Predmet. Teorija sistema queuing.
Svaki QS se sastoji od određenog broja servisnih jedinica, koje se nazivajuservisni kanali (to su mašine, transportna kolica, roboti, komunikacione linije, blagajnici, prodavci itd.). Svaki QS je dizajniran da služi nekoj vrstitok aplikacija (zahtjevi) koji dolaze u nekim slučajnim trenucima u vremenu.
Klasifikacija QS-a prema načinu obrade ulaznog toka aplikacija.
Sistemi čekanja
Sa odbijanjima
(bez reda)
Sa redom
Ograničen red
Sa prioritetom
Prvi dođe, prvi uslužen
Relativni prioritet
Apsolutni prioritet
Po vremenu servisiranja
Po dužini reda
Klasifikacija prema načinu rada:
otvoren, tj. tok aplikacija ne zavisi od unutrašnjeg stanja QS-a;
zatvoreno, tj. ulazni tok zavisi od stanja QS-a (jedan serviser servisira sve kanale kada pokvare).
Višekanalni QS sa čekanjem
Sistem sa ograničenom dužinom čekanja. Hajde da razmotrimo kanal QS sa čekanjem, koji prima tok zahtjeva sa intenzitetom ; intenzitet usluge (za jedan kanal) ; broj mjesta u redu
Stanja sistema su numerisana prema broju aplikacija, povezan sistemom:
bez reda:
- svi kanali su besplatni;
- jedan kanal je zauzet, ostali su slobodni;
- zauzeto -kanali, nema drugih;
- svi su zauzeti -nema besplatnih kanala;
postoji red:
- svi n-kanali su zauzeti; jedna aplikacija je u redu;
- svi n-kanali, r-zahtjevi u redu su zauzeti;
- Svi n-kanali, r-zahtjevi u redu su zauzeti.
GSP je prikazan na sl. 9. Svaka strelica je označena odgovarajućim intenzitetima tokova događaja. Sistem se uvek pomera duž strelica s leva na desno istim tokom aplikacija sa intenzitetom , prateći strelice s desna na lijevo, sistem se prenosi servisnim tokom čiji je intenzitet jednak , pomnoženo sa brojem zauzetih kanala.
Rice. 9. Višekanalni QS sa čekanjem
Vjerovatnoća neuspjeha.
(29)
Relativna propusnost dopunjuje vjerovatnoću kvara na jednu:
Apsolutna propusnost QS-a:
(30)
Prosječan broj zauzetih kanala.
Prosječan broj zahtjeva u redu može se izračunati direktno kao matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable:
(31)
Gdje .
Ovdje se opet (izraz u zagradama) javlja derivacija zbira geometrijske progresije (vidi gore (23), (24) - (26)), koristeći relaciju za to, dobijamo:
Prosječan broj aplikacija u sistemu:
Prosječno vrijeme čekanja za aplikaciju u redu čekanja.
(32)
Baš kao iu slučaju jednokanalnog QS-a sa čekanjem, imajte na umu da se ovaj izraz razlikuje od izraza za prosječnu dužinu reda samo u faktoru , tj.
.
Prosječno vrijeme zadržavanja zahtjeva u sistemu, isto kao i za jednokanalni QS 
.
Sistemi sa neograničenom dužinom čekanja. Pregledali smo kanal QS sa čekanjem, kada u redu istovremeno ne može biti više od m-zahtjeva.
Kao i do sada, pri analizi sistema bez ograničenja potrebno je uzeti u obzir dobijene relacije za .
Vjerovatnoća neuspjeha
Dobijamo prosječan broj aplikacija u redu čekanja na od (31):
,
a prosječno vrijeme čekanja je od (32): 
.
Prosječan broj prijava .
Primjer 2. Benzinska pumpa sa dvije kolone (n=2) opslužuje prometni tok sa intenzitetom =0,8 (automobila u minuti). Prosečno servisno vreme po mašini:
U okolini nema druge benzinske pumpe, tako da red automobila ispred pumpe može rasti gotovo neograničeno. Pronađite karakteristike QS-a.
SMO with ograničeno vrijeme očekivanja. Ranije smo razmatrali sisteme sa čekanjem ograničenim samo dužinom reda (broj m-zahtjeva istovremeno u redu). U takvom QS-u, aplikacija koja je narasla u redu čekanja ne napušta je dok ne čeka na servis. U praksi postoje i drugi tipovi QS-a u kojima aplikacija nakon nekog vremena može napustiti red čekanja (tzv. „nestrpljive“ aplikacije).
Razmotrimo QS ovog tipa, pod pretpostavkom da je ograničenje vremena čekanja slučajna varijabla.
