busyChannelCount++;

p_currentCondit + = k * (i + 1);

if (busyChannelCount > 1)

(p_currentCondit++;)

return p_currentCondit + (int) QueueLength;

Зміна часу перебування СМО у станах із довжиною черги 1, 2,3,4.Це реалізується наступним програмним кодом:

if (queueLength > 0)

timeInQueue += timeStep;

if (queueLength > 1)

(timeInQueue += timeStep;)

Присутня така операція, як приміщення заявки на обслуговування вільний канал. Проглядаються, починаючи з першого, всі канали, коли виконується умовачасузакінченнямперенесення Req [ i ] <= 0 (канал вільний), до нього подається заявка, тобто. генерується час закінчення обслуговування заявки.

for (int i = 0; i< channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq [i]<= 0)

timeOfFinishProcessingReq [i] = GetServiceTime();

totalProcessingTime+= timeOfFinishProcessingReq [i];

Обслуговування заявок в каналах моделюється кодом:

for (int i = 0; i< channelCount; i++)

if (timeOfFinishProcessingReq [i] > 0)

timeOfFinishProcessingReq [i] -= timeStep;

Алгоритм методу імітаційного моделювання реалізовано мовою програмування C#.

3.3 Розрахунок показників ефективності СМО на основі результатів її імітаційного моделювання

Найбільш важливими є такі показники, як:

1) Ймовірність відмови у обслуговуванні заявки, тобто. ймовірність того, що заявка залишає систему не обслуженою. У нашому випадку заявці відмовляється в обслуговуванні, якщо всі 2 канали зайняті, і черга максимально заповнена (тобто 4 особи в черзі). Для знаходження ймовірності відмови розділимо час перебування СМО у стані з чергою 4 загальний час роботи системи.

2) Відносна пропускна здатність – це середня частка заявок, що надійшли, обслуговуються системою.

3) Абсолютна пропускна спроможність - це середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу.

4) Довжина черги, тобто. середня кількість заявок у черзі. Довжина черги дорівнює сумі творів числа осіб у черзі на ймовірність відповідного стану. Імовірності станів знайдемо як відношення часу знаходження СМО у цьому стані до загального часу роботи системи.

5) Середній час перебування заявки у черзі визначається формулою Літтла

6) Середня кількість зайнятих каналів визначається наступним чином:

7) Відсоток заявок, яким було відмовлено в обслуговуванні, перебуває за формулою

8) Відсоток обслужених заявок знаходиться за формулою

3.4 Статистична обробка результатів та їх порівняння з результатами аналітичного моделювання

Т.к. показники ефективності виходять у результаті моделювання СМО протягом кінцевого часу, вони містять випадкову компоненту. Тому для отримання більш надійних результатів потрібно провести їх статистичну обробку. З цією метою оцінимо довірчий інтервал для них за результатами 20 прогонів програми.

Величина потрапляє у довірчий інтервал, якщо виконується нерівність

, де

математичне очікування (середнє значення), що знаходиться за формулою

Виправлена ​​дисперсія,

,

N =20 - Число прогонів,

- Надійність. При і N =20 .

Результат роботи програми представлено на рис. 6.

Мал. 6. Вид програми

Для зручності порівняння результатів, отриманих різними методами моделювання, представимо їх у вигляді таблиці.

Таблиця 2.

З табл. 2 видно, що результати, одержані при аналітичному моделюванні СМО, потрапляють у довірчий інтервал, одержаний за результатами імітаційного моделювання. Тобто результати, отримані різними методами, узгоджуються.

Висновок

У цій роботі розглянуто основні методи моделювання СМО та розрахунку показників їхньої ефективності.

Проведено моделювання двоканальної СМО з максимальною довжиною черги рівною 4 за допомогою рівнянь Колмогорова, а також знайдено фінальні ймовірності станів системи. Розраховано показники її ефективності.

Проведено імітаційне моделювання роботи такої СМО. На мові програмування C# складено програму, що імітує її роботу. Проведено серію розрахунків, за результатами яких знайдено значення показників ефективності системи та виконано їх статистичну обробку.

