интензивността на натоварването 
Определяне на процента на престоя на автомивката
Вероятност за провал
Относителният капацитет е равен на абсолютния капацитет Средният брой коли в опашката
Среден брой обслужвани приложения
Средно време на чакане на опашка
Средно време, което една кола прекарва на автомивка
По този начин 34% от приложенията няма да бъдат обслужени, загубата за 12 часа работа на ден ще възлиза на средно 2570 рубли. (12*9* 0,34 70), т.е. 52% от общите приходи, т.к r отворено = 0,52 p 0 ^ s.
- относителна пропускателна способност или вероятност за обслужване, абсолютна пропускателна способност, среден брой заети екипажи, процент на заетост на екипажите на товарачите
