Предел прочности

Определённая пороговая величина для конкретного материала, превышение которой приведёт к разрушению объекта под действием механического напряжения. Основные виды пределов прочности: статический, динамический, на сжатие и на растяжение. Например, предел прочности на растяжение - это граничное значение постоянного (статический предел) или переменного (динамический предел) механического напряжения, превышение которого разорвет (или неприемлемо деформирует) изделие. Единица измерения - Паскаль [Па], Н/мм ² = [МПа].

Предел текучести (σ т)

Величина механического напряжения, при которой деформация продолжает увеличиваться без увеличения нагрузки; служит для расчётов допустимых напряжений пластичных материалов.

После перехода предела текучести в структуре металла наблюдаются необратимые изменения: кристаллическая решетка перестраивается, появляются значительные пластические деформации. Вместе с тем происходит самоупрочнение металла и после площадки текучести деформация возрастает при увеличении растягивающей силы.

Нередко этот параметр определяют как «напряжение, при котором начинает развиваться пластическая деформация» , таким образом, отождествляя пределы текучести и упругости. Однако следует понимать, что это два разных параметра. Значения предела текучести превышают предел упругости ориентировочно на 5%.

Предел выносливости или предел усталости (σ R)

Способность материала воспринимать нагрузки, вызывающие циклические напряжения. Этот прочностной параметр определяют как максимальное напряжение в цикле, при котором не происходит усталостного разрушения изделия после неопределенно большого количества циклических нагружений (базовое число циклов для стали Nb = 10 7). Коэффициент R (σ R) принимается равным коэффициенту асимметрии цикла. Поэтому предел выносливости материала в случае симметричных циклов нагружения обозначают как σ -1 , а в случае пульсационных - как σ 0 .

Отметим, что усталостные испытания изделий очень продолжительны и трудоёмки, они включают анализ больших объёмов экспериментальных данных при произвольном количестве циклов и существенном разбросе значений. Поэтому чаще всего используют специальные эмпирические формулы, связывающие предел выносливости с другими прочностными параметрами материала. Наиболее удобным параметром при этом считается предел прочности.

Для сталей предел выносливости при изгибе как правило составляет половину от предела прочности: Для высокопрочных сталей можно принять:

Для обычных сталей при кручении в условиях циклически изменяющихся напряжений можно принять:

Приведённые выше соотношения стоит применять осмотрительно, потому что они получены при конкретных режимах нагружения, т.е. при изгибе и при кручении. Однако, при испытании на растяжение-сжатие предел выносливости становится примерно на 10-20% меньше, чем при изгибе.

Предел пропорциональности (σ)

Максимальная величина напряжения для конкретного материала, при которой ещё действует закон Гука, т.е. деформация тела прямо пропорционально зависит от прикладываемой нагрузки (силы). Обратите внимание, что для множества материалов достижение (но не превышение!) предела упругости приводит к обратимым (упругим) деформациям, которые, впрочем, уже не прямо пропорциональны напряжениям. При этом такие деформации могут несколько «запаздывать» относительно роста или снижения нагрузки.

Диаграмма деформации металлического образца при растяжении в координатах удлинение (Є) - напряжение (σ).

1:Предел абсолютной упругости.

2:Предел пропорциональности.

3:Предел упругости.

Казалось бы, что полученные в предыдущих параграфах результаты решают задачу проверки сжатого стержня на устойчивость; остается выбрать лишь коэффициент запаса . Однако это далеко не так. Ближайшее же изучение числовых величин, получаемых по формуле Эйлера, показывает, что она дает правильные результаты лишь в известных пределах.

На рис.1 приведена зависимость величины критических напряжений, вычисленных при различных значениях гибкости для стали 3, обычно применяемой в металлических конструкциях. Эта зависимость представляется гиперболической кривой, так называемой «гиперболой Эйлеpa»:

При пользовании этой кривой надо вспомнить, что представляемая ею формула получена при помощи интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси, т. е. в предположении, что напряжения в стержне в момент потери устойчивости не превосходят предела пропорциональности .

Рис.1. Гиперболическая зависимость критического напряжения от гибкости стержня

Следовательно, мы не имеем права пользоваться величинами критических напряжений, вычисленных по формуле Эйлера, если они получаются выше этого предела для данного материала. Иначе говоря, формула Эйлера применима лишь при соблюдении условия:

Если из этого неравенства выразить гибкость , то условие применимости формул Эйлера получит иной вид:

Подставляя соответствующие значения модуля упругости и предела пропорциональности для данного материала, находим наименьшее значение гибкости, при которой еще можно пользоваться формулой Эйлера. Для стали 3 предел пропорциональности может быть принят равным , поэтому, для стержней из этого материала можно пользоваться формулой Эйлера лишь при гибкости

т. е. большей, чем 100 %

Для стали 5 при формула Эйлера применима при гибкости ; для чугуна — при , для сосны — при и т. д. Если мы на Рис.1 проведем горизонтальную линию с ординатой, равной , то она рассечет гиперболу Эйлера на две части; пользоваться можно лишь нижней частью графика, относящейся к сравнительно тонким и длинным стержням, потеря устойчивости которых происходит при напряжениях, лежащих не выше предела пропорциональности.

Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике лишь для очень ограниченной категории стержней, а именно, тонких и длинных, с большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни с малой гибкостью. Попытки использовать формулу Эйлера для вычисления критических напряжений и проверки устойчивости при малых гибкостях вели иногда к весьма серьезным катастрофам, да и опыты над сжатием стержней показывают, что при критических напряжениях, больших предела пропорциональности, действительные критические силы значительно ниже определенных по формуле Эйлера.

