A soros QS-ek között megkülönböztetünk zárt és nyílt rendszereket.
A zárt rendszereket QS-nek nevezik, ahol a bejövő követelmények áramlása magában a rendszerben keletkezik és korlátozott. Példaként említhetők a vállalatoknál működő javítóműhelyek.
A QS-t nyílt hurkúnak nevezik, amelyben a bejövő követelmények áramlása korlátlan. Ilyen rendszerek lehetnek például üzletek, állomások jegypénztárai.
Tekintsünk egy egycsatornás QS-t, amelynek sora nem vonatkozik semmilyen korlátozásra. A bemeneti követelmények áramlásának intenzitása egyenlő λ és a szolgáltatás intenzitása μ . Meg kell találni az állapotok korlátozó valószínűségeit és a QS hatékonyság mutatóit. A rendszer lehet valamelyik állapot S0, S1, S2,..., S k a benne foglalt követelmények számának megfelelően:
S0- a csatorna ingyenes;
S1- a csatorna foglalt, nincs sor;
S2- a csatorna foglalt, egy kérés van a sorban;
S k- a csatorna foglalt, ( Nak nek–1) a követelmények sorban állnak.
A QS állapotgráf alakja a következő:
λ λ λ λ λ
μ μ μ μ μ
Ha a<1, т.е. среднее число поступающих требований меньше среднего числа обслуженных требований, то предельные вероятности существуют и очередь не может расти бесконечно. Если a≥1, akkor a sor a végtelenségig nő. Tehát ezt feltételezzük a<1.
Az állapotok korlátozó valószínűségét a következő képletek határozzák meg: (6.16)
Annak a valószínűsége, hogy a szolgáltatási csatorna szabad, pl. a rendszer állapota ; (6.17)
Annak a valószínűsége, hogy a csatorna foglalt, de nincs várólista;
Annak a valószínűsége, hogy a csatorna foglalt, és a sornak 1 kérése van stb.
Annak a valószínűsége, hogy a QS az állapotban van
A rendszer követelményeinek átlagos számát a következő képlet határozza meg:
Átlagos sorhossz L och:
Átlagos rendszerben eltöltött idő T syst:
Átlagos sorban eltöltött idő T och:
Annak a valószínűsége, hogy a csatorna foglalt
Példa: Az egy benzinkúttal rendelkező benzinkutaknál óránként 24 autó intenzitással érkeznek az autók tankolásra, átlagosan 2 perc az egy autó tankolási ideje. Határozza meg a benzinkút teljesítménymutatóit.
Megoldás: n=1, l= 24 autó/óra, t=2 perc. Az érték megtalálása lÉs t különböző idődimenziókkal rendelkeznek, ezért az egyiket átalakítjuk.
l\u003d 24 autó / óra \u003d 24 autó / 60 perc \u003d 0,4 autó / perc.
Akkor, a=0,4×2=0,8.
Mert a<1, то очередь на заправку не может возрастать бесконечно и предельные вероятности существуют.
1. Annak a valószínűsége, hogy a benzinkút szabad, a (6.17) képlettel számítható ki: P0=1–a= 1–0,8=0,2.
2. Annak valószínűségét, hogy a benzinkút autók tankolásával van elfoglalva, a (6.22) képlettel kapjuk meg: P zan=a=0,8.
3. Átlagos tankolásra váró autók száma, i.e. a sor átlagos hosszát a (6.19) képlettel számítjuk ki:
4. A tankolás átlagos várakozási idejét a (6.21) képlet számítja ki:
5. A benzinkutakon lévő autók átlagos számát a (6.18) képlet számítja ki:
6. Az autó által benzinkúton eltöltött átlagos idő a (6.20) képlettel számítható ki:
A számításokból látható, hogy a benzinkút hatásfoka jó.
A rendszer λ intenzitású Poisson követelményfolyamot kap, a szolgáltatásfolyam intenzitása μ, a sorban a maximális helyek száma T. Ha egy igény bekerül a rendszerbe, amikor a sorban lévő összes hely betelt, akkor a rendszer kiszolgálatlanul marad.
Egy ilyen rendszer állapotainak végső valószínűsége mindig fennáll, mivel az állapotok száma véges:
S 0 – a rendszer szabad és tétlen;
S 1 - egy kérés teljesítve, a csatorna foglalt, nincs sor;
S 2 - egy alkalmazás kézbesítve, egy a sorban áll;
S m +1 - egy kérelmet kézbesítenek, T sorban.
Egy ilyen rendszer állapotgráfja az 5. ábrán látható:
S 0 S 1 S 2 S m+1
μ μ μ ………. μ μ
5. ábra: Egycsatornás QS korlátozott várakozási sorral.
A képletben R 0 keresse meg egy geometriai sorozat véges számú tagjának összegét:
(52)
A ρ képletét figyelembe véve a következő kifejezést kapjuk:
Zárójelben egy geometriai folyamat (m+2) elemei vannak, az első tag 1 és a nevező ρ. A progresszió tagjainak összegének (m + 2) képlete szerint:
(54)
(55)
A határállapotok valószínűségének képlete a következőképpen néz ki:
Szolgáltatásmegtagadás valószínűsége A kérést annak valószínűségeként definiáljuk, hogy amikor egy kérés belép a rendszerbe, a csatornája foglalt lesz, és a sorban lévő összes hely is foglalt lesz:
(57)
Ezért a szolgáltatás valószínűsége(valamint attól hordozó sávszélesség) egyenlők az ellenkező esemény valószínűségével:
Abszolút sávszélesség a rendszer által időegység alatt kiszolgált kérések száma:
(59)
A szolgáltatás alatt lévő kérések átlagos száma:
(60)
(61)
Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben:
(62)
A Mathcadben egy egycsatornás QS korlátozott várakozási sorral jöhet számításba.
Példa:
A parkoló 3 gépkocsit szolgál ki 0,5 áramlási sebességgel és átlagosan 2,5 perc szervizidővel. Határozza meg a rendszer összes mutatóját.
6 Többcsatornás smoo korlátlan sorbanállással
Legyen adott egy S rendszer, amelyik rendelkezik P szolgáltatási csatornák, amelyek a legegyszerűbb, λ intenzitású kéréseket fogadják. Legyen a szolgáltatásfolyam is a legegyszerűbb, és legyen μ intenzitású. A szolgáltatások sora nem korlátozott.
A rendszerben lévő alkalmazások számával jelöljük a rendszer állapotait: S 0 ,S 1 ,S 2 ,…,S k ,… S n , ahol S k – a rendszer állapota, amikor k kérés van benne (a szolgáltatás alatti kérések maximális száma n). Egy ilyen rendszer állapotgráfja diagramként látható a 6. ábrán:
λ λ λ λ λ λ λ
……. …….
S 0 S 1 S 2 S m+1 S n
μ 2μ 3μ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ
6. ábra: Többcsatornás QS korlátlan várakozási sorral.
A szolgáltatások áramlásának intenzitása a rendszer állapotától függően változik: kμ az S k állapotból való átmenetkor az S k -1 állapothoz, mivel bármelyik k csatornák; miután minden csatorna foglalt szolgáltatással, a szolgáltatások áramlásának intenzitása egyenlő marad pμ, az alábbi kérelmek rendszerbe érkezésekor.
Az állapotok végső valószínűségének meghatározásához hasonló képleteket kapunk, mint az egycsatornás rendszereknél.
(63)
Ezért a végső valószínűségek képletei kifejezésekkel vannak kifejezve
A megtalálásért R 0 az egyenletet kapjuk:
A zárójelben lévő kifejezésekre az (n + 2)-ediktől kezdve alkalmazhatja a képletet egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének megtalálásához az első taggal 
és ρ/n nevező:
(66)
Végül megkapjuk az Erlang képletet a rendszerleállás valószínűségének meghatározásához:
(67)
Adjunk képleteket a rendszer hatékonyságának főbb mutatóinak kiszámításához.
A rendszer megbirkózik a kérések áramlásával, ha
feltétel
,
(68)
ami azt jelenti, hogy a rendszerhez időegységenként beérkező kárigények száma nem haladja meg a rendszer által ugyanabban az időben kiszolgált kárigények számát. Ahol a szolgáltatás megtagadásának valószínűsége egyenlő nullával.
Innen szolgáltatási valószínűség(szintén relatív áteresztőképesség rendszerek) egyenlők az ellentétes esemény valószínűségével, azaz az egységével:
(69)
Abszolútáteresztőképesség- a rendszer által időegységenként kiszolgált alkalmazások száma:
(70)
Ha a rendszer megbirkózik az alkalmazások áramlásával, akkor álló módban kiáramlási sebesség egyenlő a rendszerbe érkező kérések áramlásának intenzitásával, mivel minden kérést kiszolgálnak:
ν=λ . (71)
Mivel minden csatorna μ kérést szolgál ki időegységenként, akkor átlagosan forgalmas csatornák kiszámítható:
(72)
Átlagosidőszolgáltatás egy alkalmazási csatorna ;
.
(73)
Annak a valószínűsége, hogy a rendszerbe lépéskor egy megbízás sorba kerül, egyenlő annak a valószínűségével, hogy több mint P alkalmazások:
(74)
a szolgáltatás alatt álló kérelmek száma, egyenlő a foglalt csatornák számával:
(75)
A sorban lévő alkalmazások átlagos száma:
(76)
Akkor átlagosszámalkalmazásokrendszerben:
(77)
Egy alkalmazás átlagos tartózkodási ideje a rendszerben (a sorban):
(78)
(79)
A Mathcad rendszerben szóba jöhet egy többcsatornás QS korlátlan várakozási sorral.
1. példa:
A fodrászatnak 5 mestere van. Csúcsidőben az ügyféláramlás intenzitása 6 fő. Egy órakor. Egy ügyfél kiszolgálása átlagosan 40 percig tart. Határozza meg a sor átlagos hosszát, feltételezve, hogy korlátlan.
A probléma megoldásának töredéke Mathcadben.
2. példa:
A vasúti jegypénztár 2 ablakos. Egy utas kiszolgálásának ideje 0,5 perc. Az utasok 3 fős csoportokban közelednek a jegypénztárhoz. Határozza meg a rendszer összes jellemzőjét.
A probléma megoldásának töredéke Mathcadben.
A feladat megoldásának folytatása Mathcadben.