Poissonov "tok odlazaka" sa intenzitetom:
Ako je ovaj tok Poisson, tada će proces koji se odvija u QS-u biti markovski. Nađimo vjerovatnoće stanja za to. Numeracija stanja sistema povezana je sa brojem aplikacija u sistemu - i koje se poslužuju i stoje u redu:
bez reda:
- svi kanali su besplatni;
- jedan kanal je zauzet;
- dva kanala su zauzeta;
- svi n-kanali su zauzeti;
postoji red:
- svi n-kanali su zauzeti, jedan zahtjev je u redu;
- Svi n-kanali su zauzeti, r-zahtjevi su u redu itd.
Grafikon stanja i prelaza sistema prikazan je na sl. 10.
Rice. 10. QS sa ograničenim vremenom čekanja
Označimo ovaj graf kao prije; sve strelice koje vode s lijeva na desno pokazat će intenzitet toka aplikacija . Za stanja bez reda, strelice koje vode od njih s desna na lijevo će, kao i do sada, označavati ukupan intenzitet toka koji opslužuje sve zauzete kanale. Što se tiče stanja sa redom, strelice koje vode od njih s desna na lijevo pokazat će ukupan intenzitet toka usluga svih n kanala plus odgovarajući intenzitet toka odlazaka iz reda. Ako u redu ima r zahtjeva, tada će ukupan intenzitet toka odlazaka biti jednak .
Prosječan broj aplikacija u redu čekanja: (35)
Svaka od ovih aplikacija podliježe „toku odlazaka“ sa intenzitetom . Dakle, od prosjeka -u prosjeku, prijave u redu će otići bez čekanja na uslugu, -prijave po jedinici vremena i ukupno po jedinici vremena u prosjeku će biti servisirane - aplikacije. Relativni kapacitet QS-a će biti: 
Prosječan broj zauzetih kanala još uvijek dobijamo dijeljenjem apsolutnog kapaciteta A sa Zatvoren QS
Do sada smo razmatrali sisteme u kojima dolazni tok nije ni na koji način povezan sa odlaznim tokom. Takvi sistemi se nazivaju otvorenim krugom. U nekim slučajevima, servisirani zahtjevi se ponovo primaju na ulaz nakon kašnjenja. Takvi QS se nazivaju zatvorenim. Klinika koja opslužuje određeno područje, tim radnika dodijeljen grupi mašina, primjeri su zatvorenih sistema.
U zatvorenom QS-u kruži isti konačan broj potencijalnih zahtjeva. Dok se potencijalni zahtjev ne realizuje kao zahtjev za uslugu, smatra se da je u bloku odgode. U trenutku implementacije ulazi u sam sistem. Na primjer, radnici održavaju grupu mašina. Svaka mašina je potencijalni zahtjev, koji se u trenutku kvara pretvara u stvarnu. Dok mašina radi, nalazi se u bloku kašnjenja, a od trenutka kvara do završetka popravke nalazi se u samom sistemu. Svaki radnik je servisni kanal. = =P 1 + 2 P 2 +…+(n- 1 )P n- 1 +n( 1 -P Ulaz trokanalnog QS-a sa kvarovima prima tok zahtjeva sa intenzitetom =4 zahtjeva u minuti, vrijeme za servisiranje zahtjeva po jednom kanalut obsl=1/μ =0,5 min. Sa stanovišta kapaciteta QS-a, da li je isplativo natjerati sva tri kanala na servisiranje zahtjeva odjednom, a da se prosječno vrijeme usluge smanji za tri puta? Kako će to uticati na prosječno vrijeme koje aplikacija provede u CMO-u?
Primjer 2 . /μ=2, ρ/n =2/3<1.
Zadatak 3:
Dva radnika upravljaju grupom od četiri mašine. Do zaustavljanja radne mašine dolazi u prosjeku nakon 30 minuta. Prosečno vreme podešavanja je 15 minuta. Vrijeme rada i podešavanja su raspoređeni prema eksponencijalnom zakonu.
Pronađite prosječan udio slobodnog vremena za svakog radnika i prosječno vrijeme rada mašine.
Pronađite iste karakteristike za sistem u kojem:
a) svakom radniku su dodeljene dve mašine;
b) dva radnika uvijek servisiraju mašinu zajedno, i to dvostrukim intenzitetom;
c) jedinu neispravnu mašinu servisiraju oba radnika odjednom (dvostrukim intenzitetom), a kada se pojavi bar još jedna neispravna mašina, oni počinju da rade odvojeno, svaki opslužuje jednu mašinu (prvo opišite sistem u smislu procesa smrt i rođenje).