Таким образом, надо найти способ вычисления критических напряжений и для тех случаев, когда они превышают предел пропорциональности материалов, например, для стержней из мягкой стали при гибкостях от 0 до 100.

Необходимо сразу же отметить, что в настоящее время важнейшим источником для установления критических напряжений за пределом пропорциональности, т. е. при малых и средних гибкостях, являются результаты экспериментов. Имеются попытки и теоретического решения этой задачи, но они скорее указывают путь к дальнейшим исследованиям, чем дают основания для практических расчетов.

Прежде всего надо выделить стержни с малой гибкостью, от 0 примерно до 30—40; у них длина сравнительно невелика по отношению к размерам поперечного сечения. Например, для стержня круглого сечения гибкости 20 соответствует отношение длины к диаметру, равное 5. Для таких стержней трудно говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы всего стержня в целом в том смысле, как это имеет место для тонких и длинных стержней.

Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счет того, что напряжения сжатия в них будут достигать предела текучести (при пластичном материале) или предела прочности (при хрупких материалах). Поэтому для коротких стержней, до гибкости примерно 3040, критические напряжения «будут равны, или немного ниже (за счет наблюдающегося все же некоторого искривления оси стержня), соответственно или (сталь), или (чугун, дерево).

Таким образом, мы имеем два предельных случая работы сжатых стержней: короткие стержни, которые теряют грузоподъемность в основном за счет разрушения материала от сжатия, и длинные, для которых потеря грузоподъемности вызывается нарушением устойчивости прямолинейной формы стержня. Количественное изменение соотношения длины и поперечных размеров стержня меняет и весь характер явления разрушения. Общим остается лишь внезапность наступления критического состояния в смысле внезапного резкого возрастания деформаций.

В сжатых стержнях большой гибкости, для которых применима формула Эйлера, после достижения силой Р критического значения обычно наблюдается резкий рост деформаций. До этого момента прогибы, как правило, растут с ростом нагрузки, но остаются незначительными. Теоретически можно было бы ожидать, что до критической силы стержень будет оставаться прямым; однако ряд неизбежных на практике обстоятельств — начальная кривизна стержня, некоторый эксцентриситет приложения нагрузки, местные перенапряжения, неоднородность материала — вызывают небольшие прогибы и при сжимающих силах, меньших критических.

Подобный же характер имеет и зависимость укорочений от напряжения при сжатии коротких стержней; мы имеет ту же внезапность роста деформаций при определенной величине напряжений (когда ).

Нам остается теперь рассмотреть поведение сжатых стержней при средних величинах гибкости, например для стальных стержней при гибкостях от 40 до 100; с подобными значениями гибкостей инженер чаще всего встречается на практике.

По характеру разрушения эти стержни приближаются к категории ^ тонких и длинных стержней; они теряют свою прямолинейную форму и разрушаются при явлениях значительного бокового выпучивания. При опытах для них можно отметить наличие ясно выраженной критической силы в «эйлеровом» смысле; критические напряжения получаются выше предела пропорциональности и ниже предела текучести для пластичных и предела прочности для хрупких материалов.

Однако потеря прямолинейной формы и понижение критических напряжений по сравнению с короткими стержнями для этих стержней «средней» гибкости связаны с такими же явлениями нарушения прочности материала, какие вызывают потерю грузоподъемности в коротких стержнях. Здесь комбинируются и влияние длины, понижающее величину критических напряжений, и влияние значительного роста деформаций материала при напряжениях за пределом пропорциональности.

Экспериментальное определение критических сил для сжатых стержней производилось неоднократно как у нас, так и заграницей. Особенно обширный опытный материал собрал проф. Ф. Ясинский, составивший таблицу критических («ломающих») напряжений в. зависимости от гибкости для целого ряда материалов и положивший начало современным методам расчета сжатых стержней на устойчивость.

На основании полученного опытного материала можно считать, что при критических напряжениях, меньших предела пропорциональности, все эксперименты подтверждают формулу Эйлера для любого материала.

Для стержней средней и малой гибкости были предложены различные эмпирические формулы, показывающие, что критические напряжения при таких гибкостях меняются по закону, близкому к линейному:

где а и b — коэффициенты, зависящие от материала, a — гибкость стержня. Для литого железа Ясинский получил: а = 338,7МПа , b = 1,483 МПа . Для стали 3 при гибкостях от = 40 до = 100 коэффициенты а и b могут быть приняты: а = 336 МПа ; b = 1,47МПа . Для дерева (сосна): а = 29,3 МПа ; b = 0,194 МПа.

Иногда удобны эмпирические формулы, дающие для неупругой области изменение критических напряжений по закону квадратной параболы; к ним относится формула

Здесь при = 0 считают для пластичного и для хрупкого материала; коэффициент а , подобранный из условия плавного сопряжения с гиперболой Эйлера, имеет значение:

для стали с пределом текучести = 280 МПа а = 0,009 МПа

При наличии приведенных здесь данных может быть построен полный график критических напряжений (в зависимости от гибкости) для любого материала. На Рис.2 приведен такой график для строительной стали с пределом текучести и пределом пропорциональности .

Рис.2. Полный график критических напряжений для строительной стали.

График состоит из трех частей: гиперболы Эйлера при, наклонной прямой при и горизонтальной, или слабо наклонной, прямой при . Подобные же графики можно построить, комбинируя формулу Эйлера с результатами экспериментов, и для других материалов.

Проверка сжатых стержней на устойчивость.