Отримані під час імітаційного моделювання результати узгоджуються з результатами аналітичного моделювання.

Література

1. Вентцель Є.С. Дослідження операцій. - М.: Дрофа, 2004. - 208 с.

2. Волков І.К., Загоруйко О.О. Дослідження операцій. - М.: Вид.-во МДТУ ім. н.е. Баумана, 2002. - 435 с.

3. Волков І.К., Зуєв С.М., Цвєткова Г.М. Випадкові процеси. - М.: Вид.-во МДТУ ім. н.е. Баумана, 2000. - 447 с.

4. Гмурман В.Є. Керівництво до вирішення завдань з теорії ймовірностей та математичної статистики. - М.: Вища школа, 1979. - 400 с.

5. Івницький В.Л. Теорія мереж масового обслуговування. - М.: Фізматліт, 2004. - 772 с.

6. Дослідження операцій на економіці/ під ред. Н.Ш. Кремер. - М.: Юніті, 2004. - 407 с.

7. Таха Х.А. Введення у дослідження операцій. - М.: ВД «Вільямс», 2005. - 902 с.

8. Харін Ю.С., Малюгін В.І., Кирлиця В.П. та ін. Основи імітаційного та статистичного моделювання. - Мінськ: Дизайн ПРО, 1997. - 288 с.

Система масового обслуговування складається з таких елементів (рисунок 5.6).

1 - вхідний потіквимог ω( t) - сукупність вимог до СМО на проведення певних робіт (заправка, миття, ТО та ін.) або надання послуг (купівля виробів, деталей, матеріалів та ін.). Вхідний потік вимог може бути постійним та змінним.

Вимоги бувають однорідні (однакові види робіт чи послуг) та неоднорідні (різні види робіт чи послуг).

2 - черга –вимоги, що очікують на обслуговування. Черга оцінюється середньою довжиною r– числом об'єктів чи клієнтів, які очікують обслуговування.

Рисунок 5.6 – Загальна схема системи масового обслуговування

3 - обслуговуючі апарати(Канали обслуговування) - сукупність робочих місць, виконавців, обладнання, що здійснюють обслуговування вимог за певною технологією.

4 -вихідний потік вимогω’( t) – потік вимог, що пройшли СМО. У загальному випадку вихідний потік може складатися із вимог обслужених та необслужених. Приклад необслужених вимог: відсутність потрібної деталі для автомобіля, що у ремонті.

5- замикання(Можливе) СМО - стан системи, при якому вхідний потік вимог залежить від вихідного.

На автомобільному транспорті після обслуговування вимог (ТО, ремонт) автомобіль має бути технічно справним.

Системи масового обслуговування класифікуються в такий спосіб.

1 За обмеженнями на довжину черги:

СМО з втратами – вимога залишає СМО необслуженим, якщо на момент його надходження всі канали зайняті;

СМО без втрат - вимога займає чергу, навіть якщо всі канали
зайняті;

СМО з обмеженнями за довжиною черги mабо часу очікування: якщо існує обмеження на чергу, то знову надійшло ( m+1)-е вимога вибуває із системи необслуженим (наприклад, обмежена ємність накопичувального майданчика перед АЗС).

2 За кількістю каналів обслуговування п:

Одноканальні: n=1;

Багатоканальні n≥2.

3 За типом обслуговуючих каналів:

Однотипні (універсальні);

Різнотипні (спеціалізовані).

4 По порядку обслуговування:

Однофазові - обслуговування проводиться на одному апараті (посту);

Багатофазові – вимоги послідовно проходять кілька апаратів обслуговування (наприклад, потокові лінії ТО; конвеєрне складання автомобіля; лінія зовнішнього догляду: прибирання → миття → обсушування → полірування).

5 За пріоритетністю обслуговування:

Без пріоритету – вимоги обслуговуються у порядку їх надходження на СМО;

З пріоритетом – вимоги обслуговуються залежно від присвоєного їм під час надходження рангу пріоритетності (наприклад, заправка автомобілів швидкої допомоги на АЗС; першочерговий ремонт на АТП автомобілів, які приносять найбільший прибуток на перевезеннях).