Sistem prima Poissonov tok zahtjeva sa intenzitetom λ, tok usluge ima intenzitet μ, maksimalni broj mjesta u redu je T. Ako aplikacija uđe u sistem kada su sva mjesta u redu zauzeta, ona ostavlja sistem neuslužen.
Konačne vjerovatnoće stanja takvog sistema uvijek postoje, jer je broj stanja konačan:
S 0 – sistem je slobodan i u stanju mirovanja;
S 1 – jedan zahtjev se uručuje, kanal je zauzet, nema čekanja;
S 2 – jedna aplikacija se uručuje, jedna je u redu;
S m +1 - uručuje se jedna prijava, T queue.
Grafikon stanja takvog sistema prikazan je na slici 5:
S 0 S 1 S 2 S m+1
μ μ μ ………. μ μ
Slika 5: Jednokanalni QS sa ograničenim redom čekanja.
U formuli za R 0 Nađimo zbir konačnog broja članova geometrijske progresije:
(52)
Uzimajući u obzir formulu za ρ, dobijamo izraz:
U zagradama se nalaze (m+2) elementi geometrijske progresije sa prvim članom 1 i nazivnikom ρ. Koristeći formulu za zbir (m+2) članova progresije:
(54)
(55)
Formule za vjerovatnoće graničnih stanja će izgledati ovako:
Vjerovatnoća uskraćivanja usluge definišemo zahtjev kao vjerovatnoću da će, kada zahtjev stigne u sistem, njegov kanal biti zauzet i da će sva mjesta u redu također biti zauzeta:
(57)
Otuda i vjerovatnoća usluge(i takođe iz propusni opseg nosioca) jednaki su vjerovatnoći suprotnog događaja:
Apsolutna propusnost– broj aplikacija koje sistem opslužuje u jedinici vremena:
(59)
Prosječan broj aplikacija u servisu:
(60)
(61)
Prosječan broj aplikacija u sistemu:
(62)
Jednokanalni QS sa ograničenim redom čekanja može se razmotriti u Mathcadu.
Primjer:
Parking opslužuje 3 automobila sa protokom od 0,5 i prosječnim servisnim vremenom od 2,5 minuta. Odredite sve indikatore sistema.
6 Višekanalni smo s neograničenim redom čekanja
Neka je zadan sistem S, koji ima P servisni kanali koji primaju najjednostavniji tok zahtjeva sa intenzitetom λ. Neka je i tok usluge najjednostavniji i ima intenzitet μ. Red za uslugu je neograničen.
Brojem aplikacija u sistemu označavamo stanja sistema: S 0 ,S 1 ,S 2 ,…,S k ,… S n , gdje je S k – stanje sistema kada se u njemu nalazi k zahtjeva (maksimalni broj zahtjeva pod servisom je n). Grafikon stanja takvog sistema prikazan je kao dijagram na slici 6:
λ λ λ λ λ λ λ
……. …….
S 0 S 1 S 2 S m+1 S n
μ 2μ 3μ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ
Slika 6: Višekanalni QS sa neograničenim redom čekanja.
Intenzitet toka usluge varira u zavisnosti od stanja sistema: kμ pri prelasku iz stanja S k u stanje S k -1 pošto bilo koji od k kanali; nakon što su svi kanali zauzeti servisom, intenzitet protoka usluge ostaje jednak pμ, po prijemu daljih aplikacija u sistem.
Da bismo pronašli konačne vjerovatnoće stanja, dobijamo formule slične kako je to urađeno za jednokanalni sistem.
(63)
Stoga su formule za konačne vjerovatnoće izražene kroz
Naći R 0 dobijamo jednačinu:
Za članove u zagradama, počevši od (n+ 2)-og, možete primijeniti formulu za pronalaženje sume beskonačno opadajuće geometrijske progresije s prvim članom 
i imenilac ρ/n:
(66)
Konačno, dobijamo Erlangovu formulu za pronalaženje vjerovatnoće zastoja sistema:
(67)
Predstavimo formule za izračunavanje glavnih indikatora performansi sistema.
Sistem će se nositi sa protokom aplikacija ako
uslov ispunjen
,
(68)
što znači da broj aplikacija primljenih u sistem u jedinici vremena ne prelazi broj aplikacija koje je sistem opsluživao tokom istog vremena. Gde vjerovatnoća uskraćivanja usluge jednaka nuli.