Az Orosz Föderáció Szövetségi Oktatási Ügynöksége
FGOU SPO "Perevozsky Építőipari Főiskola"
Tanfolyami munka
a "matematikai módszerek" tudományágban
a „QS korlátozott várakozási idővel” témában. Zárt QS»
Bevezetés .................................................. ................................................ .. ..... 2
1. A sorban állás elméletének alapjai ................................................... ...... ...... 3
1.1 A véletlenszerű folyamat fogalma................................................ ...................................... 3
1.2 Markov sztochasztikus folyamat................................................ .............................. 4
1.3 Eseményfolyamok................................................ ................................................................ ...... 6
1.4 Kolmogorov-egyenletek állapotvalószínűségekre. Az állapotok végső valószínűségei................................................ .................................................. .......................... 9
1.5 A sorban állás elméletének feladatai................................................ .............. 13
1.6 A sorban állási rendszerek osztályozása................................................ .. 15
2. Várakozó sorbanállási rendszerek................................................ ......... 16
2.1 Egycsatornás várakozási idő (QS)................................................ .......................................... 16
2.2 Többcsatornás késleltetési QS ................................................ ...................................... 25
3. Zárt QS ................................................... ...................................................... 37
A probléma megoldása................................................ ................................................... 45
Következtetés................................................. .................................................. 50
Bibliográfia................................................................ .............................................. 51
Ebben a kurzusban megvizsgáljuk a különféle queuing rendszereket (QS) és sorbanállási hálózatokat (QNS).
A sorban állási rendszer (QS) egy dinamikus rendszer, amelyet az alkalmazások áramlásának hatékony kiszolgálására terveztek (a szolgáltatás követelményei) a rendszererőforrások korlátozása mellett.
A QS modellek kényelmesek a modern számítástechnikai rendszerek egyes alrendszereinek leírására, mint például az alrendszer processzora - fő memória, bemeneti-kimeneti csatorna stb. A számítási rendszer egésze összekapcsolt alrendszerek gyűjteménye, amelyek kölcsönhatása valószínűségi. Egy bizonyos probléma megoldására szolgáló alkalmazás, amely belép a számítástechnikai rendszerbe, egy sor számlálási szakaszon megy keresztül, hozzáfér a külső tárolóeszközökhöz és a bemeneti-kimeneti eszközökhöz. Az ilyen szakaszok bizonyos sorozatának teljesítése után, amelyek száma és időtartama a program összetettségétől függ, a kérés kiszolgáltnak minősül, és elhagyja a számítási rendszert. Így a számítási rendszer egésze egy QS-készlettel reprezentálható, amelyek mindegyike egy különálló eszköz vagy a rendszer részét képező azonos típusú eszközök egy csoportjának működési folyamatát jeleníti meg.
Az összekapcsolt QS-ek halmazát sorbanállási hálózatnak (sztochasztikus hálózat) nevezzük.
Először a QS elmélet alapjait tekintjük át, majd áttérünk az elvárt és zárt QS részletes tartalmának megismerésére. A tanfolyam gyakorlati részt is tartalmaz, melyben részletesen megismerkedünk az elmélet gyakorlati alkalmazásával.
A sorelmélet a valószínűségszámítás egyik ága. Ez az elmélet úgy véli valószínűségi problémák és matematikai modellek (ezelőtt determinisztikus matematikai modelleket tekintettünk). Emlékezzen arra, hogy:
Determinisztikus matematikai modell egy objektum (rendszer, folyamat) viselkedését tükrözi nézőpontból teljes bizonyosság a jelenben és a jövőben.
Valószínűségi matematikai modell figyelembe veszi a véletlenszerű tényezők hatását egy objektum (rendszer, folyamat) viselkedésére, és ezért bizonyos események valószínűsége szempontjából értékeli a jövőt.
Azok. itt, mint például a játékelméletben, a problémákat veszik figyelembe körülmények között bizonytalanság .
Tekintsünk először néhány olyan fogalmat, amelyek a "sztochasztikus bizonytalanságot" jellemzik, amikor a feladatban szereplő bizonytalan tényezők olyan valószínűségi változók (vagy véletlenfüggvények), amelyek valószínűségi jellemzői vagy ismertek, vagy tapasztalatból nyerhetők. Az ilyen bizonytalanságot „kedvezőnek”, „jóindulatúnak” is nevezik.
Szigorúan véve a véletlenszerű perturbációk minden folyamat velejárói. Könnyebb példákat hozni egy véletlenszerű folyamatra, mint egy "nem véletlenszerű" folyamatra. Még például az óra folyamata is (szigorú, jól beállított műnek tűnik - „óraként működik”) véletlenszerű változásoknak van kitéve (előrelépés, lemaradás, megállás). De amíg ezek a zavarok jelentéktelenek és csekély hatással vannak a számunkra érdekes paraméterekre, elhanyagolhatjuk őket, és a folyamatot determinisztikusnak, nem véletlenszerűnek tekinthetjük.
Legyen valami rendszer S(műszaki eszköz, ilyen eszközök csoportja, technológiai rendszer - szerszámgép, szakasz, műhely, vállalkozás, ipar stb.). Rendszerben S szivárog véletlenszerű folyamat, ha idővel megváltoztatja állapotát (átmenet egyik állapotból a másikba), ráadásul véletlenszerűen ismeretlen módon.
Példák:
1. Rendszer S– technológiai rendszer (gépszakasz). A gépek időről időre elromlanak és javítják őket. Ebben a rendszerben a folyamat véletlenszerű.
2. Rendszer S- egy légi jármű, amely adott magasságban, egy bizonyos útvonalon repül. Zavaró tényezők - időjárási viszonyok, személyzeti hibák stb., következmények - "csevegés", repülési menetrend megsértése stb.
A rendszerben a véletlenszerű folyamatot ún Markovszkij ha egy pillanatra is t 0 a folyamat valószínűségi jellemzői a jövőben csak a pillanatnyi állapotától függenek t 0, és nem függ attól, hogy a rendszer mikor és hogyan került ebbe az állapotba.
Legyen a rendszer egy adott állapotban a jelen pillanatban t 0 S 0 . Ismerjük a rendszer jelenlegi állapotának jellemzőit és mindazt, ami közben történt t <t 0 (folyamatelőzmények). Tudjuk-e előre látni (jósolni) a jövőt, i.e. mi lesz mikor t >t 0? Nem pontosan, de a folyamat néhány valószínűségi jellemzője megtalálható a jövőben. Például annak a valószínűsége, hogy egy idő után a rendszer S képes lesz arra S 1 vagy maradj az államban S 0 stb.
Példa. Rendszer S- légiharcban részt vevő repülőgépek csoportja. Hadd x- a "piros" repülőgépek száma, y- a "kék" repülőgépek száma. Mire t 0 a túlélő (nem lelőtt) repülőgépek száma, ill. x 0 , y 0 . Arra vagyunk kíváncsiak, hogy a számbeli fölény pillanatnyilag a „vörösök” oldalán lesz. Ez a valószínűség a rendszer mindenkori állapotától függ t 0 , és nem arról, hogy a lelőttek mikor és milyen sorrendben haltak meg egészen a pillanatig t 0 repülőgép.
A gyakorlatban a Markov-folyamatokkal tiszta formában általában nem találkozunk. De vannak folyamatok, amelyeknél az „őstörténet” befolyása elhanyagolható. Az ilyen folyamatok tanulmányozásakor pedig Markov-modellek használhatók (a sorban állás elméletében nem Markov-sorrendszereket is figyelembe vesznek, de az ezeket leíró matematikai apparátus sokkal bonyolultabb).
Az operációkutatásban nagy jelentőséggel bírnak a diszkrét állapotú és folytonos idejű Markov sztochasztikus folyamatok.
A folyamat az ún diszkrét állapotfolyamat ha lehetséges állapotai S 1 , S 2 , … előre meghatározható, és a rendszer állapotból állapotba való átmenete „ugrásban”, szinte azonnal megtörténik.
A folyamat az ún folyamatos időbeli folyamat, ha az állapotból állapotba való lehetséges átmenetek pillanatai nem előre rögzítettek, hanem határozatlanok, véletlenszerűek és bármikor előfordulhatnak.
Példa. Technológiai rendszer (szakasz) S két gépből áll, amelyek mindegyike egy véletlenszerű pillanatban meghibásodhat (meghibásodhat), ezután azonnal megkezdődik az egység javítása, amely szintén ismeretlen, véletlenszerű ideig folytatódik. A következő rendszerállapotok lehetségesek:
S 0 - mindkét gép működik;
S 1 - az első gépet javítják, a második üzemképes;
S 2 - a második gépet javítják, az első üzemképes;
S 3 - mindkét gép javítás alatt áll.
Rendszerátmenetek Sállapotról állapotra szinte azonnal bekövetkezik, egyik vagy másik gép meghibásodásának vagy a javítások befejezésének véletlenszerű pillanataiban.
A diszkrét állapotú véletlenszerű folyamatok elemzésekor célszerű egy geometriai sémát használni - állapotgráf. A gráf csúcsai a rendszer állapotai. A grafikonívek lehetséges átmenetek állapotról állapotra. Példánkban az állapotgráf az ábrán látható. 1.
Rizs. 1. A rendszerállapotok grafikonja
Jegyzet. Állami átmenet S 0 hüvelyk S 3 nincs feltüntetve az ábrán, mert feltételezzük, hogy a gépek egymástól függetlenül meghibásodnak. Figyelmen kívül hagyjuk a két gép egyidejű meghibásodásának valószínűségét.
Eseményfolyam- véletlenszerű időpontban egymás után következő homogén események sorozata.
Az előző példában ez egy hibafolyam és egy helyreállítási adatfolyam. További példák: hívásfolyam egy telefonközpontban, vevőáramlás egy üzletben stb.
Az események áramlását az időtengelyen lévő pontok sorozatával lehet megjeleníteni O t- rizs. 2.
Rizs. 2. Az események áramlásának képe az időtengelyen
Az egyes pontok helyzete véletlenszerű, és itt csak az áramlás egy megvalósítása látható.
Az események áramlásának intenzitása ( ) az időegységenkénti események átlagos száma.
Nézzük meg az eseményfolyamok néhány tulajdonságát (típusát).
