Tema. Sistemų teorija eilėse.

Kiekvienas QS susideda iš tam tikro skaičiaus paslaugų vienetų, kurie yra vadinamipaslaugų kanalai (tai mašinos, transporto vežimėliai, robotai, ryšio linijos, kasininkai, pardavėjai ir kt.). Kiekvienas QS skirtas tam tikram aptarnavimuiprogramų srautas (reikalavimai) atvyksta tam tikrais atsitiktiniais laiko momentais.

QS klasifikavimas pagal įvesties programų srauto apdorojimo metodą.

Eilių sistemos

Su atsisakymais

(nėra eilės)

Su eile

Neribota eilė

Ribota eilė

Su pirmenybe

Pirmas atėjai, tas pirmas

Santykinis prioritetas

Absoliutus prioritetas

Pagal aptarnavimo laiką

Pagal eilės ilgį

Klasifikacija pagal veikimo būdą:

atviras, t.y. programų srautas nepriklauso nuo vidinės QS būsenos;

uždara, t.y. įvesties srautas priklauso nuo QS būsenos (vienas remontininkas aptarnauja visus kanalus jiems sugedus).

Kelių kanalų QS su laukimu

Sistema su ribotu eilės ilgiu. Pasvarstykime kanalas QS su laukimu, kuris gauna užklausų srautą su intensyvumu ; paslaugų intensyvumas (vienam kanalui) ; vietų skaičius eilėje

Sistemos būsenos sunumeruojamos pagal programų skaičių, prijungtas sistemos:

nėra eilės:

- visi kanalai nemokami;

- vienas kanalas užimtas, likusieji nemokami;

- užsiėmes -kanalai, jokių kitų;

- visi užsiėmę -nėra nemokamų kanalų;

yra eilė:

- visi n kanalai yra užimti; viena programa yra eilėje;

- visi n kanalai, r-užklausos eilėje užimti;

- Visi n kanalai, r-užklausos eilėje yra užimti.

GSP parodyta fig. 9. Kiekviena rodyklė pažymėta atitinkamu įvykių srautų intensyvumu. Sistema visada perkeliama išilgai rodyklių iš kairės į dešinę tuo pačiu intensyvumo programų srautu , sekant rodyklėmis iš dešinės į kairę, sistema perduodama paslaugų srautu, kurio intensyvumas lygus , padaugintas iš užimtų kanalų skaičiaus.

Ryžiai. 9. Kelių kanalų QS su laukimu

Nesėkmės tikimybė.

(29)

Santykinis pralaidumas gedimo tikimybę papildo viena:

Absoliutus QS pralaidumas:

(30)

Vidutinis užimtų kanalų skaičius.

Vidutinį užklausų skaičių eilėje galima tiesiogiai apskaičiuoti kaip matematinį diskretiško atsitiktinio kintamojo lūkesčius:

(31)

Kur .

Čia vėlgi (išraiška skliausteliuose) atsiranda geometrinės progresijos sumos išvestinė (žr. aukščiau (23), (24) - (26)), naudojant jos santykį, gauname:

Vidutinis programų skaičius sistemoje:

Vidutinis paraiškos laukimo laikas eilėje.

(32)

Kaip ir vieno kanalo QS su laukimu atveju, atkreipkite dėmesį, kad ši išraiška skiriasi nuo vidutinės eilės ilgio išraiškos tik koeficientu , t.y.

Vidutinis užklausos buvimo sistemoje laikas, toks pat kaip ir vieno kanalo QS .

Sistemos su neribotu eilės ilgiu. Mes peržiūrėjome kanalas QS su laukimu, kai eilėje vienu metu gali būti ne daugiau kaip m užklausų.

Kaip ir anksčiau, analizuojant sistemas be apribojimų, reikia atsižvelgti į gautus ryšius .

Nesėkmės tikimybė

Gauname vidutinį paraiškų skaičių eilėje adresu nuo (31):

ir vidutinis laukimo laikas yra nuo (32): .

Vidutinis paraiškų skaičius .

2 pavyzdys. Degalinė su dviem stulpeliais (n = 2) intensyviai aptarnauja eismo srautą =0,8 (automobilių per minutę). Vidutinis mašinos aptarnavimo laikas:

Kitos degalinės rajone nėra, todėl automobilių eilė prieš degalinę gali augti beveik neribotai. Raskite QS charakteristikas.

SMO su ribotas laikas lūkesčius. Anksčiau mes laikėme sistemas, kuriose laukimas ribojamas tik eilės ilgio (vienu metu eilėje esančių m užklausų skaičiaus). Tokioje QS programėlė, kuri išaugo į eilę, nepalieka jos tol, kol nelaukia aptarnavimo. Praktikoje yra ir kitų tipų QS, kuriuose programa, šiek tiek palaukusi, gali išeiti iš eilės (vadinamosios „nekantrus“ programos).