Ранее было отмечено, что для сжатых стержней должны быть произведены две проверки:

на прочность

на устойчивость

где

Для установления допускаемого напряжения на устойчивость нам остается теперь выбрать только коэффициент запаса k .

На практике этот коэффициент колеблется для стали в пределах от 1,8 до 3,0. Коэффициент запаса на устойчивость выбирается выше коэффициента запаса на прочность, равного для стали 1,5 — 1,6.

Это объясняется наличием ряда обстоятельств, неизбежных на практике (начальная кривизна, эксцентриситет действия, нагрузки, неоднородность материала и т. д.) и почти не отражающихся на работе конструкции при других видах деформации (кручение, изгиб, растяжение).

Для сжатых же стержней, ввиду возможности потери устойчивости, эти обстоятельства могут сильно снизить грузоподъемность стержня. Для чугуна коэффициент запаса колеблется от 5,0 до 5,5, для дерева — от 2,8 до 3,2.

Чтобы установить связь между допускаемым напряжением на устойчивость и допускаемым напряжением на прочность , возьмем их отношение:

Обозначая

здесь — коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых стержней.

Имея график зависимости от для данного материала, зная или и выбрав коэффициенты запаса на прочность и на устойчивость , можно составить таблицы значений коэффициента в функции от гибкости. Такие данные приводятся в наших технических условиях на проектирование сооружений; они сведены в таблицу.

Механические свойства при растяжении, как и при других статических испытаниях, могут быть разделены на три основные группы: прочностные, пластические и характеристики вязкости . Прочностные свойства - это характеристики сопротивления материала образца деформации или разрушению. Большинство стандартных прочностных характеристик рассчитывают по положению определенных точек на диаграмме растяжения, в виде условных растягивающих напряжений. В разделе 2.3 анализировались диаграммы в координатах истинное напряжение - истинная деформация , которые наиболее точно характеризуют деформационное упрочнение. На практике же механические свойства обычно определяют по первичным кривым растяжения в координатах нагрузка - абсолютное удлинение, которые автоматически записываются на диаграммной ленте испытательной машины. Для поликристаллов различных металлов и сплавов все многообразие этих кривых при низких температурах можно свести в первом приближении к трем типам (рис. 2.44).

Рисунок 2.44 - Типы первичных кривых растяжения

Диаграмма растяжения I типа характерна для образцов, разрушающихся без заметной пластической деформации. Диаграмма II типа получается при растяжении образцов, равномерно деформирующихся вплоть до разрушения. Наконец, диаграмма III типа характерна для образцов, разрушающихся после образования шейки в результате сосредоточенной деформации. Такая диаграмма может получиться и при растяжении образцов, разрушающихся без образования шейки (при высокотемпературном растяжении); участок bk здесь может быть сильно растянут и почти параллелен оси деформации. Возрастание нагрузки до момента разрушения (см. рис. 2.44, II ) или до максимума (см. рис. 2.44, III ) может быть либо плавным (сплошные линии), либо прерывистым. В последнем случае на диаграмме растяжения могут, в частности, появиться зуб и площадка текучести (пунктир на рис. 2.44, III,III ).

В зависимости от типа диаграммы меняется набор характеристик, которые по ней можно рассчитывать, а также их физический смысл. На рис. 2.44 (диаграмма III типа) нанесены характерные точки, по ординатам которых рассчитывают прочностные характеристики

(σ i = P i /F 0 ).

Как видно, на диаграммах двух других типов (см. рис. 2.44, I , II ) могут быть нанесены не все эти точки.

Предел пропорциональности. Первая характерная точка на диаграмме растяжения - точка p (см. рис. 2.45). Усилие Р nu определяет величину предела пропорциональности - напряжения, которое материал образца выдерживает без отклонения от закона Гука.

Приближенно величину Р nu можно определить по точке, где начинается расхождение кривой растяжения и продолжения прямолинейного участка (рис. 2.46).

Рисунок 2.46 - Графические способы определения предела пропорциональности.

Для того, чтобы унифицировать методику и повысить точность расчета предела пропорциональности, его оценивают как условное напряжение (σ nu), при котором отступление от линейной зависимости между нагрузкой и удлинением достигает определенной величины. Обычно допуск при определении σ nu задают по уменьшению тангенса угла наклона, образованного касательной к кривой растяжения в точке p с осью деформаций, по сравнению с тангенсом на начальном упругом участке. Стандартная величина допуска 50%, возможно также использование 10%-ного и 25%-ного допуска. Его величина должна указываться в обозначении предела пропорциональности - σ nu 50 , σ nu 25 , σ nu 10 .

При достаточно большом масштабе первичной диаграммы растяжения величину предела пропорциональности можно определить графически прямо на этой диаграмме (см. рис. 2.46). В первую очередь продолжают прямолинейный участок до пересечения с осью деформации в точке 0, которую и принимают за новое начало координат, исключая таким образом искаженный из-за недостаточной жесткости машины начальный участок диаграммы. Далее можно пользоваться двумя способами. По первому из них на произвольной высоте в пределах упругой области восстанавливают перпендикуляр АВ к оси нагрузок (см. рис. 2.46,а ), откладывают вдоль него отрезок ВС= ½АВ и проводят линию ОС. При этом tg α′= tg α/1,5. Если теперь провести касательную к кривой растяжения параллельно ОС , то точка касания р определит искомую нагрузку P nu .

При втором способе из произвольной точки прямолинейного участка диаграммы опускают перпендикуляр KU (см.рис. 2.46,б ) на ось абсцисс и делят его на три равные части. Через точку C и начало координат проводят прямую, а параллельно ей - касательную к кривой растяжения. Точка касания p соответствует усилию P nu (tg α′= tg α/1,5).