6 За величиною вхідного потоку вимог:

З необмеженим вхідним потоком;

З обмеженим вхідним потоком (наприклад, у разі попереднього запису на певні види робіт та послуг).

7 За структурою СМО:

Замкнуті – вхідний потік вимог за інших рівних умов залежить від числа раніше обслуговуваних вимог (комплексне АТП, що обслуговує лише свої автомобілі ( 5 на малюнку 5.6));

Відкриті – вхідний потік вимог залежить від кількості раніше обслужених: АЗС загального користування, магазин із продажу запасних частин.

8 По взаємозв'язку обслуговуючих апаратів:

З взаємодопомогою – пропускна здатність апаратів непостійна і залежить від зайнятості інших апаратів: бригадне обслуговування кількох постів СТО; використання «ковзаючих» робітників;

Без взаємодопомоги – пропускна здатність апарату залежить від роботи інших апаратів СМО.

Щодо технічної експлуатації автомобілів знаходять поширення замкнуті та відкриті, одно- та багатоканальні СМО, з однотипними або спеціалізованими обслуговуючими апаратами, з одно- або багатофазовим обслуговуванням, без втрат або з обмеженням на довжину черги або на час перебування в ній.

Як показники ефективності роботи СМО використовують наведені нижче параметри.

Інтенсивність обслуговування

де - параметр потоку вимог.

показує кількість вимог, які у одиницю часу, тобто.

де g- .

Відносна пропускна здатністьвизначає частку обслужених вимог від їх загальної кількості.

Імовірність того,що всі пости вільні Р 0 , характеризує такий стан системи, у якому всі об'єкти справні не вимагають проведення технічних впливів, тобто. вимоги відсутні.

Ймовірність відмови в обслуговуванні Рвідк має сенс для СМО з втратами та з обмеженням по довжині черги або часу перебування в ній. Вона вказує на частку «втрачених» для системи вимог.

Роч визначає такий стан системи, при якому всі обслуговуючі апарати зайняті, і наступна вимога «встає» в чергу з кількістю очікуваних вимог r.

Залежності визначення названих параметрів функціонування СМО визначаються її структурою.

де nзан - .

Час зв'язку вимоги із системою:

СМО із втратами

СМО без втрат

де З 1 - вартість простою автомобіля у черзі;

r- Середня довжина черги;

З 2 - вартість простою обслуговуючого каналу;

nсн - кількість простоюючих (вільних) каналів;

tож - середній час перебування у черзі.

Через випадковість вхідного потоку вимог і тривалості їх виконання завжди є якась середня кількість автомобілів, що простоюють. Тому потрібно так розподілити кількість обслуговуючих апаратів (постів, робочих місць, виконавців) за різними підсистемами, щоб І = min. Цей клас завдань має справу з дискретним зміною параметрів, оскільки кількість апаратів може змінюватися лише дискретним чином. Тому при аналізі системи забезпечення працездатності автомобілів використовуються методи дослідження операцій, теорії масового обслуговування, лінійного, нелінійного та динамічного програмування та імітаційного моделювання.

приклад.Станція технічного обслуговування має одну посаду діагностування ( п= 1). Довжина черги обмежена двома автомобілями ( т= 2). Визначити параметри ефективності роботи діагностичного посту, якщо інтенсивність потоку вимог на діагностування в середньому А=2 треб./ч, тривалість діагностування tд = 0,4 год.

Інтенсивність діагностування μ=1/0,4=2,5.

Наведена густина потоку ρ=2/2,5=0,8.

Імовірність того, що піст вільний,

P 0 =(1-ρ)/(1-ρ m +2)=(1-0,8)/(1-0,8 4)=0,339.

Ймовірність утворення черги

Pоч =ρ 2 Р 0 =0,8 2 0,339=0,217.