Odavde verovatnoća usluge(i takođe relativna propusnost sistema) jednaki su vjerovatnoći suprotnog događaja, odnosno jedinstvu:
(69)
Apsolutnopropusnost- broj aplikacija koje sistem servisira u jedinici vremena:
(70)
Ako se sistem nosi sa protokom zahtjeva, onda u stacionarnom načinu rada intenzitet odliva jednak je intenzitetu toka aplikacija koje ulaze u sistem, pošto su sve aplikacije servisirane:
ν=λ . (71)
Pošto svaki kanal opslužuje μ zahtjeva po jedinici vremena, onda prosječan broj zauzetih kanala može se izračunati:
(72)
Prosjekvrijemeusluga kanal jednog zahtjeva ;
.
(73)
Vjerovatnoća da će aplikacija biti u redu pri ulasku u sistem jednaka je vjerovatnoći da ih ima više od P aplikacije:
(74)
Broj aplikacija koje se servisiraju jednak broju zauzetih kanala:
(75)
Prosječan broj aplikacija u redu čekanja:
(76)
Onda prosjekbrojaplikacijeu sistemu:
(77)
Prosječno vrijeme boravka aplikacije u sistemu (u redu čekanja):
(78)
(79)
Višekanalni QS sa neograničenim redom čekanja može se razmatrati u Mathcad sistemu.
Primjer 1:
Frizerski salon ima 5 frizera. Za vrijeme špica intenzitet protoka kupaca je 6 ljudi. U jedan sat. Usluživanje jednog klijenta u prosjeku traje 40 minuta. Odredite prosječnu dužinu reda, pod pretpostavkom da je neograničena.
Fragment rješavanja problema u Mathcadu.
Primjer 2:
Biletnica ima 2 prozora. Vrijeme usluživanja jednog putnika je 0,5 minuta. Putnici prilaze šalteru karata u grupama od po 3 osobe. Odredite sve karakteristike sistema.
Fragment rješavanja problema u Mathcadu.
Nastavak rješavanja problema u Mathcadu.
U praksi je prilično uobičajeno pronaći jednokanalne medicinske usluge sa redom (liječnik koji opslužuje pacijente; govornica sa jednom kabinom; kompjuter koji izvršava naloge korisnika). U teoriji čekanja jednokanalni QS sa redom takođe zauzima posebno mesto (većina do sada dobijenih analitičkih formula za ne-Markovljeve sisteme pripada takvim QS). Stoga ćemo posebnu pažnju obratiti na jednokanalni QS sa redom čekanja.
Neka postoji jednokanalni QS sa redom na kojem nisu nametnuta ograničenja (ni na dužinu reda, niti na vrijeme čekanja). Ovaj QS prima tok zahtjeva sa intenzitetom λ; tok usluga ima intenzitet μ, koji je inverzan od prosječnog vremena servisiranja zahtjeva tob. Potrebno je pronaći konačne vjerovatnoće stanja QS, kao i karakteristike njegove efektivnosti:
Lsyst - prosečan broj aplikacija u sistemu,
Wsyst je prosječno vrijeme kada zahtjev ostaje u sistemu,
Loch - prosječan broj aplikacija u redu čekanja,
Woch - prosječno vrijeme koje aplikacija ostaje u redu čekanja,
Rzan je vjerovatnoća da je kanal zauzet (stepen opterećenja kanala).
Što se tiče apsolutne propusnosti A i relativnog Q, nema potrebe da ih izračunavamo: zbog činjenice da je red neograničen, svaki zahtjev će prije ili kasnije biti servisiran, dakle A = λ, iz istog razloga Q = 1.
Rješenje. Kao i do sada, numerisaćemo stanja sistema prema broju aplikacija u QS:
S0 - kanal je besplatan,
S1 - kanal je zauzet (održava zahtjev), nema čekanja,
S2 - kanal je zauzet, jedan zahtjev je u redu,
Sk - kanal je zauzet, k - 1 aplikacija je u redu.
Teoretski, broj stanja je neograničen (beskonačan). Grafikon stanja ima oblik prikazan na sl. 4.11. Ovo je shema smrti i reprodukcije, ali s beskonačnim brojem stanja. Duž svih strelica, tok zahteva intenziteta λ pomera sistem s leva na desno, a s desna na levo - tok usluga intenziteta μ.
Rice. 4.11. Grafikon stanja QS-a u obliku sheme smrti i reprodukcije s beskonačnim brojem stanja
Prije svega, zapitajmo se, postoje li konačne vjerovatnoće u ovom slučaju? Na kraju krajeva, broj stanja sistema je beskonačan i, u principu, kako t→∞, red se može neograničeno povećavati! Da, to je tako: konačne vjerovatnoće za takav QS ne postoje uvijek, već samo kada sistem nije preopterećen. Može se dokazati da ako je p striktno manji od jedan (str<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!