Более точно определить предел пропорциональности можно с помощью тензометров - специальных приборов для измерения малых деформаций.

Предел упругости . Следующая характерная точка на первичной диаграмме растяжения (см. рис. 2.45) - точка е . Ей отвечает нагрузка, по которой рассчитывают условный предел упругости - напряжение, при котором остаточное удлинение достигает заданной величины, обычно 0,05 %, иногда меньше - вплоть до 0,005 %. Использованный при расчете допуск указывается в обозначении условного предела упругости σ 0,05 , σ 0,01 и т.д.

Предел упругости характеризует напряжение, при котором появляются первые признаки макропластической деформации. В связи с малым допуском по остаточному удлинению даже σ 0,05 трудно с достаточной точностью определить по первичной диаграмме растяжения. Поэтому в тех случаях, когда высокой точности не требуется, предел упругости принимается равным пределу пропорциональности. Если же необходима точная количественная оценка σ 0,05 , то используют тензометры. Методика определения σ 0,05 во многом аналогична описанной для σ nu , но имеется одно принципиальное различие. Поскольку при определении предела упругости допуск задается по величине остаточной деформации, после каждой ступени нагружения необходимо разгружать образец до начального напряжения σ 0 ≤ 10% от ожидаемого σ 0,05 и затем только измерять удлинение по тензометру.

Если масштаб записи диаграммы растяжения по оси удлинений составляет 50:1 и более, а по оси нагрузок ≤10МПа на 1 мм, допускается графическое определение σ 0,05 . Для этого по оси удлинений от начала координат откладывают отрезок ОК = 0,05 l 0 /100 и через точку К проводят прямую, параллельную прямолинейному участку диаграммы (рис. 2.47). Ордината точки е будет соответствовать величине нагрузки Р 0,05 , определяющей условный предел упругости σ 0,05 = P 0,05 /F 0 .

Предел текучести. При отсутствии на диаграмме растяжения зуба и площадки текучести рассчитывают условный предел текучести - напряжение, при котором остаточное удлинение достигает заданной величины, обычно 0,2 %. Соответственно условный предел текучести обозначается σ 0,2 . Как видно, эта характеристика отличается от условного предела упругости только величиной допуска. Предел

Текучести характеризует напряжение, при котором происходит более полный переход к пластической деформации.

Наиболее точная оценка величины σ 0,2 может быть выполнена при использовании тензометров. Поскольку допуск по удлинению для расчета условного предела текучести относительно велик, его часто определяют графически по диаграмме растяжения, если последняя записана в достаточно большом масштабе (не менее 10:1 по оси деформаций). Делается это так же, как при расчете предела упругости (см.рис. 2.47), только отрезок ОК = 0,2l 0 /100 .

Условные пределы пропорциональности, упругости и текучести характеризуют сопротивление материала малым деформациям. Величина их незначительно отличается от истинных напряжений, отвечающих соответствующим допускам по деформации. Техническое значение этих пределов сводится к тому, чтобы оценить уровни напряжений, под действием которых

та или иная деталь может работать, не подвергаясь остаточной деформации (предел пропорциональности) или деформируясь на какую-то небольшую допускаемую величину, определяемую условиями эксплуатации (σ 0,01 , σ 0,05 , σ 0,2 и т.д.). Учитывая, что в современной технике возможность остаточного изменения размеров деталей и конструкций лимитируется все более жестко, становится ясной насущная необходимость точного знания пределов пропорциональности, упругости и текучести, которые широко используются в конструкторских расчетах.

Физический смысл предела пропорциональности любого материала настолько очевиден, что не требует специального обсуждения. Действительно, σ nu для моно- и поликристалла, гомогенного металла и гетерофазного сплава - это всегда максимальное напряжение, до которого при растяжении соблюдается закон Гука и макропластическая деформация не наблюдается. Следует помнить, что до достижения σ nu в отдельных зернах поликристаллического образца (при их благоприятной ориентировке, наличии концентраторов напряжений) может начаться пластическая деформация, которая, однако, не приведет к заметному удлинению всего образца, пока деформацией не окажется охваченным большинство зерен.

Начальным стадиям макроудлинения образца соответствует предел упругости. Для благоприятно ориентированного монокристалла он должен быть близок к критическому скалывающему напряжению. Естественно, при разных кристаллографических ориентировках монокристалла предел упругости будет различен. У достаточно мелкозернистого поликристалла в отсутствие текстуры предел упругости изотропен, одинаков во всех направлениях.

Природа условного предела текучести поликристалла в принципе аналогична природе предела упругости. Но именно предел текучести является наиболее распространенной и важной характеристикой сопротивления металлов и сплавов малой пластической деформации. Поэтому физический смысл предела текучести и его зависимость от различных факторов необходимо проанализировать подробнее.

Плавный переход от упругой к пластической деформации (без зуба и площадки текучести) наблюдается при растяжении таких металлов и сплавов, в которых имеется достаточно большое количество подвижных, незакрепленных дислокаций в исходном состоянии (до начала испытания). Напряжение, необходимое для начала пластической деформации поликристаллов этих материалов, оцениваемое через условный предел текучести, определяется силами сопротивления движению дислокаций внутри зерен, легкостью передачи деформации через их границы и размером зерен.

Эти же факторы определяют и величину физического предела текучести σ т - напряжения, при котором образец деформируется под действием практически неизменной растягивающей нагрузки Р т (см. рис. 2.45, площадка текучести на пунктирной кривой). Физический предел текучести часто называют нижним в отличие от верхнего предела текучести, рассчитываемого по нагрузке, соответствующей вершине зуба текучести и (см. рис. 2.45): σ т.в = P т.в / F 0 .