Panagrinėkime šio tipo QS, darydami prielaidą, kad laukimo laiko apribojimas yra atsitiktinis kintamasis.

Puasono „išvykimų srautas“ su intensyvumu:

Jei šis srautas yra Puasonas, tada QS vykstantis procesas bus Markovo. Raskime jo būsenos tikimybes. Sistemos būsenų numeracija susieta su programų skaičiumi sistemoje – tiek aptarnaujamų, tiek stovinčių eilėje:

nėra eilės:

- visi kanalai nemokami;

- vienas kanalas užimtas;

- du kanalai užimti;

- visi n kanalai yra užimti;

yra eilė:

- visi n kanalai yra užimti, viena užklausa yra eilėje;

- Visi n kanalai yra užimti, r užklausos yra eilėje ir pan.

Sistemos būsenų ir perėjimų grafikas parodytas fig. 10.

Ryžiai. 10. QS su ribotu laukimo laiku

Pažymėkime šį grafiką kaip ir anksčiau; visos rodyklės, vedančios iš kairės į dešinę, parodys programų srauto intensyvumą . Būsenoms be eilės rodyklės, vedančios iš dešinės į kairę, kaip ir anksčiau, parodys bendrą srauto, aptarnaujančio visus užimtus kanalus, intensyvumą. Kalbant apie būsenas, kuriose yra eilė, rodyklės, vedančios iš dešinės į kairę, parodys bendrą visų n kanalų paslaugų srauto intensyvumą pridėjus atitinkamą išvykimų iš eilės srauto intensyvumą. Jei eilėje yra r-užklausų, tada bendras išvykimų srauto intensyvumas bus lygus .

Vidutinis eilėje esančių paraiškų skaičius: (35)

Kiekvienai iš šių programų taikomas intensyvus „išvykimų srautas“. . Taigi, nuo vidurkio - vidutiniškai eilėje esančios paraiškos išeis nelaukdamos aptarnavimo, - bus aptarnaujama vidutiniškai per laiko vienetą taikomų programų ir viso per laiko vienetą - programos. Santykinis QS pajėgumas bus:

Vidutinis užimtų kanalų skaičius vis tiek gauname absoliučią A talpą padalinę iš Uždarytas QS

Iki šiol svarstėme sistemas, kuriose įeinantis srautas niekaip nesusijęs su išeinančiu srautu. Tokios sistemos vadinamos atvirojo ciklo. Kai kuriais atvejais aptarnaujamos užklausos vėl gaunamos į įvestį po delsos. Tokie QS vadinami uždarais. Klinika, aptarnaujanti tam tikrą sritį, darbuotojų komanda, priskirta mašinų grupei, yra uždarų sistemų pavyzdžiai.

Uždarame QS cirkuliuoja toks pat baigtinis potencialių reikalavimų skaičius. Kol galimas reikalavimas neįgyvendinamas kaip paslaugos užklausa, laikoma, kad jis yra uždelsimo bloke. Diegimo momentu jis patenka į pačią sistemą. Pavyzdžiui, darbuotojai prižiūri mašinų grupę. Kiekviena mašina yra potencialus reikalavimas, kuris gedimo momentu virsta tikru. Kol mašina dirba, ji yra uždelsimo bloke, o nuo gedimo momento iki remonto pabaigos – pačioje sistemoje. Kiekvienas darbuotojas yra paslaugų kanalas. = =P 1 + 2 P 2 +…+(n- 1 )P n- 1 +n( 1 -P Trijų kanalų QS su gedimais įvestis gauna intensyvaus užklausų srautą =4 užklausos per minutę, užklausos aptarnavimo laikas vienu kanalut obsl=1/μ =0,5 min. Ar QS pajėgumo požiūriu apsimoka priversti visus tris kanalus aptarnauti vienu metu, o vidutinis aptarnavimo laikas sutrumpėja tris kartus? Kaip tai paveiks vidutinį laiką, kurį programa praleidžia BRO?

2 pavyzdys . /μ=2, ρ/n =2/3<1.

3 užduotis:

Du darbuotojai valdo keturių mašinų grupę. Veikiančios mašinos sustojimai įvyksta vidutiniškai po 30 minučių. Vidutinis nustatymo laikas yra 15 minučių. Veikimo ir nustatymo laikas paskirstomas pagal eksponentinį dėsnį.

Raskite vidutinę laisvo laiko dalį kiekvienam darbuotojui ir vidutinį mašinos veikimo laiką.

Raskite tas pačias charakteristikas sistemai, kurioje:

a) kiekvienam darbuotojui paskiriamos dvi mašinos;

b) du darbuotojai visada aptarnauja mašiną kartu ir dvigubu intensyvumu;

c) vienintelę sugedusią mašiną aptarnauja abu darbuotojai iš karto (dvigubu intensyvumu), o kai atsiranda dar bent viena sugedusi mašina, pradeda dirbti atskirai, kiekviena aptarnauja po vieną mašiną (pirmiausia apibūdinkite sistemą pagal darbo procesus). mirtis ir gimimas).