No, vratimo se na naš jednokanalni QS s neograničenim redom čekanja. Strogo govoreći, izveli smo formule za konačne vjerovatnoće u shemi smrti i reprodukcije samo za slučaj konačnog broja stanja, ali ćemo ih koristiti za beskonačan broj stanja. Izračunajmo konačne vjerovatnoće stanja koristeći formule (4.21), (4.20). U našem slučaju, broj članova u formuli (4.21) će biti beskonačan. Dobijamo izraz za p0:
gdjeVjerovatnoće p1, p2, ..., pk, ... nalaze se prema formulama:
odakle, uzimajući u obzir (4.38), konačno nalazimo:
str 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., pk= ρ4(1- ρ), . . . (4.39)
Kao što vidite, vjerovatnoće p0, p1, ..., pk, ... formiraju geometrijsku progresiju sa nazivnikom p. Začudo, maksimum od njih p0 je vjerovatnoća da će kanal biti potpuno slobodan. Bez obzira koliko je opterećen sistem sa redom, može li se uopće nositi sa protokom aplikacija (p<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.
Nađimo prosječan broj aplikacija u QS Lsistemu. Slučajna varijabla Z - broj aplikacija u sistemu - ima moguće vrijednosti 0, 1, 2, ..., k, ... sa vjerovatnoćama p0, p1, p2, ..., pk, ... Njegovo matematičko očekivanje je
| |
(zbir se ne uzima od 0 do ∞, već od 1 do ∞, pošto je nulti član jednak nuli).
Zamijenimo izraz za rk (4.39) u formulu (4.40):
Sada uzmemo p (1 - p) iz predznaka zbira:
Ovdje ponovo primjenjujemo “mali trik”: kpk-1 nije ništa drugo do izvod u odnosu na p iz izraza pk; znači,
Obrnuvši operacije diferencijacije i zbrajanja, dobijamo:
Pa, sada primjenjujemo Littleovu formulu (4.25) i nalazimo prosječno vrijeme koje zahtjev ostaje u sistemu:
| |
Nađimo prosječan broj aplikacija u redu čekanja Loch. Rezonovaćemo ovako: broj aplikacija u redu je jednak broju aplikacija u sistemu umanjenom za broj aplikacija u servisu. To znači (prema pravilu sabiranja matematičkih očekivanja), prosječan broj aplikacija u redu čekanja Loch jednak je prosječnom broju aplikacija u sistemu Lsyst minus prosječan broj aplikacija u servisu. Broj zahtjeva u okviru usluge može biti nula (ako je kanal slobodan) ili jedan (ako je zauzet). Matematičko očekivanje takve slučajne varijable jednako je vjerovatnoći da je kanal zauzet (označili smo ga Rzan). Očigledno, Pzan je jednak jedan minus vjerovatnoća p0 da je kanal slobodan:
i na kraju
Tako su pronađene sve karakteristike efikasnosti QS-a.
Pozivamo čitaoca da sam riješi primjer: jednokanalni QS je željeznička ranžirna stanica, koja prima najjednostavniji protok vozova intenziteta λ = 2 (vozova na sat). Održavanje (raspuštanje) voza traje nasumično (indikativno) vrijeme sa prosječnom vrijednošću tob = 20 (min.). Dolazni park stanice ima dva kolosijeka na kojima vozovi koji dolaze mogu čekati na uslugu; ako su oba kolosijeka zauzeta, vozovi su prisiljeni čekati na vanjskim kolosijecima. Potrebno je pronaći (za granični, stacionarni način rada stanice): prosječan broj vozova Lsistema povezanih sa stanicom, prosječno vrijeme Wsistema u kojem voz ostaje u stanici (na unutrašnjim kolosijecima, na vanjskim kolosijecima i ispod usluga), prosječan broj Lof vozova koji čekaju u redu za raspuštanje (nije važno koje kolosijeke), prosječno vrijeme koliko voz ostaje u redu. Osim toga, pokušajte pronaći prosječan broj vozova koji čekaju na raspuštanje na vanjskim prugama Lext i prosječno vrijeme ovog čekanja Wext (zadnje dvije vrijednosti povezane su Littleovom formulom). Konačno, pronađite ukupnu dnevnu kaznu Sh koju će stanica morati da plati za zastoje voza na vanjskim kolosijecima, ako stanica plati kaznu a (rublji) za jedan sat zastoja jednog voza. Za svaki slučaj javljamo odgovore: Lcist = 2 (voz), Wsyst = i (sat), Loch = 4/3 (voz), Woch = 2/3 (sati), Lext = 16/27 (voz), Wext = 8 /27 ≈ 0,297 (sati). Prosječna dnevna kazna Š za čekanje vozova na vanjskim kolosijecima dobija se množenjem prosječnog broja vozova koji dnevno dolaze u stanicu, prosječnog vremena čekanja vozova na vanjskim kolosijecima i satne kazne a: Š ≈ 14,2a.
