Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Пирамида Тема урока:
Понятие пирамиды Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины), и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.
Высотой пирамиды Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из её вершины к плоскости основания.
Правильная пирамида Пирамидой называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а основание высоты (проекция вершины) совпадает с центром этого многоугольника.
Правильная пирамида Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая высоту. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из её вершины.
Треугольная правильная пирамида Треугольной правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник.
Четырёхугольная правильная пирамида Четырёхугольной правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой лежит квадрат.
Площадь поверхности и объём правильной пирамиды Боковая поверхность: , где – периметр основания, – боковое ребро. Полная поверхность: Объём: , где – площадь основания призмы, – высота.
Сечение пирамиды плоскостью Диагональным сечением пирамиды называется сечение, которое проходит через два боковых ребра, не лежащих в одной грани. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, - многоугольник, подобный многоугольнику основания. Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину, - треугольник.
Усеченная пирамида Усеченной пирамидой называется многогранник, который отсекается от пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания и пересекающей боковые ребра, а также размещен между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Усеченная пирамида Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки плоскости одного основания к плоскости другого основания. Замечания: Плоскость, параллельная основанию пирамиды, пересекая её, отсекает подобную пирамиду. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.
Правильная усеченная пирамида Усеченная пирамида называется правильной, если она получена пересечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной её основанию.
Свойства правильной усеченной пирамиды Основания – правильные многоугольники. Боковые грани – равные равнобокие трапеции. Отрезок, соединяющий центры оснований, - высота. Высота боковой грани называется апофемой.
Спасибо за внимание!
Слайд 2
Слайд 3
Многопрофильная гимназия №79 ОТКРЫТЫЙ УРОК «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПИРАМИДА И ЕЁ ПРОЕКЦИЯ» Учитель: Волкова Лидия Николаевна 2009г. Город Алматы
Слайд 4
Презентацию готовили
Дасиева Роза, Набоко Михаил, Ибрагимова Карина, Егизбаева Айнура, Асанова Эльвира, Ускенбаева Мадия.
Слайд 5
О слове пирамида.
Пирамида. Слово «пирамида»в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды в мире. Другая теория выводит этот термин из греческого слова «пирос» (рожь) – считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды.
Слайд 6
Что же такое пирамида?
Пирамида- многогранник, у которого основание- многоугольник, боковые грани- треугольники, имеющие общую вершину.
Слайд 7
Пирамиды: Полные Усеченные Неправильная Правильная
Слайд 8
От чего зависит вид пирамиды?
Вид пирамиды зависит от многоугольника, который лежит в основании.
Слайд 9
Проекция пирамиды
Пирамида треугольная
Слайд 10
Слайд 11
Слайд 12
Пирамида– это многогранник, одна из граней которого – произвольный n – угольник A1A2…An, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Этот n – угольник A1A2…An называется основанием пирамиды. Треугольные грани называются боковыми гранями. Общая вершина всех боковых граней называется вершиной пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания называются боковыми рёбрами. Объединение боковых граней пирамиды называется её боковой поверхностью. Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. O S C D В А ABCD –основание S – вершина SO – высота
Слайд 13
Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемойэтой пирамиды. Все апофемы равны друг другу. Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n-угольной. Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр задается четырьмя вершинами; грани тетраэдра – четыре треугольника. Тетраэдр называется правильным, если все его рёбра равны.
Слайд 14
Свойства пирамиды
· Все боковые рёбра равны между собой. · Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. · Все двугранные углы при основании равны. · Все плоские углы при вершине равны. · Все плоские углы при основании равны · Апофемы боковых граней одинаковы по длине. · В любую правильную пирамиду можно вписать сферу.
Слайд 15
Площадь пирамиды
Площадью полной поверхностипирамиды называется сумма площадей всех её граней. Sполн=Sбок+Sосн Площадь боковой поверхности пирамиды– сумма площадей её боковых граней. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sбок.пов.=1/2 * (Pосн* m), где m – апофема, Р – периметр основания
Слайд 16
Обьём пирамиды
Объём пирамиды V=(1/3)*Sосн*h, где S – площадь основания, h – высота пирамиды.
Слайд 17
Усечённая пирамида
Усечённая пирамида– это часть пирамиды, лежащая между основанием и параллельным основанию сечением. Усечённая пирамида является частным случаем пирамиды. Определение.