Sistema gauna Puasono užklausų srautą, kurio intensyvumas λ, paslaugų srauto intensyvumas μ, maksimalus vietų skaičius eilėje yra T. Jei programa patenka į sistemą, kai visos eilės vietos yra užimtos, ji palieka sistemą neaptarnaujama.

Galutinės tokios sistemos būsenų tikimybės visada egzistuoja, nes būsenų skaičius yra baigtinis:

S 0 – sistema laisva ir neaktyvioje būsenoje;

S 1 – aptarnaujama viena užklausa, kanalas užimtas, eilės nėra;

S 2 – vienas prašymas įteikiamas, vienas yra eilėje;

S m +1 - įteikiama viena paraiška, T eilė.

Tokios sistemos būsenos grafikas parodytas 5 paveiksle:

S 0 S 1 S 2 S m+1

μ μ μ ………. μ μ

5 pav. Vieno kanalo QS su ribota eile.

Formulėje už R 0 Raskime geometrinės progresijos baigtinio skaičiaus narių sumą:

(52)

Atsižvelgdami į ρ formulę, gauname išraišką:

Skliausteliuose yra (m+2) geometrinės progresijos elementai, kurių pirmasis narys yra 1 ir vardiklis ρ. Naudojant progresijos (m+2) terminų sumos formulę:

(54)

(55)

Ribinių būsenų tikimybių formulės atrodys taip:

Atsisakymo teikti paslaugą tikimybė užklausą apibrėžiame kaip tikimybę, kad užklausai atėjus į sistemą jos kanalas bus užimtas ir visos vietos eilėje taip pat bus užimtos:

(57)

Taigi paslaugų tikimybė(ir taip pat iš operatoriaus pralaidumas) yra lygūs priešingo įvykio tikimybei:

Absoliutus pralaidumas– sistemos aptarnaujamų programų skaičius per laiko vienetą:

(59)

Vidutinis aptarnaujamų programų skaičius:

(60)

(61)

Vidutinis programų skaičius sistemoje:

(62)

Mathcad gali būti svarstomas vieno kanalo QS su ribota eile.

Pavyzdys:

Aikštelė aptarnauja 3 automobilius, kurių debitas 0,5, o vidutinis aptarnavimo laikas 2,5 min. Nustatykite visus sistemos indikatorius.

6 Kelių kanalų smo su neribota eile

Tegu pateikta sistema S, turinti P paslaugų kanalai, kurie gauna paprasčiausią užklausų srautą, kurio intensyvumas λ. Tegul paslaugų srautas taip pat yra paprasčiausias ir jo intensyvumas μ. Eilė į paslaugą yra neribota.

Programų skaičiumi sistemoje žymime sistemos būsenas: S 0 ,S 1 ,S 2 ,…,S k ,… S n , kur S k – sistemos būsena, kai joje yra k užklausų (maksimalus aptarnaujamų užklausų skaičius yra n). Tokios sistemos būsenos grafikas pavaizduotas kaip diagrama 6 paveiksle:

λ λ λ λ λ λ λ

……. …….

S 0 S 1 S 2 S m+1 S n

μ 2 μ 3 μ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ

6 pav. Kelių kanalų QS su neribota eile.

Paslaugų srauto intensyvumas kinta priklausomai nuo sistemos būklės: kμ pereinant iš būsenos S k į būseną S k -1, nes bet kuris iš k kanalai; po to, kai visi kanalai yra užimti paslauga, paslaugų srauto intensyvumas išlieka vienodas pμ, gavus tolesnius prašymus į sistemą.

Norėdami rasti galutines būsenų tikimybes, gauname formules, panašias į tai, kaip tai buvo padaryta vieno kanalo sistemai.

(63)

Taigi galutinių tikimybių formulės išreiškiamos per

Rasti R 0 gauname lygtį:

Terminams skliausteliuose, pradedant nuo (n+ 2), galite taikyti formulę, kaip rasti be galo mažėjančios geometrinės progresijos su pirmuoju nariu ir vardiklis ρ/n:

(66)

Galiausiai gauname Erlang formulę sistemos prastovos tikimybei nustatyti:

(67)

Pateiksime pagrindinių sistemos veikimo rodiklių skaičiavimo formules.

Sistema susidoros su programų srautu, jei

sąlyga įvykdyta

, (68)

o tai reiškia, kad per laiko vienetą sistemos gaunamų prašymų skaičius neviršija sistemos per tą patį laiką aptarnaujamų prašymų skaičiaus. Kuriame atsisakymo teikti paslaugą tikimybė lygus nuliui.