Višekanalni QS sa neograničenim redom čekanja
Hajde da razmotrimo problem. Dostupan n-kanalni QS sa neograničenim redom čekanja. Tok zahtjeva koji ulaze u QS ima intenzitet l, a tok usluga intenziteta m. Potrebno je pronaći granične vjerovatnoće stanja QS-a i indikatore njegove efektivnosti.
Sistem može biti u jednom od stanja S0, S1, S2, ..., Sk.., Sn, ..., numerisan prema broju zahteva u QS: S0 -- nema zahteva u sistemu (svi kanali su besplatni); S -- jedan kanal je zauzet, ostali su slobodni; S2-- dva kanala su zauzeta, ostali slobodni; Sk -- k kanali su zauzeti, ostali su slobodni; Sn -- svih n kanala je zauzeto (bez čekanja); Sn+1 -- svih n kanala je zauzeto, u redu je jedan zahtjev; Sn+r -- svih n kanala je zauzeto, r aplikacija je u redu.
Grafikon stanja sistema je prikazan na slici 7. Napomenimo da, za razliku od prethodnog QS, intenzitet toka usluge (prenošenje sistema iz jednog stanja u drugo s desna na lijevo) ne ostaje konstantan, već kao broj zahtjevi u QS-u se povećavaju od 0 do n povećavaju se od m do n??, pošto se u skladu s tim povećava i broj servisnih kanala. Kada je broj zahtjeva u QS-u veći od n, intenzitet toka usluge ostaje jednak nm.
Slika 7 - Grafikon stanja višekanalnog QS-a
Može se pokazati da za c/n< 1 предельные вероятности существуют. Если с/n ? 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (20) и (21) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью
Vjerovatnoća da će aplikacija biti u redu je
Za n-kanalni QS sa neograničenim redom, koristeći prethodne tehnike, može se pronaći:
prosječan broj zauzetih kanala
prosječan broj aplikacija u sistemu
Prosječno vrijeme boravka aplikacije u redu čekanja i prosječno vrijeme boravka aplikacije u sistemu, kao i prije, nalaze se pomoću Littleovih formula (48) i (49).
Komentar. Za QS sa neograničenim redom čekanja sa< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк = 0, Q=1, а равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = л.
QS sa ograničenim redom čekanja
Pitanja s ograničenim redom se razlikuju samo po tome što je broj aplikacija u redu ograničen (ne može premašiti određeni specificirani m). Ako novi zahtjev stigne u vrijeme kada su sva mjesta u redu zauzeta, QS ostaje neuslužen, tj. biva odbijen.
Jednokanalni QS sa ograničenom dužinom čekanja
Granične vjerovatnoće:
Vjerovatnoća neuspjeha:
Apsolutna propusnost
Relativna širina pojasa
Prosječan broj aplikacija u redu čekanja
Prosječan broj zahtjeva u okviru usluge (prosječan broj zauzetih kanala)
Prosječan broj aplikacija u sistemu
Višekanalni QS sa ograničenim redom čekanja
Granične vjerovatnoće:
Vjerovatnoća neuspjeha:
Apsolutna propusnost
Relativna širina pojasa
Prosječan broj aplikacija u redu čekanja
Prosječan broj zahtjeva u okviru usluge (prosječan broj zauzetih kanala)
Razmotrite višekanalni QS (P> 1), čiji ulaz prima Poissonov tok zahtjeva sa intenzitetom, a intenzitet usluge svakog kanala je p, maksimalni mogući broj mjesta u redu je ograničen vrijednošću T. Diskretna stanja QS-a određena su brojem prijava primljenih u sistem, koji se mogu zapisati:
Sq - svi kanali su besplatni, k = 0;
S- samo jedan kanal je zauzet (bilo koji), k = 1;
*5*2 - samo dva kanala (bilo koji) su zauzeta, k = 2;
S n- svi su zauzeti P kanali, k = p.
Dok je QS u bilo kojem od ovih stanja, nema reda. Nakon što su svi servisni kanali zauzeti, naredni zahtjevi formiraju red, čime se određuje dalje stanje sistema:
S n + - svi su zauzeti P kanala i jedna aplikacija je u redu, k = P + 1;
S n +2 - svi su zauzeti P kanali i dvije aplikacije su u redu, k = P + 2;
S n+m - svi su zauzeti P užad i sve T mjesta u redu k = n + m.