Ймовірність відмови в обслуговуванні

Pвідк = ρ m+1 (1-ρ)/(1-ρ m +2)=0,8 3 (1-0,8)/(1-0,84)=0,173.

Відносна пропускна спроможність

g=1-Pвідк = 1-0,173 = 0,827.

Абсолютна пропускна спроможність

А=2 0,827=1,654 треб./ч.

Середня кількість зайнятих постів або ймовірність завантаження посту

nзан =(ρ-ρ m+2)/(1-ρ m +2)=(0,8-0,8 4)/(1-0,8 4)=0,661=1-P 0 .

Середня кількість вимог, що знаходяться у черзі,

Середній час знаходження вимоги у черзі

tож = r/ω=0,564/2=0,282 год.

приклад.На автотранспортному підприємстві є одна посада діагностування ( п= 1). В даному випадку довжина черги практично необмежена. Визначити параметри ефективності роботи діагностичного поста, якщо вартість простою автомобілів у черзі становить З 1 = 20 ре (розрахункових одиниць) за зміну, а вартість простою постів З 2 = 15 ре Інші вихідні дані ті ж, що й для попереднього прикладу.

Імовірність того, що піст вільний

P 0 = 1-ρ = 1-0,8 = 0,2.

Ймовірність утворення черги

Pоч =ρ 2 Р 0 =0,8 2 0,2=0,128.

Відносна пропускна спроможність g=1, оскільки всі намічені автомобілі пройдуть через діагностичну посаду.

Абсолютна пропускна спроможність А=ω=2 треб./ч.

Середня кількість зайнятих постів nзан = ρ = 0,8.

r= ρ 2 / (1-ρ) = 0,8 2 / (1-0,8) = 3,2.

Середній час очікування у черзі

tож = ρ 2 / (1-ρ) / μ = 0,8 2 / (1-0,8) / 2,5 = 1,6.

Недоліки від функціонування системи

І=З 1 r+З 2 nсн + ( З 1 +C 2)ρ=20 3,2+15 0,2+(20+15) 0,8=95,0 ре/зміну.

приклад.На тому автотранспортному підприємстві кількість постів діагностування збільшено до двох ( n=2), тобто. створено багатоканальну систему. Так як для створення другого посту необхідні капіталовкладення (площі, обладнання тощо), то ціна простою засобів обслуговування збільшується до С’ 1 = 22 ре. Визначити параметри ефективності роботи системи діагностування. Інші вихідні дані ті ж, що для попереднього прикладу.

Інтенсивність діагностування та наведена щільність потоку залишаються тими самими: μ=2,5, ρ=0,8.

Імовірність того, що обидва пости вільні,

Р 0 =1:
=0,294.

Ймовірність утворення черги

Pоч =ρ n Р 0 /n!=0,8 2 0,294/2=0,094,

тобто. на 37% нижче, ніж у попередньому прикладі.

Відносна пропускна спроможність g=1, оскільки всі автомобілі пройдуть через діагностичні пости.

Абсолютна пропускна спроможність А=2 треб./ч.

Середня кількість зайнятих постів nзан = ρ = 0,8.

Середня кількість вимог, що перебувають у черзі,

r=ρ Pоч /( n-ρ) = 0,8 2 0,094 / (2-0,8) = 0,063.

Середній час перебування у черзі

tож = Pоч /( n-ρ)/μ=0,094/(2-0,8)/2,5=0,031.

Недоліки від функціонування системи

І=З 1 r+З 2 nсн + ( З 1 +C 2)ρ=20 0,063+22 1,2+(20+22) 0,8=61,26 ре/зміну,

тобто. в 1,55 рази нижче, ніж за тих же умов для одного діагностичного посту, головним чином за рахунок скорочення черги автомобілів на діагностику та часу очікування автомобілів більш ніж у 50 разів. Отже, будівництво другого діагностичного посту в умовах доцільно. Використовуючи формулу (5.18) із умови І 1 =І 2 , можна оцінити граничні значення ціни простою засобів обслуговування при будівництві та оснащенні другого діагностичного посту, що у розглянутому прикладі становить C 2 ін =39 ре.