Az eseményfolyam ún helyhez kötött, ha valószínűségi jellemzői nem függnek az időtől.
Különösen az álló áramlás intenzitása állandó. Az események áramlásában elkerülhetetlenül vannak koncentrációk vagy ritkulások, de ezek nem szabályosak, és az időegységre jutó események átlagos száma állandó és nem függ az időtől.
Az eseményfolyam ún áramlás következmények nélkül, ha bármely két nem metsző időintervallumra és (lásd 2. ábra) az egyikre eső események száma nem függ attól, hogy hány esemény esik a másikra. Más szóval ez azt jelenti, hogy a folyamot alkotó események bizonyos időpontokban megjelennek. egymástól függetlenülés mindegyik a maga okai miatt.
Az eseményfolyam ún rendes, ha a benne szereplő események egyenként jelennek meg, és nem egyszerre több csoportban.
Az eseményfolyam ún a legegyszerűbb (vagy álló Poisson), ha három tulajdonsága van egyszerre:
1) álló;
2) közönséges;
3) nincs következménye.
A legegyszerűbb folyamatnak van a legegyszerűbb matematikai leírása. Ugyanazt a speciális szerepet játszik az áramlások között, mint a normális eloszlás törvénye az eloszlás többi törvénye között. Nevezetesen, ha kellően sok független, álló és közönséges (intenzitásukban összehasonlítható) áramlást helyezünk egymásra, a legegyszerűbbhez közeli áramlást kapunk.
A legegyszerűbb áramláshoz intenzitásintervallumtal T szomszédos események között van az ún exponenciális (exponenciális) eloszlás sűrűséggel:
ahol az exponenciális törvény paramétere.
Valószínűségi változóhoz T, amelynek exponenciális eloszlása van, a matematikai elvárás a paraméter reciproka, a szórás pedig megegyezik a matematikai elvárással:
Figyelembe véve a diszkrét állapotú és folytonos idejű Markov-folyamatokat, érthető, hogy a rendszer minden átmenete Sállapotról állapotra a legegyszerűbb eseményfolyamok (hívásfolyamatok, hibafolyamatok, helyreállítási folyamatok stb.) hatására fordulnak elő. Ha minden eseményfolyam lefordítja a rendszert Sállapotból a legegyszerűbb állapotba, akkor a rendszerben lezajló folyamat markovi lesz.
Tehát az állam rendszerét az események legegyszerűbb áramlása befolyásolja. Amint ennek az áramlásnak az első eseménye megjelenik, a rendszer állapotról állapotra „ugrik” (az állapotgrafikonon, a nyíl mentén).
Az érthetőség kedvéért a rendszerállapotok grafikonján minden íven meg van jelölve a rendszert ezen az íven átvivő eseményfolyam intenzitása (nyíl). - az események áramlásának intenzitása, átvive a rendszert állapotból . Az ilyen gráfot ún feliratú. Példánkban a címkézett grafikon az ábrán látható. 3.
Rizs. 3. Felcímkézett rendszerállapot-gráf
Ezen az ábrán - a hibák áramlásának intenzitása; - a helyreállítási áramlás intenzitása.
Feltételezzük, hogy a gép javításának átlagos ideje nem függ attól, hogy az egyik gépet vagy mindkettőt egyszerre javítják. Azok. Minden gépet külön szakember javít.
Legyen a rendszer olyan állapotban S 0 . Állapotban S Az 1. ábrán az első gép hibafolyama fordítja le. Az intenzitása:
hol van az első gép átlagos üzemideje.
Állapoton kívül S 1 hüvelyk S 0 a rendszert az első gép „javítási vége” folyamata adja át. Az intenzitása:
hol van az első gép átlagos javítási ideje.
Hasonlóképpen számítjuk ki a rendszert az összes gráfív mentén továbbító eseményfolyam intenzitását. Rendelkezésre áll a rendszerállapotok feliratozott gráfja, a matematikai modell ez a folyamat.
Legyen a vizsgált rendszer S-lehetséges állapotokkal rendelkezik. Az állapot valószínűsége annak a valószínűsége, hogy a rendszer adott időpontban állapotba kerül. Nyilvánvaló, hogy bármely időpillanatban az összes állapotvalószínűség összege egyenlő eggyel:
Ahhoz, hogy az állapotok összes valószínűségét az idő függvényében találjuk meg, összeállítjuk és megoldjuk Kolmogorov-egyenletek– egy speciális egyenlettípus, amelyben az ismeretlen függvények az állapotok valószínűségei. Itt megadjuk az egyenletek bizonyítás nélküli összeállításának szabályát. De mielőtt bemutatnánk, magyarázzuk el a fogalmat végső állapot valószínűsége .
Mi lesz a következő állapotok valószínűségeivel? Törekedni fognak valamilyen korlátra? Ha ezek a határértékek léteznek, és nem függenek a rendszer kezdeti állapotától, akkor ezek meghívásra kerülnek végső állapotvalószínűség .
ahol véges számú rendszerállapot.
Végső állapot valószínűségek már nem változók (az idő függvényei), hanem állandó számok. Nyilvánvaló, hogy:
Végső állapot valószínűsége lényegében az az átlagos relatív idő, amelyet a rendszer ebben az állapotban tölt.
Például a rendszer S három állama van S 1 , S 2 és S 3. Végső valószínűségük 0,2; 0,3 és 0,5. Ez azt jelenti, hogy a korlátozó stacionárius állapotban lévő rendszer az idő átlagosan 2/10-ét tölti az állapotban S 1 , 3/10 - képes S 2 és 5/10 - képes S 3 .
Kolmogorov-egyenletrendszer összeállításának szabálya: a rendszer minden egyenletében annak bal oldalán ennek az állapotnak a végső valószínűsége, megszorozva az összes áramlás teljes intenzitásával, ebből az állapotból vezető, A a jobbján alkatrészek az összes áramlás intenzitásának szorzatának összege, tartalmazza -adik állam, azon állapotok valószínűségére, amelyekből ezek az áramlások származnak.
Ezt a szabályt használva felírjuk az egyenletrendszert példánk számára :
.
Úgy tűnik, hogy ez a négy egyenletrendszer négy ismeretlennel teljesen megoldható. De ezek az egyenletek homogének (nincs szabad tagjuk), ezért csak egy tetszőleges tényezőig határozzák meg az ismeretleneket. Használhatja azonban a normalizálási feltételt: 
és ezzel oldja meg a rendszert. Ebben az esetben az egyenletek egyike (bármelyik) elvethető (a többi következményeként következik).
A példa folytatása. Legyen az áramlási intenzitás értéke egyenlő: .
A negyedik egyenletet elvetjük, helyette hozzáadjuk a normalizálási feltételt:
.
Azok. korlátozó, álló üzemmódban a rendszer Sátlagosan az idő 40%-át egy államban töltik S 0 (mindkét gép jó állapotú), 20% - jó állapotban S 1 (az első gép javítás alatt, a második működik), 27% - jó állapotban S 2 (a második gép javítás alatt áll, az első működik), 13% - állapotban S 3 (mindkét gép javítás alatt áll). Ezen végső valószínűségek ismerete segíthet megbecsülni a rendszer átlagos hatékonyságát és a javító szervek terhelését.
Hagyja a rendszert S képes S 0 (teljesen működőképes) időegység alatt 8 hagyományos egységnyi bevételt hoz, olyan állapotban S 1 - jövedelem 3 hagyományos egység, képes S 2 – 5 hagyományos egység jövedelme, képes S 3 - nem termel bevételt. Ekkor a korlátozó, stacionárius üzemmódban az időegységre jutó átlagos jövedelem egyenlő lesz: konvencionális egységekkel.
Az 1. gépet az idő töredékéig javítják: . A 2. gépet az idő töredékéig javítják: . Felmerül optimalizálási probléma. Tegyük fel, hogy csökkenthetjük az első vagy a második gép (vagy mindkettő) átlagos javítási idejét, de ez bizonyos összegbe fog kerülni. A kérdés az, hogy a gyorsabb javítással járó bevételnövekedés megtéríti-e a megnövekedett javítási költségeket? Meg kell oldani egy négy egyenletrendszert négy ismeretlennel.
Példák sorbanállási rendszerekre (QS): telefonközpontok, javítóműhelyek, jegypénztárak, információs pultok, szerszámgépek és egyéb technológiai rendszerek, rugalmas gyártórendszerek vezérlőrendszerei stb.
Minden QS bizonyos számú szolgáltatási egységből áll, amelyeket hívnak szolgáltatási csatornák(ezek szerszámgépek, szállítókocsik, robotok, kommunikációs vonalak, pénztárosok, eladók stb.). Minden QS úgy van kialakítva, hogy néhányat kiszolgáljon alkalmazásfolyamat(követelmények) valamilyen véletlenszerű időpontban érkeznek.
A kérés szolgáltatása néhány, általánosságban elmondható, véletlenszerű ideig folytatódik, majd a csatorna felszabadul és készen áll a következő kérés fogadására. A kérések áramlásának és a szolgáltatási időnek a véletlenszerűsége oda vezet, hogy bizonyos időszakokban szükségtelenül sok kérés halmozódik fel a QS bejáratánál (vagy belépnek a sorba, vagy kiszolgálatlanul hagyják a QS-t). Más időszakokban a QS alulterheléssel vagy akár üresjáratban is működik.
A QS működési folyamat egy véletlenszerű folyamat diszkrét állapotokkal és folyamatos idővel. A QS állapota hirtelen megváltozik egyes események bekövetkezésének pillanatában (új kérés érkezése, szolgáltatás vége, amikor a várakozást megunt kérés kilép a sorból).
A sorbanálláselmélet tárgya– olyan matematikai modellek felépítése, amelyek a QS adott működési feltételeit (csatornák száma, teljesítménye, működési szabályai, a kérések áramlásának jellege) összekapcsolják a minket érdeklő jellemzőkkel - QS teljesítménymutatókkal. Ezek a mutatók azt írják le, hogy a közös piacszervezés mennyire képes megbirkózni a kérelmek áramlásával. Ezek lehetnek: a QS által kiszolgált alkalmazások átlagos száma időegységenként; a foglalt csatornák átlagos száma; a sorban lévő kérelmek átlagos száma; átlagos várakozási idő a szolgáltatásra stb.