Слайд 18
Основанияусечённой пирамиды– основание исходной пирамиды и многоугольник, полученный при пересечении её плоскостью (A1A2…An и B1B2…Bn). Отрезки A1B1, A2B2, …, AnBn называются боковыми рёбрамиусечённой пирамиды. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции. Усечённую пирамиду с основаниями A1A2…An и B1B2…Bn обозначают так: A1A2…AnB1B2…Bn. Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называются апофемами. A1 A2 A3 An B1 B2 Bn O
Слайд 19
Свойства усечённой пирамиды.
1. Боковые рёбра и высота пирамиды делятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки. 2. В сечении получается многоугольник, подобный многоугольнику, лежащему в основании. 3. Площади сечения и основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.
Слайд 20
Площадь поверхностиправильнойусечённой пирамиды: S=(1/2)*m*(P+P1), где m – апофема, P- периметр оснований, P1- периметр боковой поверхности. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему: Sбок=1/2*(Рв+Рн)* m, где m – апофема, Рв, Рн – периметр верхнего и нижнего оснований Объёмусечённой пирамиды: V=(1/3)*h*(S1+√S1S2+S2), где S1, S2 – площади оснований. Площадь боковой грани: Sбок.гр.=1/2*m*(g+g1), гдеm – апофема, g, g1 – основаниябоковой грани.
Слайд 21
Плоские сечения пирамиды
Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через её вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды. A C D S B E F A C D S B ∆SDB – диагональное сечение пирамиды SABCD.
Слайд 22
Построить сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через прямую g и точку Е є пл.(SCD). K G H L M N F S B A C D E g Решение: 1. Проведем прямую CD, CD ∩ g ≡ F, F Є (SCD). 2. Проведем прямую FE, получим точки пересечения с ребрами пирамиды: SD ∩ FE ≡ H, SC ∩ FE ≡ G. 3. Построим прямую AD. AD ∩ g ≡ K, K Є (SAD). 4. Через точки K и H проведем прямую KH. KH∩SA≡L. 5. Построим прямую AВ, AВ ∩ g ≡ M, M Є (SAB). 6. Через точки M и L строим ML ∩ SB ≡ N. 7. Соединяем точки G, H, L, N. Сечение GHLM построено. Построение сечения.
Слайд 1
Презентация по теме «пирамида»
Слайд 2
исторические сведения о пирамиде
Египетские пирамиды – одно из семи чудес света. Что же такое пирамиды?
Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них - пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Самая большая из трех - пирамида Хеопса (зодчий Хемиун, 27 в. до н. э.). Ее высота была изначально 147 м, а длина стороны основания - 232 м.
Слайд 3
ПИРАМИДА
Многогранник, составленный из n-угольника АB…E и n-треугольников, называется пирамидой.
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды- сумма площадей ее боковых граней.
S полн.= S бок.+ Sосн
Слайд 4
Многоугольник АВ…Е называется основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Точка М называется вершиной пирамиды, а отрезки МА, МЕ, … , МВ- ее боковыми ребрами.
пирамида
Слайд 5
Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если её основание - правильный многоугольник, а отрезок PO, соединяющий вершину пирамиды с центром основания*, является её высотой.
PE – апофема пирамиды.
*Центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности.
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой.
Слайд 6
Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равнобедренными треугольниками.
Любое боковое ребро представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника A₁PO, одним катетом которого служит высота PO пирамиды, а другим – радиус описанной около основания окружности.
Правильная пирамида
Слайд 7
ТЕОРЕМА:
площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
S полн = ⅟₂ Pоснов * d
Слайд 8
Усечённая пирамида
Многогранник, гранями которого являются n-угольники A 1 A 2… A n и B 1 B 2… B n (нижнее и верхнее основание), расположенные в параллельных плоскостях, и n четырёхугольников A 1 A 2 B 2 B 1,
A 2 A 3 B 3 B 2,…,A n A 1 B 1 B n (боковые грани), называется усечённой пирамидой.
Отрезки A 1 B 1, A 2 B 2,…,A n B n называются боковыми рёбрами усечённой пирамиды.
Перпендикуляр CО, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усечённой пирамиды.
P
A 2
A 3
A 1
A n
B n
B1
B 2
B 3
C
Sбок = ⅟₂(P₁ + P₂) * d
«Параллелепипед 10 класс» - № 76. B. D1. Геометрия 10 класс. Диагонали параллелепипеда. Противоположные грани. Параллелепипед. Смежные грани. Докажите, что AC II A1C1 и BD II B1D1. A1. D.