Grafikon stanja i kanal SMO With red, ograničeno T na nekim mestima, prikazano na sl. 5.18.
Prelazak QS-a u stanje s velikim brojevima određen je protokom dolaznih zahtjeva sa intenzitetom
Rice. 5.18
pri čemu, prema uslovu, učestvuju u servisiranju ovih zahtjeva P identični kanali sa intenzitetom protoka usluga jednakim p za svaki kanal. U ovom slučaju, ukupni intenzitet toka usluge raste sa povezivanjem novih kanala do ovog stanja sn, kada sve P kanali će biti zauzeti. Pojavom reda, intenzitet usluge se više ne povećava, jer je već dostigao maksimalnu vrijednost jednaku tel.
Zapišimo izraze za granične vjerovatnoće stanja
Izraz za rho može se transformirati korištenjem formule geometrijske progresije za zbir članova sa nazivnikom p /P:
Formiranje reda je moguće kada se novoprimljena aplikacija nađe u sistemu barem P zahtjevima, tj. kada će sistem biti str, str + 1, P + 2, (P + T- 1) zahtjevi. Ovi događaji su nezavisni, pa je vjerovatnoća da su svi kanali zauzeti jednaka zbroju odgovarajućih vjerovatnoća r yu Rp+bPp+2 > ->Rp+t- 1- Dakle, vjerovatnoća formiranja reda je
Mogućnost uskraćivanja usluge javlja se kada sve P kanali i sve T mjesta u redu su popunjena
Relativna propusnost će biti jednaka
Apsolutna propusnost
Prosječan broj zauzetih kanala
Prosječan broj neaktivnih kanala
Omjer zauzetosti kanala (upotreba).
Odnos zastoja kanala
Prosječan broj aplikacija u redovima
ako r/n = 1, ova formula ima drugačiji oblik:
Prosječno vrijeme čekanja u redu je određeno Littleovim formulama 
Prosječno vrijeme boravka aplikacije u QS-u, kao i za jednokanalni QS, veće je od prosječnog vremena čekanja u redu za prosječno vrijeme usluge jednako 1/p, budući da aplikaciju uvijek opslužuje samo jedan kanal:
Primjer 5.21. Minimarket prima protok kupaca intenzitetom od šest kupaca u minuti, koje opslužuju tri blagajnika intenzitetom od dva kupca u minuti. Dužina reda je ograničena na pet kupaca. Odredite karakteristike QS-a i procijenite njegove performanse.
Rješenje
n = 3; T = 5; X =6; p = 2; p =X/x = 3; r/n = 1.
Nalazimo granične vjerovatnoće QS stanja:
Udio zastoja za blagajnike
Vjerovatnoća da je samo jedan kanal zauzet servisiranjem je
Vjerovatnoća da su dva kanala zauzeta servisiranjem je
Vjerovatnoća da su sva tri kanala zauzeta je
Vjerovatnoća da su sva tri kanala i pet mjesta u redu zauzeta je
Mogućnost uskraćivanja usluge javlja se kada k = t + n = = 5 + 3 = 8 i jeste r$ = r OTK = 0,127.
Relativni i apsolutni kapaciteti QS-a su respektivno jednaki Q = 1 - r otvoren= 0,873 i L = 0.873A. = 5,24 (kupci/min).
Prosječan broj zauzetih kanala i prosječna dužina reda čekanja su:
Prosječno vrijeme čekanja u redu n boravka u QS-u je odgovarajuće:
Sistem usluga minimarketa zaslužuje veliku pohvalu, jer su prosječna dužina reda i prosječno vrijeme koje potrošač provede u redu mali.
Primjer 5.22. Vozila sa proizvodima od voća i povrća u prosjeku dolaze do skladišta voća i povrća svakih 30 minuta. Prosječno vrijeme istovara jednog kamiona je 1,5 sat.Istovar obavljaju dvije ekipe utovarivača. Na teritoriji baze ne smiju biti više od četiri vozila u redu na slijetanju, čekajući istovar. Utvrdit ćemo indikatore i ocijeniti učinak QS-a.
Rješenje
SMO dvokanalni, P= 2 sa ograničenim brojem mesta u redu m= 4, dolazni intenzitet protoka l. = 2 av/h, intenzitet rada c = 2/3 av/h, intenzitet opterećenja p = A./p = 3, r/n = 3/2 = 1,5.