A QS munkájának matematikai elemzését nagyban megkönnyíti, ha ennek a munkának a folyamata markovi, azaz. a rendszert állapotról állapotra átvivő eseményfolyamok a legegyszerűbbek. Ellenkező esetben a folyamat matematikai leírása nagyon bonyolulttá válik, és ritkán lehetséges konkrét analitikai függőségekre hozni. A gyakorlatban a nem-Markov-folyamatokat közelítéssel Markov-folyamatokra redukálják. A következő matematikai apparátus a Markov-folyamatokat írja le.
Az első felosztás (sorok jelenléte alapján):
1. QS hibákkal;
2. KGST sorral.
KGSZ-ben kudarcokkal egy olyan kérés, amely abban a pillanatban érkezik, amikor minden csatorna foglalt, elutasításra kerül, elhagyja a QS-t, és nem szolgálja tovább.
A KGST-ben sorral egy olyan alkalmazás, amely akkor érkezik, amikor minden csatorna foglalt, nem távozik, hanem sorba áll, és várja a kiszolgálási lehetőséget.
A sorokkal rendelkező QS-ek fel vannak osztva különböző típusokba, attól függően, hogy a sor hogyan van felszerelve - korlátozott vagy nem korlátozott. A korlátozások vonatkozhatnak mind a sor hosszára, mind a várakozási időre, „szolgáltatási fegyelemre”.
Tehát például a következő QS-eket tekintjük:
· QS türelmetlen kérésekkel (a sor hossza és a szolgáltatási idő korlátozott);
· QS elsőbbségi szolgáltatással, pl. egyes alkalmazások soron kívül kerülnek kiszolgálásra stb.
Ezenkívül a QS nyílt QS-ekre és zárt QS-ekre oszlik.
Nyílt KGSZ-ben az alkalmazások áramlásának jellemzői nem magának a QS-nek az állapotától (hány csatorna foglalt). Zárt QS-ben- függ. Például, ha egy munkás olyan gépcsoportot lát el, amelyen időnként beállításra van szükség, akkor a gépekből érkező „követelmények” intenzitása attól függ, hogy közülük hány van már jó állapotban és vár beállításra.
A KPSZ-ek besorolása korántsem korlátozódik a fenti fajtákra, de ez is elég.
Tekintsük a legegyszerűbb elvárásokkal rendelkező QS-t - egy egycsatornás rendszert (n - 1), amely intenzitással fogadja a kérések áramlását; a szolgáltatás intenzitása (azaz átlagosan egy folyamatosan foglalt csatorna egységnyi (idő) alatt ad ki kiszolgált kéréseket. Az abban a pillanatban érkezett kérés, amikor a csatorna foglalt, sorba kerül és szolgáltatásra vár.
Korlátozott sorhosszú rendszer. Tételezzük fel először, hogy a sorban lévő helyek számát az m szám korlátozza, azaz. Ha egy ügyfél olyan időpontban érkezik, amikor már m-ügyfelek vannak a sorban, akkor a rendszert nem szolgálja ki. A jövőben, ha m a végtelenbe hajlik, akkor megkapjuk az egycsatornás QS jellemzőit a sor hosszának korlátozása nélkül.
A QS állapotokat a rendszerben lévő kérések (kiszolgált és várakozó szolgáltatás) száma szerint sorszámozzuk:
A csatorna ingyenes;
A csatorna foglalt, nincs sor;
A csatorna foglalt, egy alkalmazás van a sorban;
A csatorna foglalt, k-1 kérés van a sorban;
A csatorna foglalt, a t-alkalmazások a sorban vannak.
ábrán látható a GSP. 4. A balról jobbra mutató nyilak mentén a rendszerbe továbbító eseményfolyamok összes intenzitása egyenlő, jobbról balra pedig - . Valójában a balról jobbra mutató nyilak szerint a rendszert a kérések áramlása továbbítja (amint megérkezik a kérés, a rendszer a következő állapotba megy), jobbról balra - egy „kiadások” áramlása foglalt csatorna, amelynek intenzitása van (amint a következő kérést kiszolgálják, a csatorna vagy felszabadul, vagy csökkenti a sorban lévő alkalmazások számát).
Rizs. 4. Egycsatornás QS várakozással
ábrán látható. A 4. séma a szaporodás és a halál séma. Írjunk kifejezéseket az állapotok korlátozó valószínűségére:
(5)
vagy használja: :
(6)
A (6) utolsó sora egy geometriai progressziót tartalmaz az 1 első taggal és a p nevezővel, amiből kapjuk:
(7)
amellyel kapcsolatban a határvalószínűségek a következő alakot öltik:
(8).
A (7) kifejezés csak erre érvényes< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:
Határozzuk meg a QS jellemzőit: a meghibásodás valószínűsége, a relatív q áteresztőképesség, az A abszolút átviteli sebesség, a sor átlagos hossza, a rendszerhez tartozó alkalmazások átlagos száma, az átlagos várakozási idő a sorban, a kérelem átlagos tartózkodási ideje a QS-ben.
A meghibásodás valószínűsége. Nyilvánvaló, hogy a kérést csak abban az esetben utasítják el, ha a csatorna foglalt, és a sorban lévő összes m-hely is:
(9).
Relatív áteresztőképesség:
(10).
Átlagos sorhossz. Keressük meg a sorban lévő -alkalmazások átlagos számát egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárásaként, R-számú alkalmazások a sorban:
Valószínűséggel egy alkalmazás van a sorban, valószínűséggel - két alkalmazás, általában valószínű, hogy k-1 alkalmazás van a sorban stb., ahonnan:
(11).
Mivel a (11) összege deriváltként kezelhető egy geometriai haladás összegére vonatkozóan:
Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük (11)-be, és a (8)-ból használjuk, végül megkapjuk:
(12).
Az átlagos kárigények száma a rendszerben. Ezután képletet kapunk a rendszerhez kapcsolódó kérések átlagos számához (mind a sorban, mind a szolgáltatásban). Mivel hol van a szolgáltatás alatt lévő alkalmazások átlagos száma, és k ismert, még meg kell határozni . Mivel csak egy csatorna van, a kiszolgált kérések száma lehet 0 (valószínűséggel ) vagy 1 (valószínűséggel 1 - ), ahonnan:
.
és a QS-hez kapcsolódó alkalmazások átlagos száma:
(13).
Átlagos várakozási idő a sorban lévő alkalmazásra. Jelöljük; ha az ügyfél egy adott időpontban érkezik a rendszerbe, akkor nagy valószínűséggel a szolgáltatási csatorna nem lesz foglalt, és nem kell sorban állnia (a várakozási idő nulla). Valószínűleg valamilyen kérés kiszolgálása során kerül be a rendszerbe, de nem lesz előtte sor, és a kérés egy ideig (a kiszolgálás átlagos időtartama) vár a szolgáltatás megkezdésére. kérés). Valószínűleg még egy lesz a sorban a vizsgált jelentkezés előtt, és az átlagos várakozási idő egyenlő lesz, és így tovább.
Ha k=m+1, azaz amikor egy újonnan érkező ügyfél elfoglaltnak találja a szolgáltatási csatornát és m-ügyfél is van a sorban (ennek valószínűsége ), akkor ebben az esetben az ügyfél nem áll sorba (és nem is szolgálják ki), így a várakozási idő nulla. Az átlagos várakozási idő a következő lesz:
ha itt a (8) valószínűségeket kifejezésekkel helyettesítjük, a következőket kapjuk:
(14).
Itt a (11), (12) (geometriai progresszió származéka), valamint a (8) összefüggéseket használjuk. Ha ezt a kifejezést (12) összehasonlítjuk, azt látjuk, hogy más szóval az átlagos várakozási idő megegyezik a sorban lévő kérések átlagos számával, elosztva a kérések áramlásának intenzitásával.
(15).
Egy kérés átlagos tartózkodási ideje a rendszerben. Jelöljük - valószínűségi változó elvárásaként - az alkalmazás által a QS-ben eltöltött időt, ami az átlagos várakozási idő és az átlagos kiszolgálási idő összege. Ha a rendszer terhelése 100%, akkor természetesen:
.
1. példa: Egy töltőállomás (benzinkút) egy QS egy szolgáltatási csatornával (egy oszloppal).
Az állomáson lévő telephelyen legfeljebb három autó tartózkodhat egyidejűleg a tankolási sorban (m = 3). Ha már három kocsi áll a sorban, akkor az állomásra érkező következő autó nem áll sorban. A tankolásra érkező autók áramlásának intenzitása = 1 (autó percenként). A tankolási folyamat átlagosan 1,25 percig tart.
Határozza meg:
meghibásodás valószínűsége;
a benzinkutak relatív és abszolút kapacitása;
a tankolásra várakozó autók átlagos száma;
az autók átlagos száma a benzinkúton (beleértve a szervizeltet is);
átlagos várakozási idő egy sorban álló autóra;
az átlagos idő, amikor az autó a benzinkúton tartózkodik (beleértve a szervizt is).
Más szóval, az átlagos várakozási idő megegyezik a sorban lévő alkalmazások átlagos számával, osztva az alkalmazások áramlásának intenzitásával.
Először megtaláljuk az alkalmazások áramlásának csökkentett intenzitását: =1/1,25=0,8; =1/0,8=1,25.
A (8) képlet szerint:
A meghibásodás valószínűsége 0,297.
A QS relatív kapacitása: q=1-=0,703.
A QS abszolút teljesítménye: A==0,703 autó percenként.
A sorban álló autók átlagos számát a (12) képlet határozza meg:
azok. a benzinkútnál sorban álló autók átlagos száma 1,56.
Ehhez az értékhez hozzáadva a szervizben lévő autók átlagos számát:
megkapjuk a benzinkúthoz kapcsolódó autók átlagos számát.
A sorban álló autó átlagos várakozási ideje a (15) képlet szerint:
Ezt az értéket hozzáadva megkapjuk azt az átlagos időt, amit az autó a benzinkútnál tölt:
Rendszerek korlátlan várakozással. Az ilyen rendszerekben az m értéke nincs korlátozva, ezért a fő jellemzők a korábban kapott (5), (6) stb. kifejezésekben a határértékre való átlépéssel érhetők el.
Vegyük észre, hogy ebben az esetben az utolsó (6) képletben szereplő nevező egy geometriai sorozat végtelen számú tagjának összege. Ez az összeg akkor konvergál, ha a progresszió végtelenül csökken, azaz. nál nél<1.