Iš čia paslaugų tikimybė(ir taip pat santykinis pralaidumas sistemos) yra lygūs priešingo įvykio tikimybei, ty vienybei:

(69)

Absoliutuspralaidumas- sistemos aptarnaujamų programų skaičius per laiko vienetą:

(70)

Jei sistema susidoroja su užklausų srautu, tada stacionariu režimu nutekėjimo intensyvumas yra lygus į sistemą patenkančių programų srauto intensyvumui, nes visos programos yra aptarnaujamos:

ν=λ . (71)

Kadangi kiekvienas kanalas aptarnauja μ užklausų per laiko vienetą, tada vidutinis užimtų kanalų skaičius galima apskaičiuoti:

(72)

Vidutinislaikaspaslauga vienos užklausos kanalas ;

. (73)

Tikimybė, kad programa bus eilėje įeinant į sistemą, yra lygi tikimybei, kad yra daugiau nei P programos:

(74)

Aptarnaujamų programų skaičius lygus užimtų kanalų skaičiui:

(75)

Vidutinis eilėje esančių paraiškų skaičius:

(76)

Tada vidutinisnumerįprogramossistemoje:

(77)

Vidutinis programos buvimo sistemoje laikas (eilėje):

(78)

(79)

Mathcad sistemoje galima svarstyti kelių kanalų QS su neribota eile.

1 pavyzdys:

Kirpykloje dirba 5 kirpyklos. Piko metu klientų srauto intensyvumas – 6 žmonės. Pirmą valandą. Vieno kliento aptarnavimas trunka vidutiniškai 40 minučių. Nustatykite vidutinį eilės ilgį, darant prielaidą, kad jis neribotas.

Problemos sprendimo Mathcad fragmentas.

2 pavyzdys:

Geležinkelio bilietų kasoje yra 2 langai. Vieno keleivio aptarnavimo laikas yra 0,5 minutės. Keleiviai prie bilietų kasos artėja grupėmis po 3. Nustatykite visas sistemos charakteristikas.

Problemos sprendimo Mathcad fragmentas.

Problemos sprendimo tęsinys Mathcad.

Praktikoje gana dažnai galima rasti vieno kanalo medicinos paslaugas su eile (gydytojas, aptarnaujantis pacientus; taksofonas su viena kabina; kompiuteris, vykdantis vartotojo užsakymus). Eilių teorijoje ypatingą vietą užima ir vieno kanalo QS su eile (tokiems QS priklauso dauguma iki šiol gautų analitinių formulių ne Markovo sistemoms). Todėl ypatingą dėmesį skirsime vieno kanalo QS su eile.

Tegul būna vieno kanalo QS su eile, kuriai nėra taikomi jokie apribojimai (nei eilės ilgiui, nei laukimo laikui). Šis QS gauna užklausų srautą, kurio intensyvumas λ; paslaugų srauto intensyvumas yra μ, kuris yra atvirkštinis vidutinis užklausos aptarnavimo laikas tob. Būtina rasti galutines QS būsenų tikimybes, taip pat jos efektyvumo charakteristikas:

Lsyst - vidutinis programų skaičius sistemoje,

Wsyst yra vidutinis užklausos buvimo sistemoje laikas,

Loch - vidutinis programų skaičius eilėje,

Woch – vidutinis laikas, kai programa lieka eilėje,

Rzan yra tikimybė, kad kanalas užimtas (kanalo apkrovos laipsnis).

Kalbant apie absoliutų pralaidumą A ir santykinį Q, jų skaičiuoti nereikia: dėl to, kad eilė yra neribota, kiekviena užklausa anksčiau ar vėliau bus aptarnaujama, todėl A = λ, dėl tos pačios priežasties Q = 1.

Sprendimas. Kaip ir anksčiau, sistemos būsenas sunumeruosime pagal programų skaičių QS:

S0 - kanalas nemokamas,

S1 - kanalas užimtas (aptarnauja užklausą), nėra eilės,

S2 - kanalas užimtas, viena užklausa yra eilėje,

Sk - kanalas užimtas, k - 1 programos yra eilėje.

Teoriškai būsenų skaičius yra neribotas (begalinis). Būsenos grafikas turi tokią formą, kaip parodyta pav. 4.11. Tai mirties ir dauginimosi schema, bet su begaliniu būsenų skaičiumi. Išilgai visų rodyklių užklausų srautas, kurio intensyvumas λ, perkelia sistemą iš kairės į dešinę, o iš dešinės į kairę – paslaugų srautą, kurio intensyvumas μ.