Образование зуба и площадки текучести (так называемое явление резкой текучести) внешне выглядит следующим образом. Упругое растяжение приводит к плавному подъему сопротивления деформированию вплоть до σ т.в, затем происходит относительно резкий спад напряжений до σ т.н и последующая деформация (обычно на 0,1-1 %) идет при неизменном внешнем усилии - образуется площадка текучести. Во время удлинения, соответствующего этой площадке, образец на рабочей длине покрывается характерными полосами Чернова - Людерса, в которых локализуется деформация. Поэтому величину удлинения на площадке текучести (0,1 - 1%) часто называют деформацией Чернова - Людерса.

Явление резкой текучести наблюдается у многих технически важных металлических материалов и поэтому имеет большое практическое значение. Оно представляет также общий теоретический интерес с точки зрения понимания природы начальных стадий пластической деформации.

В последние десятилетия показано, что зуб и площадку текучести можно получить при растяжении моно- и поликристаллов металлов и сплавов с различными решетками и микроструктурой. Наиболее часто фиксируется резкая текучесть при испытании металлов с ОЦК решеткой и сплавов на их основе. Естественно, практическое значение резкой текучести для этих металлов особенно велико, и большинство теорий также разрабатывалось применительно к особенностям этих металлов. Использование дислокационных представлений для объяснения резкой текучести было одним из первых и очень плодотворных приложений теории дислокаций.

Вначале образование зуба и площадки текучести в ОЦК металлах связывали с эффективной блокировкой дислокаций примесями. Известно, что в ОЦК решетке атомы примесей внедрения образуют не обладающие шаровой симметрией поля упругих напряжений и взаимодействуют с дислокациями всех типов, в том числе с чисто винтовыми. Уже при малых концентрациях [<10 -1 - 10 -2 % (ат.)] примеси (например, азот и углерод в железе) способны блокировать все дислокации, имеющиеся в металле до деформации. Тогда, по Коттреллу, для начала движения дислокаций и для начала пластического течения необходимо приложить напряжение, гораздо большее, чем это требуется для перемещения дислокаций, свободных от примесных атмосфер. Следовательно, вплоть до момента достижения верхнего предела текучести заблокированные дислокации не могут начать двигаться, и деформация идет упруго. После достижения σ тв по крайней мере часть этих дислокаций (расположенных в плоскости действия максимальных касательных напряжений) отрывается от своих атмосфер и начинает перемещаться, производя пластическую деформацию. Последующий спад напряжений - образование зуба текучести - происходит потому, что свободные от примесных атмосфер и более подвижные дислокации могут скользить некоторое время под действием меньших напряжений σ тн пока их торможение не вызовет начала обычного деформационного упрочнения.

Подтверждением правильности теории Коттрелла служат результаты следующих простых опытов. Если продеформировать железный образец, например до точки А (рис. 2.48), разгрузить его и тут же вновь растянуть, то зуба и площадки текучести не возникнет, потому что после предварительного растяжения в новом исходном состоянии образец содержал множество подвижных, свободных от примесных атмосфер дислокаций. Если теперь после разгрузки от точки А образец выдержать при комнатной или слегка повышенной температуре, т.е. дать время для конденсации примесей на дислокациях, то при новом растяжении на диаграмме опять появится зуб и площадка текучести.

Таким образом, теория Коттрелла связывает резкую текучесть с деформационным старением - закреплением дислокаций примесями.

Предположение Коттрелла, что после разблокировки пластическая деформация, по крайней мере вначале, осуществляется путем скольжения этих «старых», но теперь освобожденных от примесей дислокаций, оказалось не универсальным. Для ряда материалов установлено, что исходные дислокации могут быть настолько прочно закреплены, что их разблокировки не происходит и пластическая деформация на площадке текучести идет за счет движения вновь образовавшихся дислокаций. Кроме того, образование зуба и площадки текучести наблюдается у бездислокационных кристаллов - «усов». Следовательно, теория Коттрелла описывает лишь частный, хотя и важный, случай проявления резкой текучести.

Основой современной теории тезкой текучести, которую еще нельзя считать окончательно установившейся, является все то же положение, выдвинутое Коттреллом: зуб и площадка текучести обусловлены резким увеличением числа подвижных дислокаций в начале пластического течения. Это значит, что для их появления требуется выполнение двух условий: 1) в исходном образце число свободных дислокаций должно быть очень малым, и 2) оно должно иметь возможность быстро увеличиться по тому или иному механизму в самом начале пластической деформации.

Недостаток подвижных дислокаций в исходном образце может быть связан либо с высоким совершенством его субструктуры (например, в усах) либо с закреплением большинства имеющихся дислокаций. По Коттреллу, такое закрепление может быть достигнуто образованием примесных атмосфер. Возможны и другие способы закрепления, например частицами второй фазы.

Резко увеличиться число подвижных дислокаций может:

1) За счет разблокировки ранее закрепленных дислокаций (отрыв от примесных атмосфер, обход частиц поперечным скольжением и т.д.);

2) Путем образования новых дислокаций;

3) Путем их размножения в результате взаимодействия.

В поликристаллах предел текучести сильно зависит от размера зерна. Границы зерен служат эффективными барьерами для движущихся дислокаций. Чем мельче зерно, тем чаще встречаются эти барьеры на пути скользящих дислокаций и большие напряжения требуются для продолжения пластической деформации уже на начальных ее стадиях. В результате по мере измельчения зерна предел текучести возрастает. Многочисленные эксперименты показали, что нижний предел текучести

σ т.н = σ i + K y d -½ , (2.15)

где σ i и K y - константы материала при определенной температуре испытания и скорости деформирования; d - размер зерна (или субзерна при полигонизованной структуре).