Ez bizonyítható<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.
Ha, akkor a (8) relációk a következőképpen alakulnak:
(16).
Ha nincs korlátozás a sor hosszára vonatkozóan, minden rendszerbe érkező kérés kiszolgálásra kerül, ezért q=1, 
.
A sorban lévő kérelmek átlagos számát (12) kapjuk meg a következővel:
Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben a (13) képlet szerint:
.
Az átlagos várakozási időt a (14) képletből kapjuk:
.
Végül, egy kérelem átlagos tartózkodási ideje a QS-ben:
Korlátozott sorhosszú rendszer. Vegyünk egy várakozással rendelkező QS csatornát, amely intenzitással fogadja a kérések áramlását; szolgáltatás intenzitása (egy csatornára) ; a sorban álló helyek száma.
A rendszerállapotok a rendszer által összekapcsolt kérések száma szerint vannak számozva:
nincs sor:
Minden csatorna ingyenes;
Az egyik csatorna foglalt, a többi szabad;
Foglalt csatornák, a többi nem;
Minden csatorna foglalt, nincsenek szabadok;
van egy sor:
Minden n-csatorna foglalt; egy alkalmazás van a sorban;
Minden n-csatorna foglalt, r-kérések a sorban;
Minden n-csatorna foglalt, az r-sorrendek a sorban vannak.
ábrán látható a GSP. 17. Minden nyílnak megfelelő eseményfolyam intenzitása van. A balról jobbra mutató nyilak szerint a rendszert mindig ugyanaz a kérések áramlása továbbítja intenzitással, a jobbról balra mutató nyilak szerint a rendszert egy szolgáltatásfolyam továbbítja, melynek intenzitása megegyezik, szorozva a foglalt csatornák száma szerint.
Rizs. 17. Többcsatornás QS várakozással
A grafikon a szaporodási és halálozási folyamatokra jellemző, amelyekre a megoldást korábban megkaptuk. Írjunk kifejezéseket az állapotok korlátozó valószínűségére a : jelöléssel (itt a nevezővel rendelkező geometriai haladás összegére használjuk a kifejezést).
Így minden állapotvalószínűség megtalálható.
Határozzuk meg a rendszer hatékonyságának jellemzőit.
A meghibásodás valószínűsége. Egy bejövő kérés elutasításra kerül, ha a sorban az összes n-csatorna és minden m-hely foglalt:
(18)
A relatív áteresztőképesség kiegészíti a meghibásodás valószínűségét eggyel:
A QS abszolút teljesítménye:
(19)
A foglalt csatornák átlagos száma. A meghibásodásokkal rendelkező KPSZ-ek esetében ez egybeesett a rendszerben lévő alkalmazások átlagos számával. A várakozási sorral rendelkező QS esetén a foglalt csatornák átlagos száma nem esik egybe a rendszerben lévő kérések átlagos számával: ez utóbbi érték a sorban lévő kérések átlagos számával tér el az elsőtől.
Jelöljük a foglalt csatornák átlagos számát. Minden foglalt csatorna átlagosan - időegységenkénti kérést, a QS egésze pedig átlagosan A - kéréseket szolgál ki időegységenként. Egyet a másikkal elosztva kapjuk:
A sorban lévő kérések átlagos száma közvetlenül kiszámítható egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárásaként:
(20)
Itt is (zárójelben lévő kifejezés) egy geometriai progresszió összegének deriváltja következik (lásd fent (11), (12) - (14), az arányt felhasználva a következőt kapjuk:
Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben:
Átlagos várakozási idő a sorban lévő alkalmazásra. Tekintsünk néhány olyan helyzetet, amelyek különböznek abban, hogy az újonnan érkezett kérés milyen állapotban találja meg a rendszert, és mennyi ideig kell várnia a szolgáltatásra.
Ha az ügyfél nem talál minden csatornát elfoglaltnak, akkor egyáltalán nem kell várnia (a matematikai elvárásban szereplő feltételek nullával egyenlőek). Ha a kérés abban a pillanatban érkezik, amikor az összes n-csatorna foglalt, és nincs sor, akkor átlagosan annyi ideig kell várnia, mint (mivel a -channels „release flow” intenzitású). Ha az ügyfél az összes csatornát foglalt és egy ügyfelet maga előtt talál a sorban, akkor átlagosan egy ideig kell várnia (minden előrehaladott ügyfélre), stb. Ha az ügyfél - ügyfeleket talál a sorban, akkor átlagosan várnia kell az időre. Ha egy újonnan érkezett ügyfél már m-ügyfelet talál a sorban, akkor egyáltalán nem vár (de nem is lesz kiszolgálva). Az átlagos várakozási időt úgy kapjuk meg, hogy ezeket az értékeket megszorozzuk a megfelelő valószínűségekkel:
(21)
Csakúgy, mint a várakozással járó egycsatornás QS esetében, megjegyezzük, hogy ez a kifejezés csak a faktorban tér el az átlagos sorhosszúság (20) kifejezésétől, pl.
.
Egy kérés átlagos tartózkodási ideje a rendszerben, valamint egy egycsatornás QS esetében eltér az átlagos várakozási időtől az átlagos szolgáltatási idő szorozva a relatív áteresztőképességgel:
.
Korlátlan sorhosszú rendszerek. Egy várakozással járó QS csatornát vettünk figyelembe, amikor egyszerre legfeljebb m-ügyfél lehet a sorban.
Csakúgy, mint korábban, a korlátok nélküli rendszerek elemzésénél figyelembe kell venni a kapott összefüggéseket a -ra.
Az állapotok valószínűségét a képletekből úgy kapjuk meg, hogy átadjuk a határértéket (at ). Figyeljük meg, hogy a megfelelő geometriai progresszió összege >1-nél konvergál és divergál. Feltéve, hogy<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(22)
A meghibásodás valószínűsége, relatív és abszolút áteresztőképesség. Mivel minden kérést előbb-utóbb kiszolgálnak, a QS átviteli jellemzői a következők lesznek:
A sorban lévő kérelmek átlagos száma a következőből adódik: (20):
,
és az átlagos várakozási idő (21):
.
A foglalt csatornák átlagos számát, mint korábban, az abszolút átviteli sebesség alapján határozzuk meg:
.
A QS-hez tartozó ügyfelek átlagos száma a sorban álló ügyfelek átlagos száma, plusz a szolgáltatás alatt álló ügyfelek átlagos száma (a foglalt csatornák átlagos száma):
2. példa: Egy benzinkút két adagolóval (n = 2) szolgál ki autók áramlását =0,8 (autó/perc) sebességgel. Átlagos szervizidő gépenként:
Más benzinkút nincs a környéken, így szinte a végtelenségig nőhet az autók sora a benzinkút előtt. Keresse meg a QS jellemzőit.
Mert a<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:
stb.
A foglalt csatornák átlagos számát úgy kapjuk meg, hogy a QS A==0,8 abszolút áteresztőképességét elosztjuk a szolgáltatásintenzitás=0,5 értékkel:
A valószínűsége annak, hogy a benzinkútnál nem lesz sor:
A sorban álló autók átlagos száma:
Átlagos autók száma a töltőállomásokon:
Átlagos várakozási idő a sorban:
Egy autó átlagosan benzinkúton tartózkodik:
CMO korlátozott várakozási idővel. Korábban a várakozást csak a sor hossza (az egyidejűleg a sorban lévő m-ügyfelek száma) korlátozta. Egy ilyen QS-ben a sorba nőtt követelés nem hagyja el addig, amíg meg nem várja a szolgáltatást. A gyakorlatban léteznek más típusú QS-ek is, amelyekben az alkalmazás némi várakozás után kiléphet a sorból (ún. "türelmetlen" alkalmazások).
Tekintsünk egy ilyen típusú QS-t, feltételezve, hogy a várakozási idő megszorítása egy valószínűségi változó.
Tételezzük fel, hogy van egy n-csatornás várakozási QS, amelyben a sorban álló helyek száma nincs korlátozva, hanem az ügyfél által a sorban eltöltött idő valamilyen átlagos értékű véletlenszerű változó, így minden ügyfél a sorban a sor egyfajta Poisson "gondozási áramlásnak" van kitéve, amelynek intenzitása:
Ha ez az áramlás Poisson, akkor a QS-ben lezajló folyamat Markov lesz. Keressük meg az állapotok valószínűségét. A rendszerállapotok számozása a rendszerben lévő kérések számához van társítva – mind a kiszolgált, mind a sorban álló:
nincs sor:
Minden csatorna ingyenes;
Az egyik csatorna foglalt;
Két csatorna foglalt;
Minden n-csatorna foglalt;
van egy sor:
Minden n-csatorna foglalt, egy alkalmazás van a sorban;
Minden n-csatorna foglalt, az r-kérések a sorban vannak stb.
ábrán látható a rendszer állapotainak és átmeneteinek grafikonja. 23.
Rizs. 23. QS korlátozott várakozási idővel
Jelöljük ezt a grafikont, mint korábban; minden balról jobbra mutató nyíl az alkalmazások áramlásának intenzitását jelzi. A sor nélküli állapotok esetében a jobbról balra mutató nyilak, mint korábban, az összes foglalt csatorna szolgáltatásfolyamának teljes intenzitását mutatják. Ami a soros állapotokat illeti, az azokból jobbról balra mutató nyilak az összes n-csatorna szolgáltatásfolyamának teljes intenzitását és a sorból való kilépés folyamának megfelelő intenzitását mutatják. Ha r-sorrendek vannak a sorban, akkor az indulások áramlásának teljes intenzitása egyenlő lesz.
Amint az a grafikonon látható, létezik a szaporodás és a halál mintája; általános kifejezéseket alkalmazva az állapotok korlátozó valószínűségére ebben a sémában (a rövidített jelölést használva ezt írjuk:
(24)
Vegyük észre a QS néhány jellemzőjét, amely korlátozott várakozási időt jelent a korábban figyelembe vett, „beteg” igényű QS-hez képest.
Ha a sor hossza nincs korlátozva és az ügyfelek „türelmesek” (ne hagyják el a sort), akkor a stacionárius limit mód csak abban az esetben létezik (a esetén a megfelelő végtelen geometriai progresszió divergál, ami fizikailag megfelel a korlátlan növekedésnek). a sor a következőhöz).