Ryžiai. 4.11. QS būsenos grafikas mirties ir dauginimosi schemos pavidalu su begaliniu būsenų skaičiumi

Visų pirma, paklauskime savęs, ar šiuo atveju yra galutinės tikimybės? Juk sistemos būsenų skaičius yra begalinis, ir iš principo, kaip t→∞, eilė gali didėti neribotai! Taip, taip yra: galutinės tikimybės tokiam QS yra ne visada, bet tik tada, kai sistema nėra perkrauta. Galima įrodyti, kad jei p yra griežtai mažesnis už vieną (p<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Bet grįžkime prie vieno kanalo QS su neribota eile. Griežtai kalbant, galutinių tikimybių formules mirties ir dauginimosi schemoje išvedėme tik baigtinio būsenų skaičiaus atveju, tačiau jas naudosime begaliniam būsenų skaičiui. Apskaičiuokime galutines būsenų tikimybes pagal (4.21), (4.20) formules. Mūsų atveju terminų skaičius formulėje (4.21) bus begalinis. Gauname p0 išraišką:

kur

Tikimybės p1, p2, ..., pk, ... randamos pagal formules:

iš kur, atsižvelgdami į (4.38), galiausiai randame:

p 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., pk= ρ4(1- ρ), . . . (4.39)

Kaip matote, tikimybės p0, p1, ..., pk, ... sudaro geometrinę progresiją, kurios vardiklis p. Kaip bebūtų keista, didžiausias jų p0 yra tikimybė, kad kanalas bus visiškai laisvas. Nesvarbu, kiek apkrauta sistema su eile, ar ji apskritai gali susidoroti su programų srautu (p<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Raskime vidutinį programų skaičių QS Lsistemoje. Atsitiktinis dydis Z - programų skaičius sistemoje - turi galimas reikšmes 0, 1, 2, ..., k, ... su tikimybėmis p0, p1, p2, ..., pk, ... Jo matematinis lūkestis yra

(suma imama ne nuo 0 iki ∞, o nuo 1 iki ∞, nes nulinis narys yra lygus nuliui).

Pakeiskime рk (4.39) išraišką į formulę (4.40):

Dabar paimkime p (1 - p) iš sumos ženklo:

Čia vėl pritaikome „mažą gudrybę“: kpk-1 yra ne kas kita, kaip išvestinė p atžvilgiu iš išraiškos pk; Reiškia,

Apversdami diferenciacijos ir sumavimo operacijas, gauname:

Na, dabar taikome Litlo formulę (4.25) ir randame vidutinį užklausos buvimo sistemoje laiką:

Raskime vidutinį programų skaičių eilėje Loch. Mes samprotuosime taip: eilėje esančių programų skaičius yra lygus programų skaičiui sistemoje atėmus aptarnaujamų programų skaičių. Tai reiškia (pagal matematinių lūkesčių pridėjimo taisyklę), vidutinis programų skaičius eilėje Loch yra lygus vidutiniam programų skaičiui sistemoje Lsyst atėmus vidutinį aptarnaujamų programų skaičių. Aptarnaujamų užklausų skaičius gali būti nulis (jei kanalas laisvas) arba vienas (jei jis užimtas). Matematinis tokio atsitiktinio dydžio lūkestis yra lygus tikimybei, kad kanalas yra užimtas (pažymėjome jį Rzan). Akivaizdu, kad Pzan yra lygus vienetui atėmus tikimybę p0, kad kanalas yra laisvas:

ir, galiausiai

Taigi buvo nustatytos visos QS efektyvumo charakteristikos.

Kviečiame skaitytoją pačiam išspręsti pavyzdį: vienkanalas QS – tai geležinkelio skirstymo stotis, į kurią patenka paprasčiausias traukinių srautas, kurio intensyvumas λ = 2 (traukinių per valandą). Traukinio techninė priežiūra (išmontavimas) trunka atsitiktinį (orientacinį) laiką, kurio vidutinė reikšmė tob = 20 (min.). Stoties atvykimo parke yra du bėgiai, kuriuose atvykstantys traukiniai gali laukti aptarnavimo; jei abu bėgiai užimti, traukiniai priversti laukti ant išorinių bėgių. Reikia rasti (ribojamam, stacionariam stoties veikimo režimui): vidutinį traukinių skaičių Lsistemą, susietą su stotimi, vidutinį laiką Wsistemoje traukinio buvimo stotyje (vidiniuose bėgiuose, išoriniuose bėgiuose ir žemiau). paslauga), vidutinis Lof traukinių, laukiančių išformavimo eilėje, skaičius (nesvarbu, kurie bėgiai), vidutinis laikas, kada traukinys išbūna eilėje. Be to, pabandykite rasti vidutinį traukinių, laukiančių, kol bus išformuoti, skaičių išoriniuose bėgiuose Lext ir vidutinį šio laukimo laiką Wext (paskutinės dvi reikšmės yra susietos pagal Litlo formulę). Galiausiai suraskite bendrą paros baudą Sh, kurią stotis turės sumokėti už traukinio prastovą išoriniuose bėgiuose, jei stotis sumokės baudą a (rublių) už vieną traukinio prastovos valandą. Tik tuo atveju, pranešame atsakymus: Lcist = 2 (traukinys), Wsyst = i (valanda), Loch = 4/3 (traukinys), Woch = 2/3 (valandos), Lext = 16/27 (traukinys), Wext = 8 /27 ≈ 0,297 (valandos). Vidutinė paros bauda Ш už traukinių laukimą išoriniais bėgiais gaunama padauginus vidutinį traukinių, atvykstančių į stotį per dieną, skaičių, vidutinį traukinių laukimo laiką išoriniuose bėgiuose ir valandinę baudą а: Ш ≈ 14,2а.