Određujemo karakteristike QS-a:
Vjerovatnoća da sve posade nisu ukrcane kada nema vozila je
Verovatnoća kvara kada su dva automobila na istovaru i četiri automobila u redu,
Prosječan broj automobila u redu
Udio zastoja utovarivača je vrlo mali i iznosi samo 1,58% radnog vremena, a vjerovatnoća odbijanja je velika - 36% primljenih prijava je odbijeno za istovar, oba tima su skoro potpuno popunjena, koeficijent zaposlenosti je blizu jedan i jednak 0,96, relativno je propusnost nizak - samo 64% primljenih aplikacija će biti servisirano, prosječna dužina reda je 2,6 automobila, stoga SM O ne može da se nosi sa ispunjenjem zahtjeva za servis i potrebno je povećati broj timova utovarivača i šire iskoristiti mogućnosti sletišta.
Primjer 5.23. Komercijalna kompanija prima rano povrće iz plastenika prigradske državne farme u nasumično vrijeme sa intenzitetom od 6 jedinica. za jedan dan. Pomoćne prostorije, oprema i radne resurse omogućavaju obradu i skladištenje proizvoda u količini od 2 jedinice. Preduzeće zapošljava četiri osobe, od kojih svaki u prosjeku može preraditi proizvode jedne isporuke u roku od 4 sata.Trajanje radnog dana je smjenski rad je 12 sati Koliki bi trebao biti kapacitet skladišta da bi kompletna obrada proizvoda bila najmanje 97% od broja izvršenih isporuka?
Rješenje
Rešimo problem uzastopnim određivanjem QS indikatora za različite vrednosti kapaciteta skladištenja T= 2, 3, 4, 5, itd. i poređenje u svakoj fazi izračunavanja vjerovatnoće usluge sa datom vrijednošću r 0 ()S = 0,97.
Odredite intenzitet opterećenja:
Pronalazimo vjerovatnoću, ili dio vremena, zastoja za t = 2:
Vjerovatnoća uskraćivanja usluge ili udio izgubljenih aplikacija,
Vjerovatnoća usluge, ili udio usluženih aplikacija u odnosu na primljene, je
Pošto je dobijena vrijednost manja od navedene vrijednosti 0,97, nastavljamo proračune za T= 3. Za ovu vrijednost indikatori stanja QS imaju vrijednosti
Vjerovatnoća usluge u ovom slučaju je također manja od navedene vrijednosti, pa nastavljamo s proračunima za sljedeći t = 4, za koji indikatori stanja imaju sljedeće vrijednosti: p$ = 0,12; Rotk = 0,028; Pofc = 0,972. Sada dobijena vrijednost vjerovatnoće usluge zadovoljava uslove zadatka, budući da je 0,972 > 0,97, dakle, kapacitet skladišta se mora povećati na zapreminu od 4 jedinice.
Da biste postigli datu vjerovatnoću usluge, na isti način možete odabrati optimalan broj ljudi za obradu povrća uzastopnim izračunavanjem QS indikatora za n = 3, 4, 5, itd. Kompromisno rješenje može se pronaći poređenjem i suprotstavljanjem za različite opcije za CMO organizacije troškova povezanih s povećanjem broja zaposlenih i stvaranjem posebnog tehnološke opreme već prerada povrća u trgovačkom preduzeću.
Dakle, modeli čekanja u kombinaciji sa ekonomske metode Postavljanje zadataka vam omogućava da analizirate postojeće QS, razvijete preporuke za njihovu reorganizaciju radi poboljšanja operativne efikasnosti, kao i da odredite optimalne indikatore novonastalih QS-ova.
Primjer 5.24. U prosjeku, u perionicu na sat stigne devet automobila, ali ako su već četiri automobila u redu, novopridošli kupci po pravilu ne ulaze u red, već prolaze. Prosečno vreme za pranje automobila je 20 minuta, a postoje samo dva mesta za pranje. Prosječna cijena pranja automobila je 70 rubalja. Odredite prosječan gubitak prihoda za pranje automobila tokom dana.
Rješenje
X= 9 automobila/h; = 20 min; p = 2; t = 4.
Pronalaženje intenziteta opterećenja 
Određivanje procenta zastoja u pranju automobila
Vjerovatnoća neuspjeha
Relativni kapacitet je jednak Apsolutnom kapacitetu Prosječan broj automobila u redu
Prosječan broj servisiranih aplikacija
Prosječno vrijeme čekanja u redu
Prosječno vrijeme koje automobil provede u autopraonici
Dakle, 34% aplikacija neće biti servisirano, gubitak za 12 sati rada jednog dana iznosit će u prosjeku 2570 rubalja. (12*9* 0,34 70), tj. 52% ukupnog prihoda, jer r otvoren = 0,52 p 0 ^ s.
- relativna propusnost, ili vjerovatnoća usluge, apsolutna propusnost, prosječan broj zauzetih posada, stopa popunjenosti posada utovarivača