Ellenkezőleg, egy olyan QS-ben, amikor a "türelmetlen" ügyfelek előbb-utóbb kilépnek a sorból, a steady-state szolgáltatási mód mindig elérhető, függetlenül az ügyféláramlás csökkent intenzitásától. Ez abból a tényből következik, hogy a (24) képlet nevezőjében szereplő for sorozat a és bármely pozitív értékére konvergál.
A „türelmetlen” alkalmazásokkal rendelkező KPSZ-ek esetében a „meghibásodás valószínűsége” fogalmának nincs értelme – minden alkalmazás bekerül a sorba, de előfordulhat, hogy nem várja meg a szolgáltatást, és idő előtt távozik.
Relatív átviteli sebesség, a sorban lévő alkalmazások átlagos száma. Egy ilyen QS relatív áteresztőképessége q a következőképpen számítható ki. Nyilvánvaló, hogy minden kérelmet kiszolgálunk, kivéve azokat, amelyek a várakozási idő előtt távoznak a sorból. Számítsuk ki azoknak a kérelmeknek az átlagos számát, amelyek az ütemezés előtt hagyják el a sort. Ehhez kiszámítjuk a sorban lévő alkalmazások átlagos számát:
Ezen kérések mindegyikéhez létezik egy „kilépési fluxus”, amelynek intenzitása . Ez azt jelenti, hogy a sorban lévő -alkalmazások átlagos számából átlagosan az -alkalmazások szolgáltatásra várás nélkül távoznak, -az időegységenkénti alkalmazások és az -alkalmazások átlagosan időegységenként kerülnek kiszolgálásra. A QS relatív áteresztőképessége a következő lesz:
A foglalt csatornák átlagos számát továbbra is úgy kapjuk meg, hogy az A abszolút átviteli sebességet elosztjuk a következővel:
(26)
A sorban lévő alkalmazások átlagos száma. A (26) reláció lehetővé teszi a sorban lévő kérések átlagos számának kiszámítását a végtelen sorozat (25) összegzése nélkül. A (26)-ból kapjuk:
és az ebben a képletben szereplő foglalt csatornák átlagos száma egy Z valószínűségi változó matematikai elvárásaként található meg, amely 0, 1, 2,..., n értékeket vesz fel ,:
Végezetül megjegyezzük, hogy ha a (24) képletekben átlépünk a határértékre a (vagy, ami megegyezik, at ), akkor a (22) képleteket kapjuk, azaz a „türelmetlen” kérések „türelmessé” válnak.
Eddig olyan rendszerekkel foglalkoztunk, amelyekben a bejövő áramlás semmilyen módon nem kapcsolódik a kimenőhöz. Az ilyen rendszereket nyitottnak nevezzük. Egyes esetekben a kiszolgált kérések késleltetés után ismét beírják a bemenetet. Az ilyen QS-eket zártnak nevezzük. Egy adott területet kiszolgáló poliklinika, egy gépcsoporthoz rendelt dolgozók csoportja a zárt rendszerek példája.
Egy zárt QS-ben ugyanaz a véges számú potenciális követelmény kering. Amíg egy potenciális igény szolgáltatási követelményként nem realizálódik, az késleltetési blokkban lévőnek minősül. A megvalósításkor magába a rendszerbe kerül. Például a munkások egy gépcsoportot szolgálnak ki. Minden gép potenciális követelmény, amely valóságossá válik, amint meghibásodik. Amíg a gép üzemel, a késleltető egységben, a meghibásodás pillanatától a javítás végéig pedig magában a rendszerben van. Minden dolgozó egy szolgáltatási csatorna.
Hadd n- a szolgáltatási csatornák száma, s- lehetséges alkalmazások száma, n <s , - az alkalmazások áramlásának intenzitása az egyes potenciális igényekhez, μ - a szolgáltatás intenzitása:
A rendszer leállásának valószínűségét a képlet határozza meg
R
0
= 
.
A rendszerállapotok végső valószínűségei:
P k= at k
Ezek a valószínűségek a foglalt csatornák átlagos számát fejezik ki
=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+Ps) vagy
=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)Pn- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -…-P n-1 ).
Megtaláljuk a rendszer abszolút sávszélességét:
valamint az alkalmazások átlagos száma a rendszerben
M=s- =s- .
1. példa. A meghibásodásokkal rendelkező háromcsatornás QS bemenete intenzitással fogadja az alkalmazások áramlását \u003d 4 kérés percenként, egy alkalmazás kiszolgálási ideje egy csatornán t szerviz =1/μ =0,5 perc. Előnyös-e a QS átviteli sebesség szempontjából, ha mindhárom csatornát egyszerre kényszerítjük ki az alkalmazások kiszolgálására, és az átlagos szolgáltatási idő háromszorosára csökken? Hogyan befolyásolja ez azt az átlagos időt, amelyet egy alkalmazás a KPSZ-ben tölt?
Megoldás. A háromcsatornás QS leállási valószínűségét a képlet alapján találjuk meg
ρ = /μ=4/2=2, n=3,
P 0 = = = 0,158.
A meghibásodás valószínűségét a következő képlet határozza meg:
P otk \u003d P n ==
P otk = 0,21.
A rendszer relatív áteresztőképessége:
P szolgáltatás = 1-R otk 1-0,21=0,79.
Abszolút rendszer sávszélesség:
A= P szolgáltatás 3,16.
A foglalt csatornák átlagos számát a következő képlet határozza meg:
1,58, a szolgáltatás által elfoglalt csatornák aránya,
q = 0,53.
A kérelem átlagos tartózkodási ideje a QS-ben a kérelem kézbesítésre való elfogadásának valószínűsége, szorozva az átlagos szolgáltatási idővel: t QS 0,395 perc.
Mindhárom csatornát egybe kombinálva egy egycsatornás rendszert kapunk paraméterekkel μ= 6, ρ= 2/3. Egycsatornás rendszer esetén az állásidő valószínűsége a következő:
R 0 = = =0,6,
meghibásodás valószínűsége:
P nyitott =ρ P 0 = = 0,4,
relatív áteresztőképesség:
P szolgáltatás = 1-R otk =0,6,
abszolút sávszélesség:
A=P szerviz = 2.4.
t CMO = R szolgáltatás= =0,1 perc.
A csatornák egyesítésének eredményeként a rendszer áteresztőképessége csökkent, mivel nőtt a meghibásodás valószínűsége. Egy alkalmazás átlagos tartózkodási ideje a rendszerben csökkent.
2. példa. A háromcsatornás, korlátlan várakozási sorral rendelkező QS bemenete intenzitású kéréseket fogad =4 kérés óránként, átlagos kiszolgálási idő egy kérésre t=1/μ=0,5 óra Keresse meg a rendszer teljesítménymutatóit.
A megfontolt rendszerhez n =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /µ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:
P= 
.
P
0
= 
=1/9.
A sorban lévő alkalmazások átlagos számát a következő képlet határozza meg:
L
=
.
L = = .
Az átlagos várakozási idő egy alkalmazásra a sorban a következő képlettel számítható ki:
t= = 0,22 óra.
Egy alkalmazás átlagos tartózkodási ideje a rendszerben:
T=t+ 0,22+0,5=0,72.
3. példa. A fodrászatban 3 mester, a váróban 3 szék dolgozik. Az ügyfelek áramlásának intenzitása van = 12 ügyfél óránként. Átlagos szervizidő t szerviz = 20 perc. Határozza meg a rendszer relatív és abszolút áteresztőképességét, az átlagos foglalt ülőhelyek számát, a sor átlagos hosszát, az átlagos időt, amit az ügyfél a fodrászban tölt.
Erre a feladatra n =3, m =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. Az állásidő valószínűségét a következő képlet határozza meg:
R
0
=
.
P
0
= 
0,012.
A szolgáltatás megtagadásának valószínűségét a képlet határozza meg
P otk \u003d P n + m \u003d .
P nyisd ki =P n + m 0,307.
A rendszer relatív áteresztőképessége, pl. Szolgáltatás valószínűsége:
P szolgáltatás =1-P nyitva 1-0,307=0,693.
Abszolút sávszélesség:
A= P szolgáltatás 12 .
A foglalt csatornák átlagos száma:
.
A várakozási sor átlagos hosszát a következő képlet határozza meg:
L
=
L= 
1,56.
Átlagos várakozási idő a sorban álló szolgáltatásra:
t= h.
A kérelmek átlagos száma a KPSZ-ben:
M=L + .
Egy kérelem átlagos tartózkodási ideje a közös piacszervezésben:
T=M/ 0,36 óra
4. példa. A munkás 4 gépet szolgál ki. Minden gép erősen meghibásodik =0,5 hiba óránként, átlagos javítási idő t rem\u003d 1 / μ \u003d 0,8 h Határozza meg a rendszer teljesítményét.
Ez a probléma zárt QS-nek tekinthető, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. A munkavállaló állásidejének valószínűségét a következő képlet határozza meg:
R
0
=
.
P
0
= 
.
Munkavállalói foglalkoztatási valószínűség R zan = 1-P 0 . A=( 1-P 0 )μ =0,85μ gép óránként.
Feladat:
Két munkás négy gépből álló csoportot szolgál ki. Egy futó gép leállása átlagosan 30 perc után következik be. Az átlagos beállítási idő 15 perc. A működési idő és a beállítási idő exponenciálisan oszlik el.
Keresse meg az egyes dolgozók szabadidejének átlagos megosztását és a gép átlagos működési idejét.
Keresse meg ugyanazokat a jellemzőket egy olyan rendszerhez, ahol:
a) minden dolgozóhoz két gépet rendelnek;
b) két dolgozó mindig együtt szolgálja ki a gépet, dupla intenzitással;
c) az egyetlen meghibásodott gépet egyszerre szolgálja ki mindkét dolgozó (dupla intenzitással), és amikor legalább még egy hibás gép megjelenik, külön-külön kezdenek dolgozni, mindegyik egy-egy gépet szolgál ki (először a rendszer leírása a halálozással, ill. születési folyamatok).