Daugiakanalis QS su neribota eile

Panagrinėkime problemą. Yra n kanalų QS su neribota eile. Į QS patenkančių užklausų srauto intensyvumas yra l, o paslaugų srauto intensyvumas m. Būtina rasti QS būsenų ribines tikimybes ir jos efektyvumo rodiklius.

Sistema gali būti vienoje iš S0, S1, S2, ..., Sk .., Sn, ... būsenų, sunumeruota pagal užklausų skaičių QS: S0 -- sistemoje užklausų nėra (visi kanalai nemokami); S -- vienas kanalas užimtas, kiti laisvi; S2-- du kanalai užimti, likusieji laisvi; Sk -- k kanalai užimti, likusieji nemokami; Sn – visi n kanalų užimti (nėra eilės); Sn+1 -- visi n kanalų užimti, eilėje yra viena užklausa; Sn+r – visi n kanalų užimti, r programų yra eilėje.

Sistemos būsenos grafikas parodytas 7 paveiksle. Pastebėkime, kad, skirtingai nei ankstesniame QS, paslaugų srauto intensyvumas (sistemos perkėlimas iš vienos būsenos į kitą iš dešinės į kairę) išlieka ne pastovus, o kaip skaičius užklausų skaičius QS padidėja nuo 0 iki n, padidėja nuo m iki n??, nes atitinkamai didėja paslaugų kanalų skaičius. Kai užklausų skaičius QS yra didesnis nei n, paslaugų srauto intensyvumas išlieka lygus nm.

7 pav. Daugiakanalio QS būsenos grafikas

Galima parodyti, kad c/n< 1 предельные вероятности существуют. Если с/n ? 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (20) и (21) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью

Tikimybė, kad programa bus eilėje, yra

Naudojant n kanalų QS su neribota eile, naudojant ankstesnius metodus, galima rasti:

vidutinis užimtų kanalų skaičius

vidutinis programų skaičius sistemoje

Vidutinis programos buvimo eilėje laikas ir vidutinis programos buvimo sistemoje laikas, kaip ir anksčiau, randamas naudojant Little formules (48) ir (49).

komentuoti. Už QS su neribota eile su< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк = 0, Q=1, а равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = л.

QS su ribota eile

Klausimai su ribota eile skiriasi tik tuo, kad eilėje programų skaičius yra ribotas (negali viršyti tam tikro nurodyto m). Jei nauja užklausa ateina tuo metu, kai visos eilės vietos yra užimtos, ji palieka QS neaptarnuotą, t.y. būna atmestas.

Vieno kanalo QS su ribotu eilės ilgiu

Ribos tikimybės:

Gedimo tikimybė:

Absoliutus pralaidumas

Santykinis dažnių juostos plotis

Vidutinis eilėje esančių paraiškų skaičius

Vidutinis aptarnaujamų užklausų skaičius (vidutinis užimtų kanalų skaičius)

Vidutinis programų skaičius sistemoje

Daugiakanalis QS su ribota eile

Ribos tikimybės:

Gedimo tikimybė:

Absoliutus pralaidumas

Santykinis dažnių juostos plotis

Vidutinis eilėje esančių paraiškų skaičius

Vidutinis aptarnaujamų užklausų skaičius (vidutinis užimtų kanalų skaičius)

Apsvarstykite kelių kanalų QS (P> 1), kurio įvestis gauna Puasono užklausų srautą su intensyvumu ir kiekvieno kanalo aptarnavimo intensyvumas yra p, maksimalus galimas vietų skaičius eilėje ribojamas reikšme T. Atskiras QS būsenas lemia sistemos gautų prašymų skaičius, kurį galima užrašyti:

kv - visi kanalai nemokami, k = 0;

S- užimtas tik vienas kanalas (bet kuris), k = 1;

*5*2 – užimti tik du kanalai (bet kurie), k = 2;

S n– visi užsiėmę P kanalai, k = p.

Nors QS yra bet kurioje iš šių būsenų, eilės nėra. Kai visi paslaugų kanalai yra užimti, vėlesnės užklausos sudaro eilę, taip nustatant tolesnę sistemos būseną:

S n + - visi užsiėmę P kanalai ir viena programa yra eilėje, k = P + 1;

S n +2 – visi užsiėmę P kanalai ir dvi programos yra eilėje, k = P + 2;

S n+m - visi užsiėmę P lynai ir viskas T vietas eilėje k = n + m.

Būsenos grafikas ir kanalas SMO Su eilė, ribotas T kai kuriose vietose, parodyta pav. 5.18.