Формула 2.15, называемая по имени ее первых авторов уравнением Петча - Холла, универсальна и хорошо описывает влияние размера зерна не только на σ т.н, но и на условный предел текучести и вообще любое напряжение в области равномерной деформации.

Физическая трактовка эмпирического уравнения (2.15) базируется на уже рассмотренных представлениях о природе резкой текучести. Константа σ i рассматривается как напряжение, необходимое для перемещения дислокаций внутри зерна, а слагаемое K y d -½ - как напряжение, требующееся для приведения в действие дислокационных источников в соседних зернах.

Величина σ i зависит от силы Пайерлса - Набарро и препятствий скольжению дислокаций (другие дислокации, инородные атомы, частицы второй фазы и т.д.). Таким образом, σ i - «напряжение трения» - компенсирует те силы, которые приходится преодолевать дислокациям при своем перемещении внутри зерна. Для экспериментального определения σ i можно использовать первичную диаграмму растяжения: величине σ i соответствует точка пересечения экстраполированной в область малых деформаций кривой растяжения за площадкой текучести с прямолинейным участком этой кривой (рис. 2.49, а ). Этот метод оценки σ i основан на представлении о том, что участок ius диаграммы растяжения есть результат поликристальности растягиваемого образца; если бы он был монокристаллом, то пластическое течение началось бы в точке i .

Рисунок 2.49. Определение напряжения течения σ i по диаграмме растяжения (а) и зависимости нижнего предела текучести от размера зерна (б).

Второй способ определения σ i - экстраполяция прямой σ т.н - d -½ до значения d -½ = 0 (см. рис. 2.49,б ). Здесь уже прямо предполагается, что σ i - предел текучести монокристалла с такой же внутризеренной структурой, как и поликристаллы.

Параметр K y характеризует наклон прямой σ т - d - ½ . По Коттреллу,

K y = σ d (2l) ½ ,

где σ d напряжение, необходимое для разблокировки дислокаций в соседнем зерне (например, отрыва от примесной атмосферы или от границы зерна); l - расстояние от границы зерна до ближайшего дислокационного источника.

Таким образом, K y определяет трудность передачи деформации от зерна к зерну.

Эффект резкой текучести зависит от температуры испытания. Ее изменение сказывается и на высоте зуба текучести, и на длине площадки, и, что самое главное, на величине нижнего (физического) предела текучести. С повышением температуры испытания высота зуба и длина площадки текучести обычно уменьшаются. Такой эффект, в частности, проявляется при растяжении ОЦК металлов. Исключением являются сплавы и интервалы температур, в которых нагрев приводит к усилению блокировки дислокаций или затруднению их генерирования (например, при старении или упорядочении).

Нижний предел текучести особенно резко снижается при таких температурах, когда существенно изменяется степень блокировки дислокаций. В ОЦК металлах, например, резкая температурная зависимость σ т.н наблюдается ниже 0,2 Т пл, что как раз и обуславливает их склонность к хрупкому разрушению при низких температурах (см. раздел 2.4). Неизбежность температурной зависимости σ тн вытекает из физического смысла его составляющих. Действительно, σ i должна зависеть от температуры, поскольку напряжения, необходимые для преодоления сил трения, падают с повышением температуры из-за облегчения обхода барьеров путем поперечного скольжения и переползания. Степень блокировки дислокаций, определяющая величину K y и, следовательно, слагаемого K y d -½ в формуле (2. 15), также должна уменьшаться при нагреве. Например, в ОЦК металлах это обусловлено размытием примесных атмосфер уже при низких температурах из-за высокой диффузионной подвижности примесей внедрения.

Условный предел текучести обычно слабее зависит от температуры, хотя и он закономерно снижается при нагреве чистых металлов и сплавов, в которых при испытании не проходит фазовых превращений. Если же такие превращения (особенно старение) имеют место, то характер изменения предела текучести с повышением температуры становится неоднозначным. В зависимости от изменений структуры здесь возможен и спад и подъем, и сложная зависимость от температуры. Например, повышение температуры растяжения предварительно закаленного сплава - пересыщенного твердого раствора приводит вначале к повышению предела текучести вплоть до какого-то максимума, соответствующего наибольшему количеству дисперсных когерентных выделений продуктов распада твердого раствора, идущего в процессе испытаний, а при дальнейшем повышении температуры σ 0,2 будет снижаться из-за потери когерентности частиц с матрицей и их коагуляции.

Предел прочности. После прохождения точки s на диаграмме растяжения (см. рис. 2.45) в образце идет интенсивная пластическая деформация, которая была ранее подробно рассмотрена. До точки “в” рабочая часть образца сохраняет первоначальную форму. Удлинение здесь равномерно распределяется по расчетной длине. В точке “в” эта макроравномерность пластической деформации нарушается. В какой-то части образца, обычно вблизи концентратора напряжений, который был уже в исходном состоянии или образовался при растяжении (чаще всего в середине расчетной длины), начинается локализация деформации. Ей соответствует местное сужение поперечного сечения образца - образование шейки.

Возможность значительной равномерной деформации и «оттягивание» момента начала образования шейки в пластичных материалах обусловлены деформационным упрочением. Если бы его не было, то шейка начала бы формироваться сразу же по достижении предела текучести. На стадии равномерной деформации увеличение напряжения течения из-за деформационного упрочнения полностью компенсируется удлинением и сужением расчетной части образца. Когда же прирост напряжения из-за уменьшения поперечного сечения становится больше прироста напряжения из-за деформационного упрочнения, равномерность деформации нарушается и образуется шейка.