Megoldás:
Az S rendszer következő állapotai lehetségesek:
S 0 - minden gép üzemképes;
S 1 - 1 gép javítás alatt áll, a többi üzemképes;
S 2 - 2 a gép javítás alatt áll, a többi rendben van;
S 3 - 3 a gép javítás alatt áll, a többi rendben van;
S 4 - 4 a gép javítás alatt áll, a többi rendben van;
S 5 - (1, 2) gépek javítás alatt állnak, a többi rendben van;
S 6 - (1, 3) gépek javítás alatt állnak, a többi rendben van;
S 7 - (1, 4) gépek javítás alatt állnak, a többi rendben van;
S 8 - (2, 3) gépek javítás alatt állnak, a többi rendben van;
S 9 - (2, 4) gépek javítás alatt állnak, a többi rendben van;
S 10 - (3, 4) gépek javítás alatt állnak, a többi rendben van;
S 11 - (1, 2, 3) gépek javítás alatt állnak, 4 a gép üzemképes;
S 12 - (1, 2, 4) gépek javítás alatt állnak, 3 a gép üzemképes;
S 13 - (1, 3, 4) gépek javítás alatt állnak, 2 gép üzemképes;
S 14 - (2, 3, 4) gépek javítás alatt állnak, 1 gép üzemképes;
S 15 - minden gépet javítottak.
Rendszerállapot-grafikon…
Ez az S rendszer egy zárt rendszer példája, mivel minden gép potenciális követelmény, amely a meghibásodás pillanatában valóságossá válik. Amíg a gép működik, a késleltető egységben van, a meghibásodás pillanatától a javítás végéig pedig magában a rendszerben. Minden dolgozó egy szolgáltatási csatorna.
Ha a dolgozó elfoglalt, időegységenként μ-gépeket állít be, a rendszer áteresztőképessége:
Válasz:
Az egyes munkavállalók szabadidejének átlagos részesedése ≈ 0,09.
A gép átlagos üzemideje ≈ 3,64.
a) Minden dolgozóhoz két gép tartozik.
A munkavállaló leállásának valószínűségét a következő képlet határozza meg:
Munkavállaló foglalkoztatási valószínűsége:
Ha a dolgozó elfoglalt, időegységenként μ-gépeket állít be, a rendszer áteresztőképessége:
Válasz:
Az egyes dolgozókra jutó szabadidő átlagos aránya ≈ 0,62.
A gép átlagos ideje ≈ 1,52.
b) Két munkás mindig együtt szolgálja ki a gépet, és dupla intenzitással.
c) Az egyetlen hibás gépet mindkét dolgozó egyszerre szolgálja ki (dupla intenzitással), és amikor megjelenik legalább még egy hibás gép, külön-külön kezdenek el dolgozni, mindegyik egy-egy gépet szolgál ki (először a rendszer leírása a halálozási, ill. születési folyamatok).
5 válasz összehasonlítása:
A leghatékonyabb módja a dolgozók gépeknél történő megszervezésének a probléma kezdeti változata lesz.
A fentiekben a legegyszerűbb sorban állási rendszerek (QS) példáit vettük figyelembe. Az "egyszerű" fogalma nem azt jelenti, hogy "elemi". Ezeknek a rendszereknek a matematikai modelljei alkalmazhatóak és sikeresen alkalmazhatók a gyakorlati számításokban.
A döntéselmélet sorbanállási rendszerekben való alkalmazásának lehetőségét a következő tényezők határozzák meg:
1. A rendszerben lévő alkalmazások számának (amely QS-nek számít) elég nagynak kell lennie (masszívan).
2. A QS bemenetre belépő összes alkalmazásnak azonos típusúnak kell lennie.
3. A képletekkel végzett számításokhoz ismerni kell azokat a törvényszerűségeket, amelyek meghatározzák a kérelmek beérkezését és feldolgozásának intenzitását. Ezenkívül az alkalmazási folyamatoknak Poissonnak kell lenniük.
4. A QS felépítése, i.e. mereven rögzíteni kell a beérkező követelmények körét és a kérelem feldolgozásának sorrendjét.
5. A tantárgyakat ki kell zárni a rendszerből, vagy követelményként kell leírni állandó feldolgozási intenzitással.
A fent felsorolt korlátokhoz még egy hozzáadható, ami erősen befolyásolja a matematikai modell dimenzióját és összetettségét.
6. A felhasznált prioritások számát minimálisra kell csökkenteni. A pályázati prioritásoknak állandónak kell lenniük, pl. nem változhatnak a QS-en belüli feldolgozás során.
A munka során a fő cél megvalósult - a „QS korlátozott várakozási idővel” és a „Zárt QS” fő anyagot tanulmányozták, amelyet az akadémiai tudományág tanára állított fel. Megismerkedtünk a megszerzett ismeretek gyakorlati alkalmazásával is, i.e. konszolidálta a lefedett anyagot.
1) http://www.5ballov.ru.
2) http://www.studentport.ru.
3) http://vse5ki.ru.
4) http://revolution..
5) Fomin G.P. Matematikai módszerek és modellek a kereskedelmi tevékenységben. M: Pénzügy és statisztika, 2001.
6) Gmurman V.E. Valószínűségelmélet és matematikai statisztika. M: Felsőiskola, 2001.
7) Szovetov B.A., Jakovlev S.A. Rendszermodellezés. M: Felsőiskola, 1985.
8) Lifshits A.L. QS statisztikai modellezése. M., 1978.
9) Wentzel E.S. Operációkutatás. M: Nauka, 1980.
10) Wentzel E.S., Ovcharov L.A. Valószínűségszámítás és mérnöki alkalmazásai. M: Nauka, 1988.
A gyakorlatban meglehetősen gyakori az egycsatornás, sorba állított QS (betegeket kiszolgáló orvos; egy fülkés fizetős telefon; felhasználói rendeléseket teljesítő számítógép). A sorban állás elméletében az egycsatornás, sorral rendelkező QS-ek is kiemelt helyet foglalnak el (ilyen QS-ekhez tartozik a legtöbb nem-markovi rendszerre eddig kapott analitikai képlet). Ezért kiemelt figyelmet fordítunk az egycsatornás, soros QS-re.
Legyen egy egycsatornás QS olyan sorral, amelyre nincs korlátozás (sem a sor hosszára, sem a várakozási időre). Ez a QS λ intenzitású alkalmazások áramlását fogadja; a szolgáltatások áramlásának intenzitása μ, amely inverz a kérés tb átlagos szolgáltatási idejével. Meg kell találni a QS állapotok végső valószínűségét, valamint hatékonyságának jellemzőit:
Lsyst - az alkalmazások átlagos száma a rendszerben,
A Wsyst az alkalmazás átlagos tartózkodási ideje a rendszerben,
Loch - a sorban lévő alkalmazások átlagos száma,
Woch – az átlagos idő, ameddig az alkalmazás a sorban marad,
Rzan - annak a valószínűsége, hogy a csatorna foglalt (a csatorna terhelésének mértéke).
Ami az abszolút A-t és a relatív Q-t illeti, ezeket nem kell kiszámolni: a sor korlátlansága miatt minden alkalmazás előbb-utóbb ki lesz szolgáltatva, ezért A = λ, ugyanezen okból Q = 1.
Megoldás. A rendszer állapotai, mint korábban, a QS-ben lévő alkalmazások száma szerint lesznek számozva:
S0 - a csatorna ingyenes,
S1 - a csatorna foglalt (kiszolgálja a kérést), nincs sor,
S2 - a csatorna foglalt, egy kérés van a sorban,
Sk - a csatorna foglalt, k - 1 kérés van a sorban.
Elméletileg az állapotok számát semmi sem korlátozza (végtelenül). Az állapotgráf alakja az ábrán látható. 4.11. Ez a halál és szaporodás rendszere, de végtelen számú állapottal. Az összes nyíl esetében a λ intenzitású kérések áramlása balról jobbra, jobbról balra pedig a μ intenzitású szolgáltatások áramlását továbbítja.
Rizs. 4.11. QS állapotok grafikonja a halál és szaporodás sémájának formájában végtelen számú állapottal
Először is tegyük fel magunknak a kérdést, hogy ebben az esetben vannak-e végső valószínűségek? Hiszen a rendszerállapotok száma végtelen, és elvileg t→∞-ként a sor korlátlanul növekedhet! Igen, ez igaz: egy ilyen QS végső valószínűsége nem mindig létezik, de csak akkor, ha a rendszer nincs túlterhelve. Bebizonyítható, hogy ha p szigorúan kisebb egynél (p<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!
De térjünk vissza az egycsatornás QS-ünkhöz korlátlan sorbanállással. Szigorúan véve a halál és szaporodás sémájában a végső valószínűségek képleteit mi csak véges sok állapot esetére vezettük le, de végtelen sok állapotra is használjuk. Számítsuk ki az állapotok végső valószínűségét a (4.21), (4.20) képletek alapján! Esetünkben a (4.21) képlet tagjainak száma végtelen lesz. Megkapjuk a p0 kifejezést:
aholA p1, p2, ..., pk, ... valószínűségeket a következő képletekkel találhatjuk meg:
ahonnan (4.38) figyelembe véve végül azt találjuk:
p 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., pk= ρ4(1- ρ), . . . (4,39)
Amint látható, a p0, p1, ..., pk, ... valószínűségek geometriai sorozatot alkotnak a p nevezővel. Furcsa módon ezek maximuma p0 annak a valószínűsége, hogy a csatorna egyáltalán szabad lesz. Nem számít, mennyire terhelt a rendszer a sorral, ha egyáltalán képes megbirkózni az alkalmazások áramlásával (p<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.
Nézzük meg az alkalmazások átlagos számát a QS Lsyst-ben. A Z véletlenszerű változónak - az alkalmazások száma a rendszerben - lehetséges értékei 0, 1, 2, ..., k, ... p0, p1, p2, ..., pk, ... valószínűséggel. matematikai elvárás egyenlő
| |
(az összeget nem 0-tól ∞-ig, hanem 1-től ∞-ig vesszük, mivel a nullatag egyenlő nullával).