QS perėjimą į būseną su dideliu skaičiumi lemia gaunamų užklausų srautas, kurio intensyvumas

Ryžiai. 5.18

kadangi pagal sąlygas jie dalyvauja tenkinant šiuos prašymus P identiški kanalai, kurių paslaugų srauto intensyvumas lygus p kiekvienam kanalui. Tokiu atveju bendras paslaugų srauto intensyvumas didėja prijungus naujus kanalus iki šios būsenos Sn, kai visi P kanalai bus užimti. Atsiradus eilei, paslaugų intensyvumas nebedidėja, nes jis jau pasiekė maksimalią vertę, lygią tel.

Užrašykime būsenų ribojamųjų tikimybių išraiškas

Rho išraišką galima transformuoti naudojant geometrinės progresijos formulę terminų sumos vardikliu p /P:

Eilės formavimas galimas, kai naujai gauta programa randa bent sistemoje P reikalavimus, t.y. kada bus sistema p, p + 1, P + 2, (P + T- 1) reikalavimai. Šie įvykiai yra nepriklausomi, todėl tikimybė, kad visi kanalai bus užimti, yra lygi atitinkamų tikimybių sumai r yu Rp+bPp+2 > ->Рп+т- 1- Todėl eilės susidarymo tikimybė yra

Atsisakymo teikti paslaugą galimybė atsiranda, kai visi P kanalai ir viskas T vietos eilėje pilnos

Santykinis pralaidumas bus lygus

Absoliutus pralaidumas

Vidutinis užimtų kanalų skaičius

Vidutinis neveikiančių kanalų skaičius

Kanalo užimtumo (naudojimo) santykis

Kanalo prastovos koeficientas

Vidutinis paraiškų skaičius eilėse

jeigu r/n = 1, ši formulė yra kitokia:

Vidutinis laukimo laikas eilėje nustatomas pagal Litlo formules

Vidutinis programos buvimo QS laikas, kaip ir vieno kanalo QS, yra didesnis nei vidutinis laukimo eilėje laikas vidutiniu aptarnavimo laiku, lygiu 1/p, nes programa visada aptarnaujama tik vienu kanalu:

5.21 pavyzdys. Minimarketas sulaukia šešių klientų per minutę intensyvumo klientų srauto, kuriuos aptarnauja trys kasininkės dviejų klientų intensyvumu per minutę. Eilės ilgis ribojamas iki penkių klientų. Nustatykite QS charakteristikas ir įvertinkite jos veikimą.

Sprendimas

n = 3; T = 5; X =6; p = 2; p =X/x = 3; r/n = 1.

Mes nustatome ribines QS būsenų tikimybes:

Kasininkų prastovų dalis

Tikimybė, kad tik vienas kanalas yra užimtas aptarnavimui

Tikimybė, kad aptarnaujant bus užimti du kanalai, yra

Tikimybė, kad visi trys kanalai yra užimti

Tikimybė, kad visi trys kanalai ir penkios vietos eilėje yra užimti

Atsisakymo teikti paslaugą galimybė atsiranda tada, kai k = t + n = = 5 + 3 = 8 ir yra р$ = р OTK = 0,127.

Santykinė ir absoliuti QS talpa yra atitinkamai vienoda K = 1 - r atvira= 0,873 ir L = 0,873A. = 5,24 (klientų/min.).

Vidutinis užimtų kanalų skaičius ir vidutinė eilės trukmė yra:

Vidutinis laukimo laikas eilėje n buvimo QS yra atitinkamai lygus:

Minimarket paslaugų sistema nusipelno daug pagyrų, nes vidutinė eilės trukmė ir vidutinis laikas, kurį klientas praleidžia eilėje, yra nedidelis.

5.22 pavyzdys. Transporto priemonės su vaisių ir daržovių produktais į vaisių ir daržovių sandėlį atvažiuoja vidutiniškai kas 30 minučių. Vidutinis vieno sunkvežimio iškrovimo laikas – 1,5 val.. Iškrovimą atlieka dvi krautuvų komandos. Bazės teritorijoje prie iškrovimo eilėje gali stovėti ne daugiau kaip keturios transporto priemonės. Nustatysime rodiklius ir įvertinsime QS veiklą.

Sprendimas

SMO dviejų kanalų, P= 2 su ribotu vietų skaičiumi eilėje m= 4, įeinančio srauto intensyvumas l. = 2 av/h, aptarnavimo intensyvumas c = 2/3 av/h, apkrovos intensyvumas p = A./p = 3, r/n = 3/2 = 1,5.