«Аксиомы стереометрии» - МОУ «Гимназия № 22 г. Белгорода» ученица 10 «В» Табачная Евгения Учитель: Зуева Т.М. На картинке показаны два общепринятых изображения плоскости. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. 1.Понятия стереометрии 2. Изображение плоскости 3.Аксиомы стереометрии 4.Следствия из аксиом стереометрии. Обозначаются плоскости маленькими греческими буквами: a, b, g, ... Система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и трех аксиом стереометрии.
«Сечения параллелепипеда» - (MNK) ? (A’B’C’D’) = NK. МОУ гимназия №56. Урок - практикум в 10 классе Учитель математики Швенк А.В. (MNK) ? (ADD’A’) = MN. 4. 1. Вступительное слово учителя – 3 мин 2. Активизация знаний учащихся. Задачи урока. ? MNK- сечение параллелепипеда ABCDA’B’C’D’. Задание: построить сечение, проходящее через точки M, N, K.
«Тригонометрия 10 класс» - 10 класс. План урока: Удачи всем! Улыбнитесь! Домашнее задание. «Преобразование тригонометрических выражений». г.Нижневартовск 2010. Чтобы легче всем жилось, Чтоб решалось, чтоб моглось.
«Симметрия геометрических фигур» - Окружность имеет бесконечно много осей симметрии. Слово «симметрия» в переводе с греческого означает «одинаковость в расположении частей». Ромб имеет две оси симметрии. Цель исследования: Неразвернутый угол. Прямоугольник имеет две оси симметрии. Разносторонний треугольник. Как вы думаете, сколько осей симметрии имеет правильный шестиугольник? Ромб. Параллелограмм. Квадрат. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии.
«Чертеж пирамиды» - Воробьева Галина 10 класс. История появления пирамиды. Что такое пирамида? Пирамида и чертеж. История возникновения пирамиды. Построили ли пирамиду без чертежа? Цели исследования: Законы построения чертежа.
Выполнила учитель математики КОГОБУ «Центр дистанционного образования детей» Плетнева Светлана Викторовна
SABCDEF - пирамида
SK – высота пирамиды
S
SM – высота боковой грани
C
D
B
K
E
M
A
F
Свойство точки, равноудаленной от вершин многоугольника
Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от вершин многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, описанной около многоугольника.
М
В
Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр описанной около многоугольника окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от вершин многоугольника.
А
О
С
Пирамиды, в которых:
1) высота проходит через центр описанной около основания окружности.
2) Все боковые ребра равны
3) Все боковые ребра образуют равные углы с плоскостью основания
4) Все боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды
Свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника
Если точка, не лежащая в плоскости выпуклого многоугольника, равноудалена от сторон многоугольника, то основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, является центром окружности, вписанной в многоугольник.
S
B
N
A
O
Если прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника, проходит через центр вписанной в многоугольник окружности, то каждая точка этой прямой равноудалена от сторон многоугольника.
K
K
M
C
C
Пирамиды, в которых:
1) высота проходит через центр вписанной в основание окружности.
S
2) Все высоты боковых граней равны
3) Все двугранные углы при основании равны
B
4) Высота пирамиды образует равные углы с плоскостями всех боковых граней
N
A
O
K
K
5) Площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины
M
C
C
Если пирамида обладает хотя бы одним из перечисленных свойств, то она обладает и остальными.
Дано: АВС – прямоугольный треугольник ВС = 10 см – гипотенуза DB = DA = DC DO = 12см – высота пирамиды
Найти: AD
Решение:
Пирамиды, в которых одна или две боковые грани перпендикулярны плоскости основания
S
Если в пирамиде две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, то общее боковое ребро этих граней является высотой пирамиды.
B
S
S
A
C
B
B
Если в пирамиде плоскость одной из боковых граней перпендикулярна к плоскости основания, то высота пирамиды принадлежит плоскости этой боковой грани.
A
A
C
C
Правильная пирамида
Усеченная пирамида
В 1
С 1
А 1
В 1
О 1
А 1
D 1
С 1
В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 10 см и 6 см, а площадь диагонального сечения см 2 . Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
В 1
С 1
О 1
А 1