Helyettesítsük be a (4.40) képletbe az рk (4.39) kifejezést:
Most kivesszük p (1 - p)-t az összeg előjeléből:
Itt ismét alkalmazzuk a „kis trükköt”: a kpk-1 nem más, mint a pk kifejezés p-re vonatkozó deriváltja; Eszközök,
A differenciálás és az összegzés műveleteinek felcserélésével kapjuk:
Nos, most alkalmazzuk Little képletét (4.25), és keressük meg egy megbízás átlagos tartózkodási idejét a rendszerben:
| |
Keresse meg az alkalmazások átlagos számát a sorban Loch. A következőképpen érvelünk: a sorban lévő alkalmazások száma megegyezik a rendszerben lévő alkalmazások számával, mínusz a szolgáltatás alatt lévő alkalmazások számával. Ez azt jelenti (a matematikai elvárások összeadásának szabálya szerint), hogy az Lch sorban lévő alkalmazások átlagos száma megegyezik az Lsyst rendszerben lévő alkalmazások átlagos számával, mínusz a szolgáltatás alatt lévő alkalmazások átlagos számával. A szolgáltatás alatt lévő kérések száma lehet nulla (ha a csatorna szabad) vagy egy (ha foglalt). Egy ilyen valószínűségi változó matematikai elvárása megegyezik annak valószínűségével, hogy a csatorna foglalt (ezt Rzan-ként jelöltük). Nyilvánvaló, hogy a Pzan egyenlő eggyel mínusz a p0 valószínűsége, hogy a csatorna szabad:
és végül
Így a QS hatékonyságának minden jellemzője megtalálható.
Javasoljuk az olvasónak egy példa önálló megoldását: az egycsatornás QS egy vasúti rendezőpályaudvar, amely a legegyszerűbb, λ = 2 intenzitású (vonatok óránként) áramlását fogadja. A kompozíció karbantartása (felbontása) véletlenszerű (demonstratív) ideig tart, átlagosan tb = 20 (perc). Az állomás érkezési parkjában két vágány van, amelyen az érkező vonatok várakozhatnak a szolgálatra; ha mindkét vágány foglalt, a vonatok a külső vágányokon kénytelenek várakozni. Meg kell találni (az állomás korlátozó, álló üzemmódjához): az állomáshoz kapcsolódó Lsyst vonatok átlagos számát, a vonat átlagos állomáson tartózkodásának Wsyst idejét (belső vágányokon, külső vágányokon, ill. karbantartás alatt), a feloszlatásra sorban álló vonatok átlagos száma Lch (nem mindegy, hogy melyik vágányokon), a vonat átlagos Wch sorbanállási ideje. Ezenkívül próbálja meg megtalálni a feloszlásra váró vonatok átlagos számát a külső vágányokon Lext és ennek a várakozásnak a Wext átlagos idejét (az utolsó két értéket Little képlete kapcsolja össze). Végül keresse meg a W teljes napi bírságot, amelyet az állomásnak kell fizetnie a külső vágányokon közlekedő vonatok állásáért, ha az állomás a (rubelt) bírságot fizet egy vonat egyórás állásáért. Minden esetre közöljük a válaszokat: Lcist = 2 (összetétel), Wsyst = i (óra), Loch = 4/3 (összetétel), Woch = 2/3 (óra), Lext = 16/27 (összetétel), Wext = 8 /27 ≈ 0,297 (óra). A külső vágányokon várakozó vonatok napi W átlagos bírságát úgy kapjuk meg, hogy megszorozzuk az állomásra naponta érkező vonatok átlagos számát, a külső vágányokon közlekedő vonat átlagos várakozási idejét és az a órabüntetést: W ≈ 14,2a.
A kereskedelmi tevékenységekben gyakoribb a várakozással (sorbanállással) rendelkező QS.
Tekintsünk egy egyszerű egycsatornás QS-t korlátozott sorral, amelyben a sorban lévő helyek száma m fix érték. Következésképpen egy olyan alkalmazás, amely abban a pillanatban érkezik, amikor a sorban lévő összes hely foglalt, nem fogadja el a szolgáltatást, nem lép be a sorba, és elhagyja a rendszert.
Ennek a QS-nek a grafikonja az ábrán látható. 3.4 és egybeesik az ábra grafikonjával. 2.1, amely leírja a "születés - halál" folyamatát, azzal a különbséggel, hogy csak egy csatorna jelenlétében.
A szolgáltatás "születése-halála" folyamatának feliratozott grafikonja, a szolgáltatásfolyamatok minden intenzitása egyenlő
A QS állapotok a következőképpen ábrázolhatók:
S0 - a szolgáltatási csatorna ingyenes,
S, - a szolgáltatási csatorna foglalt, de nincs sor,
S2 - a szolgáltatási csatorna foglalt, egy kérés van a sorban,
S3 - a szolgáltatási csatorna foglalt, két kérés van a sorban,
Sm+1 - a szolgáltatási csatorna foglalt, a sorban mind az m hely foglalt, minden következő kérés elutasítva.
A QS véletlenszerű folyamatának leírásához használhatjuk a korábban leírt szabályokat és képleteket. Írjuk fel az állapotok korlátozó valószínűségét meghatározó kifejezéseket:
A p0 kifejezést ebben az esetben egyszerűbben is felírhatjuk úgy, hogy a nevező p-hez képest geometriai haladás, majd a megfelelő transzformációk után kapjuk:
c= (1 másodperc)
Ez a képlet minden 1-től eltérő p-re érvényes, de ha p = 1, akkor p0 = 1/(m + 2), és minden más valószínűség is egyenlő 1/(m + 2).
Ha m = 0-t feltételezünk, akkor az egycsatornás, várakozással járó QS figyelembevételéről áttérünk a már figyelembe vett egycsatornás szolgáltatásmegtagadásos QS-re.
Valójában a p0 határvalószínűség kifejezése m = 0 esetben a következőképpen alakul:
po \u003d m / (l + m)
És l \u003d m esetén p0 \u003d 1/2 értéke van.
Határozzuk meg a várakozással járó egycsatornás QS főbb jellemzőit: a relatív és abszolút átviteli sebességet, a meghibásodás valószínűségét, valamint az átlagos sorhosszt és az átlagos várakozási időt egy alkalmazásra a sorban.
A kérés elutasításra kerül, ha abban a pillanatban érkezik, amikor a QS már Sm + 1 állapotban van, és ezért a sorban minden hely foglalt és egy csatorna szolgál ki.
Ezért a meghibásodás valószínűségét az előfordulás valószínűsége határozza meg
Az Sm+1 kimondja:
Potc = pm+1 = cm+1 * p0
A relatív átviteli sebességet vagy az időegység alatt érkező kiszolgált kérések arányát a kifejezés határozza meg
Q \u003d 1- potk \u003d 1- cm + 1 * p0
az abszolút sávszélesség:
A szolgáltatási sorban álló L alkalmazások átlagos számát a k valószínűségi változó matematikai elvárása határozza meg - a sorban álló alkalmazások száma
a k valószínűségi változó csak a következő egész értékeket veszi fel:
- 1 - egy alkalmazás van a sorban,
- 2 - két alkalmazás van a sorban,
t-a sorban minden hely foglalt
Ezen értékek valószínűségét a megfelelő állapotvalószínűség határozza meg, az S2 állapottól kezdve. A diszkrét k valószínűségi változó eloszlási törvénye a következő:
1. táblázat. Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlásának törvénye
Ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárása:
Loch = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1
Általános esetben p ? 1 esetén ez az összeg geometriai progressziós modellekkel átalakítható egy kényelmesebb formára:
Loch = p2 * 13:00 * (m-m*p+1)*p0
Abban a konkrét esetben, amikor p = 1, amikor minden pk valószínűség egyenlőnek bizonyul, használhatjuk a kifejezést a számsorozat tagjainak összegére.
1+2+3+ m = m(m+1)
Ezután megkapjuk a képletet
L "och \u003d m(m+1)* p0 = m(m+1)(p=1).
Hasonló okoskodással és transzformációkkal kimutatható, hogy egy kérés és egy sor kiszolgálásának átlagos várakozási idejét Little képletei határozzák meg.
Pont \u003d Loch / A (az p? 1-nél) és T1och \u003d L "och / A (p \u003d 1-nél).
Egy ilyen eredmény, amikor kiderül, hogy Tox ~ 1/l, furcsának tűnhet: a kérések áramlásának intenzitásának növekedésével úgy tűnik, hogy a sor hosszának növekednie kell, és az átlagos várakozási időnek csökkennie kell. Mindazonáltal szem előtt kell tartani, hogy egyrészt a Loch értéke l és m függvénye, másrészt a szóban forgó QS korlátozott várakozási sor hossza legfeljebb m alkalmazás.
Az a kérés, amely akkor érkezik a QS-hez, amikor minden csatorna foglalt, elutasításra kerül, ezért a QS-ben a „várakozási” ideje nulla. Ez általános esetben (p? 1 esetén) a Tochrostom l csökkenéséhez vezet, mivel az ilyen alkalmazások aránya l növekedésével nő.
Ha felhagyunk a sor hosszának korlátozásával, pl. aspire m--> >?, majd esetek p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду
Kellően nagy k esetén a pk valószínűség nullára hajlik. Ezért a relatív átviteli sebesség Q \u003d 1 lesz, és az abszolút átviteli sebesség A - l Q - l lesz, ezért minden bejövő kérést kiszolgálnak, és a sor átlagos hossza egyenlő lesz:
Loch = p2 1-p
és az átlagos várakozási idő Little képlete szerint
Pont \u003d Loch / A
A határban p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Ezért az állapotok határvalószínűsége nem határozható meg: Q= 1 esetén nullával egyenlő. A KGST valójában nem tölti be a feladatait, mivel nem képes minden beérkező alkalmazást kiszolgálni.
Könnyen megállapítható, hogy a kiszolgált kérések aránya, illetve az abszolút átviteli sebesség átlagos c és m, azonban a sor korlátlan növekedése, és ebből adódóan a várakozási idő is oda vezet, hogy egy idő után a kérések kezdenek felhalmozódni a sorban korlátlan ideig.
A QS egyik jellemzőjeként az alkalmazás QS-ben való tartózkodásának átlagos Tsmo idejét használják, beleértve a sorban eltöltött átlagos időt és az átlagos szolgáltatási időt. Ezt az értéket Little képletei számítják ki: ha a sor hossza korlátozott, akkor a sorban lévő alkalmazások átlagos száma egyenlő:
Lmo= m+1;2
tsmo= Lcmo; p?1
Ezután a kérés átlagos tartózkodási ideje a sorban állási rendszerben (mind a sorban, mind a szolgáltatás alatt) egyenlő:
tsmo= m+1 p = 1 2m