Шейка развивается от точки “в“ вплоть до разрушения в точке k (см. рис. 2.45), одновременно снижается действующее на образец усилие. По максимальной нагрузке (P в, рис. 2.44, 2.45) на первичной диаграмме растяжения рассчитывают временное сопротивление (часто его называют пределом прочности или условным пределом прочности )

σ в = P b /F 0 .

Для материалов, разрушающихся с образованием шейки, σ в - это условное напряжение, характеризующее сопротивление максимальной равномерной деформации.

Предельную прочность таких материалов σ в не определяет. Это обусловлено двумя причинами. Во-первых, σ в значительно меньше истинного напряжения S в, действующего в образце в момент достижения точки “в”. К этому моменту относительное удлинение достигает уже 10-30 %, площадь поперечного сечения образца F в «F 0 . Поэтому

S в = P в / F в > σ в =P в / F 0 .

Но так называемый истинный предел прочности S в также не может служить характеристикой предельной прочности, поскольку за точкой “в” на диаграмме растяжения (см. рис. 2.45) истинное сопротивление деформации продолжает расти, хотя усилие падает. Дело в том, что это усилие на участке вk концентрируется на минимальном сечении образца в шейке, а площадь его уменьшается быстрее, чем усилие.

Рисунок 2. 50 - Диаграмма истинных напряжений при растяжении

Если перестроить первичную диаграмму растяжения в координатах S-e или S- Ψ(рис. 2.50), то окажется, что S непрерывно увеличивается по мере деформации вплоть до момента разрушения. Кривая на рис. 2.50. позволяет проводить строгий анализ деформационного упрочнения и прочностных свойств при растяжении. Диаграмма истинных напряжений (см. рис. 2.50) для материалов, разрушающихся с образованием шейки, обладает рядом интересных свойств. В частности, продолжение прямолинейного участка диаграммы за точку “в” до пересечения с осью напряжений позволяет примерно оценить величину σ в, а экстраполяция прямолинейного участка до точки c , соответствующей Ψ = 1 (100%) дает S c = 2S в.

Диаграмма на рис. 2.50 качественно отличается от ранее рассмотренных кривых деформационного упрочнения, поскольку при анализе последнего мы обсуждали только стадию равномерной деформации, на которой сохраняется схема одноосного растяжения, т.е. ранее анализировались диаграммы истинных напряжений, соответствующие II типу кривых.

На рис. 2.50 видно, что S в и тем более σ в намного меньше истинного сопротивления разрыву (S k =P k / F k ) определяемого как отношение усилия в момент разрушения к максимальной площади поперечного сечения образца в месте разрыва F k . Казалось бы, величина S k является лучшей характеристикой предельной прочности материала. Но и она условна. Расчет S k предполагает, что в момент разрушения в шейке действует схема одноосного растяжения, хотя на само деле там возникает объемное напряженное состояние, которое вообще нельзя охарактеризовать одним нормальным напряжением (именно поэтому сосредоточенная деформация не рассматривается в теориях деформационного упрочнения при одноосном растяжении). На самом деле, S k определяет лишь некое среднее продольное напряжение в момент разрушения.

Смысл и значение временного сопротивления, а также S в и S k существенно меняются при переходе от рассмотренной диаграммы растяжения (см. рис. 2.44, III ) к первым двум (см. рис. 2.44, I,II ). При отсутствии пластической деформации (см. рис. 2.44, I ) σ в ≈ S в ≈ S k . В этом случае максимальная перед разрушением нагрузка P в определяет так называемое действительное сопротивление отрыву или хрупкую прочность материала. Здесь σ в уже не условная, а имеющая определенный физический смысл характеристика, определяемая природой материала и условиями хрупкого разрушения.

Для относительно малопластичных материалов, дающих кривую растяжения, показанную на рис. 2.44, II , σ в - это условное напряжение в момент разрушения. Здесь S в = S k и достаточно строго характеризует предельную прочность материала, поскольку образец равномерно деформируется в условиях одноосного растяжения вплоть до разрыва. Разница в абсолютных значениях σ в и S в зависит от удлинения перед разрушением, прямой пропорциональной зависимости между ними нет.

Таким образом, в зависимости от типа и даже количественных характеристик диаграмм растяжения одного типа физический смысл σ в, S в и S k может значительно, а иногда и принципиально меняться. Все эти напряжения часто относят к разряду характеристик предельной прочности или сопротивления разрушению, хотя в ряде важных случаев σ в и S в на самом деле определяют сопротивление значительной пластической деформации, а не разрушению. Поэтому при сопоставлении σ в, S в и S k разных металлов и сплавов следует всегда учитывать конкретный смысл этих свойств для каждого материала в зависимости от вида его диаграммы растяжения.

Формулы, выведенные в § 2.13, справедливы только тогда, когда напряжения в материале, вызванные критической силой, не превышают предела пропорциональности, т.е. когда Это следует из того, что в основу вывода формул положено дифференциальное уравнение упругой линии, которым можно пользоваться лишь в пределах применимости закона Гука.

Подставляем в условие окрапц значение окр по формуле (13.13):

Из этого уравнения

(14.13)

Правая часть выражения (14.13) представляет собой то наименьшее значение гибкости стержня, при котором формула Эйлера еще применима, - это так называемая предельная гибкость :

Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня - его модуля упругости и предела пропорциональности.