Mes nustatome QS charakteristikas:

Tikimybė, kad visi ekipažai nėra pakrauti, kai nėra transporto priemonių

Gedimo tikimybė, kai iškraunami du automobiliai, o eilėje – keturi automobiliai,

Vidutinis eilėje esančių automobilių skaičius

Krautuvėlių prastovų dalis yra labai maža ir siekia vos 1,58% darbo laiko, o atsisakymo tikimybė didelė – 36% gautų prašymų atsisakoma iškrauti, abi komandos beveik užimtos, užimtumo koeficientas artimas vienetui. ir lygus 0,96, santykinai pralaidumas mažas - bus aptarnauta tik 64% gautų prašymų, vidutinis eilės ilgis 2,6 automobilio, todėl SM O negali susidoroti su prašymų aptarnavimu įvykdymu ir būtina padidinti krautuvų komandų skaičių ir plačiau išnaudoti nusileidimo etapo galimybes.

5.23 pavyzdys. Prekybos įmonė ankstyvąsias daržoves iš priemiesčio valstybinio ūkio šiltnamių gauna atsitiktiniu laiku 6 vnt. intensyvumu. per dieną. Pagalbinės patalpos, įranga ir darbo išteklių leidžia apdoroti ir laikyti 2 vienetų tūrio produktus. Įmonėje dirba keturi žmonės, kurių kiekvienas vidutiniškai vieno pristatymo produkciją gali apdoroti per 4 valandas.Darbo dienos trukmė – pamaininis darbas yra 12 val.. Kokia turi būti sandėlio talpa, kad pilnas produkcijos perdirbimas sudarytų ne mažiau kaip 97% pristatytų pristatymų skaičiaus?

Sprendimas

Išspręskime problemą nuosekliai nustatydami QS rodiklius skirtingoms atminties talpos reikšmėms T= 2, 3, 4, 5 ir tt ir palyginimas kiekviename aptarnavimo tikimybės su nurodyta verte skaičiavimo etape р 0 ()С = 0,97.

Nustatykite apkrovos intensyvumą:

Mes nustatome prastovos tikimybę arba laiko dalį t = 2:

Atsisakymo teikti paslaugą tikimybė arba prarastų prašymų dalis,

Įteikimo tikimybė arba įteiktų prašymų dalis iš gautų prašymų yra

Kadangi gauta vertė yra mažesnė už nurodytą reikšmę 0,97, tęsiame skaičiavimus T= 3. Šiai reikšmei QS būsenų rodikliai turi reikšmes

Paslaugos tikimybė šiuo atveju taip pat mažesnė už nurodytą reikšmę, todėl tęsiame skaičiavimus kitam t = 4, kurių būsenos rodikliai turi šias reikšmes: p$ = 0,12; Rotk = 0,028; Pofc = 0,972. Dabar gauta aptarnavimo tikimybės reikšmė atitinka problemos sąlygas, nes 0,972 > 0,97, todėl sandėlio talpa turi būti padidinta iki 4 vnt.

Norėdami pasiekti nurodytą aptarnavimo tikimybę, tokiu pat būdu galite pasirinkti optimalų žmonių, kurie perdirbs daržoves, skaičių, nuosekliai apskaičiuodami QS rodiklius n = 3, 4, 5 ir kt. Kompromisinį sprendimą galima rasti palyginus ir sugretinus įvairias BRO organizacijų išlaidas, susijusias tiek su darbuotojų skaičiaus didinimu, tiek su specialios technologinė įranga bet daržovių perdirbimas komercinėje įmonėje.

Taigi, eilės modeliai kartu su ekonominius metodus užduočių nustatymas leidžia analizuoti esamus QS, parengti rekomendacijas dėl jų pertvarkymo, siekiant pagerinti veiklos efektyvumą, taip pat nustatyti optimalius naujai kuriamų QS rodiklius.

5.24 pavyzdys. Vidutiniškai per valandą į plovyklą atvažiuoja devyni automobiliai, tačiau jei eilėje jau stovi keturi automobiliai, naujai atvykę klientai, kaip taisyklė, nestoja į eilę, o pravažiuoja. Vidutinis automobilio plovimo laikas yra 20 minučių, o nuplauti yra tik dvi vietos. Vidutinė automobilio plovimo kaina yra 70 rublių. Nustatykite vidutinį pajamų praradimą už automobilio plovimą per dieną.

Sprendimas

X= 9 automobiliai/val.; = 20 min; p = 2; t = 4.

Apkrovos intensyvumo nustatymas Automobilių plovimo prastovų procento nustatymas

Nesėkmės tikimybė

Santykinė talpa yra lygi Absoliuti talpa Vidutinis eilėje esančių automobilių skaičius

Vidutinis aptarnaujamų programų skaičius

Vidutinis laukimo laikas eilėje

Vidutinis laikas, kurį automobilis praleidžia plovykloje

Taigi, 34% paraiškų nebus aptarnaujama, nuostoliai už 12 valandų darbo vieną dieną sieks vidutiniškai 2570 rublių. (12*9* 0,34 70), t.y. 52% visų pajamų, nes r atvira = 0,52 p 0 ^ s.