Условие (14.13) применимости формул Эйлера с учетом выражения (15.13) можно представить в виде

Итак, формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня применима при условии, что его гибкость больше предельной.

Приведем значение для различных материалов.

Для стали и, следовательно,

Для дерева для чугуна Для стали с повышенным значением предельная гибкость уменьшается по выражению (15.13). В частности, для некоторых марок легированной стали .

При гибкости стержня, меньшей предельной, критическое напряжение, если определять его по формуле Эйлера, получается выше предела пропорциональности сгпц. Так, например, при гибкости стального стержня (из стали ) по формуле (13.13)

т.е. величина значительно больше не только предела пропорциональности, но также предела текучести и предела прочности (временного сопротивления).

Действительные критические силы и критические напряжения для стержней, гибкость которых ниже предельной, значительно меньше величин, определяемых по формуле Эйлера. Для таких стержней критические напряжения определяются по эмпирическим формулам.

Профессор Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинский предложил эмпирическую формулу критических напряжений для стержней, имеющих гибкость Я, меньшую предельной

(17.13)

где а и b - определяемые экспериментально коэффициенты, зависящие от свойств материала. Например, для стали

Формула (17.13) применима для стержней из малоуглеродистой стали при гибкости При гибкости напряжение считается примерно постоянным и равным пределу текучести.

При выводе формулы Эйлера предполагалось, что напряжения центрального сжатия, возникающие в поперечных сечениях стержня от действия критической силы а кр = Р /F, не превышают предел пропорциональности материала о пц. Если это условие не выполняется, то при определении критической силы нельзя пользоваться законом Гука, в предположении справедливости которого получено исходное дифференциальное уравнение (13.2). Таким образом, условие применимости формулы Эйлера в общем случае имеет вид

Обозначим через А, значение гибкости, при котором а ко = о пи:

Тогда условие применимости формулы Эйлера (13.16) можно представить в виде

Величина определяемая по формуле (13.17), называется предельной гибкостью. Стержни, для которых выполняется условие (13.18), называются стержнями большой гибкости.

Как видно из формулы (13.17), предельная гибкость зависит от свойств материала: модуля упругости и предела пропорциональности. Так как для стали Е = 2,1 10 5 МПа, то А, зависит от величины о пц, то есть от марки стали. Например, у некоторых распространенных в строительных конструкциях сталей марки ВСтЗ величина о пц составляет 200н-210 МПа, и по формуле (13.17) получается Aj = 100. Таким образом, для сталей указанных марок условием применимости формулы Эйлера можно считать

Величина предельной гибкости для дерева может быть принята Aj = 70; для чугуна = 80.

Теоретическое определение критических нагрузок при напряжениях, превышающих предел пропорциональности материала, достаточно сложно. В то же время имеется большое число экспериментальных исследований устойчивости стержней, работающих за пределом пропорциональности материала. Эти исследования показали, что при а кр о пц наблюдается значительное расхождение между экспериментальными и теоретическими значениями критических сил, вычисленных по формуле Эйлера. При этом формула Эйлера всегда дает завышенное значение критической силы.

На основании опытных данных различными авторами были предложены эмпирические формулы для вычисления критических напряжений за пределом пропорциональности материала. Наиболее простой является линейная зависимость, предложенная в начале XX века немецким ученым Л. Тетмайером и независимо от него профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф.С. Ясинским:

где а и b - эмпирические коэффициенты, зависящие от свойств материала стержня и имеющие размерность напряжения.

Для стали марки ВСтЗ с пределом пропорциональности а пц = 200 МПа и пределом текучести а т = 240 МПа получено а = 310 МПа, b = 1,14 МПа.

Для некоторых материалов при Х используются нелинейные зависимости. Так, например, для дерева (сосна, ель, лиственница) при X

Для чугуна при X

Формулой Тетмайера - Ясинского (13.20) можно пользоваться при условии, что критические напряжения, вычисленные по этой формуле, не превосходят предел текучести о т для пластичного материала и предел прочности при сжатии о вс для хрупкого материала. Обозначив в формуле (13.20) через Х 2 то значение гибкости, при котором а = а для пластичного или о = а для хрупкого

кр т кр вс

материала, можно записать условие применимости формулы Тет- майера - Ясинского в виде

где Л, определяется по формуле (13.17).

Стержни, для которых выполняется условие (13.23), называются стержнями средней гибкости.

С учетом приведенных выше значений о т,йи1) для стали марки ВСтЗ по формуле (13.20) получим Х 2 ~ 60, и условие (13.23) примет следующий вид

Стержни, у которых X называются стержнями малой гибкости. Они могут разрушиться не в результате потери устойчивости, а в результате потери прочности при центральном сжатии. В таком случае для стержней малой гибкости из пластичного и хрупкого материалов следует соответственно принять

На рис. 13.8 изображен график зависимости критических напряжений от гибкости для стали марки ВСтЗ с пределом пропорциональности а пц = 200 МПа и пределом текучести а т = 240 МПа. При X > 100 график о АХ) представляется гиперболой Эйлера ЛВ,

при 60 X ВС, при 0 X 60 - горизонтальной прямой CD. Для значений X 100 гипербола Эйлера изображена пунктирной линией. Из этого графика видно, что для стержней средней и малой гибкости формула Эйлера дает сильно завышенные значения критических напряжений.

Для стержней из пластичного материала при критических напряжениях ст, X величи- ну ст можно также определить с помощью квадратичной зависи-

где A,j - предельная гибкость, определяемая по формуле (13.17). График приведенной зависимости изображен на рис. 13.8 кривой BC { D, которая незначительно отклоняется от ломанной BCD.