Graf závislosti dráhy na čase pre rovnomerný pohyb. Stanovenie kinematických charakteristík pohybu pomocou grafov

1. 
   Aký druh pohybu sa nazýva rovnomerný?
2. 
   čo je rýchlosť?
3. 
   Aký je vzorec pre rýchlosť rovnomerného lineárneho pohybu?
4. 
   V akých jednotkách sa meria rýchlosť?
5. 
   Aká je rovnica rovnomerného priamočiareho pohybu?
6. 
   Ako zistiť čas pohybu telesa z pohybovej rovnice?
7. 
   Pohybová rovnica je s = 2,5t (m). Aké informácie môžeme získať z tohto záznamu?

R
jesť úlohy:

Z
úloha 1.

Pomocou grafu dráhy (obr. 3) určte rýchlosť telesa.

Úloha 2.

Pomocou grafu rýchlosti (obr. 4) určte vzdialenosť, ktorú teleso prejde za 6 s. Ako znázorniť číselnú hodnotu cesty pomocou grafu rýchlosti?

Z
šťastie 3.

Rýchlosť tela je 20 m/s. Nakreslite graf závislosti rýchlosti od času. Vyberte si vlastné jednotky mierky.

Z
5 cm
problém 4.

D
Pri priamom a rovnomernom pohybe auto prešlo 240 km za 3 hodiny. Nakreslite graf závislosti cesty od času. Vypočítajte rýchlosť auta a nakreslite graf závislosti rýchlosti od času.

Úloha 5.

Aká je rýchlosť člna, ktorého graf pohybu je znázornený na obr. 5?

Úloha 6.

Podľa grafov pohybov tela (obr. 6) možno konštatovať, že:

a) telesá sa pohybujú po sklíčkach rôznych sklonov;

b) že rýchlosti oboch telies sú rovnaké;

V
) rýchlosť prvého telesa je 2,5-krát menšia ako rýchlosť druhého telesa;

d) rýchlosť prvého telesa je 2,5-krát väčšia ako rýchlosť druhého telesa.

Zostrojte grafy rýchlosti pohybu telies.

Úloha 7.

Pri konštantnej rýchlosti chodec prešiel za hodinu 5,4 km a cyklista 200 m za 20 s. Zostrojte v jednej súradnicovej sústave: a) grafy rýchlosti menovaných telies; b) grafy dráhy za 20 s pohybu.

N
Obrázok 7 ukazuje grafy dráhy troch telies v závislosti od času. Ako sa tieto telá pohybovali? Určte rýchlosť pohybu každého telesa, nakreslite grafy rýchlosti υ 1, υ 2, υ 3 telies v závislosti od času.

Úloha 9.

Obrázok 8 znázorňuje graf závislosti dráhy od času. Ako sa telo pohybovalo počas pohybu? Určte vzdialenosť s prejdenú telesom a rýchlosť υ 1, υ 2, υ 3 telesá vo všetkých oblastiach pohybu.

Problém 10.

Pomocou grafu rýchlosti pohybu telesa (obr. 9) možno tvrdiť, že dráha s 1 prejdená v prvých troch sekundách a dráha s 2 prejdená v posledných troch sekundách súvisia vzťahom:

a) s2 = 0,5 s1;

b) s2 = 1,5 s1;

d) s2 = 3 s1.

Problém 11.

Zjednodušený graf rýchlosti υ auta je na obrázku 10. Popíšte pohyb auta. Koľko ciest prejde auto v každom úseku cesty? Aké detaily v grafe chýbajú?

Problém 12.

Pomocou grafu rýchlosti pohybu telesa (obr. 11) je možné dokázať, že polovicu celej dráhy prejde teleso:

a) do konca 10. sekundy;

b) do konca 13. sekundy;

c) do konca 18. sekundy;

d) do konca 20. sekundy.

1. 
   12 m;
2. 
   9 m;
3. 
   6 m;
4. 
   3 m.

1. 
   Pomocou grafu (obr. 12) určte rýchlosť pohybu 3 s od začiatku pohybu.

1. 
   27 m/s;
2. 
   12 m/s;
3. 
   3 m/s;
4. 
   0 m/s.

Veda nikdy nevyrieši otázku bez toho, aby nastolila tucet nových.

George Bernard Shaw

KONTROLNÝ LIST

Vzdelávací prvok	Odpoveď	Body	Výsledok
Riešenie problémov	1. v = 10 m/s 2. s= 30 m , 5. v ≈ 333,3 m/min ≈5,5 m/s 9. s = 54 m, v 1 = 3 m/s, v 2 = 0 pani, v 3 = 6 pani, v 4 = 0 pani 11. s 1 = 50 m – uniforma, s 2 = 7 5 m – uniforma, s 3 = 0 m – nepohol sa, s 4 = 38 m – nie jednotný.	2 4 5 5 8	Dajte si konečné hodnotenie: 37-71 bodov – „výborne“ 17-36 bodov – „dobré“; 6-16 bodov – „prejde“; ≤5 bodov – „nevyhovie“. Odovzdajte kontrolný zoznam učiteľovi. STUPEŇ ↓
Deň voľna ovládanie	1. g 3. v 5. 3 krát	2
Celkom:		71

Horace

Človek, ktorý zasiahne cieľ, je talent; človek, ktorý zasiahne neviditeľný cieľ, je génius.

Arthur Schopenhauer

DIFERENCIOVANÉ DOMÁCE ÚLOHY

Ak je známa trajektória pohybu bodu, potom závislosť dráhy, ktorú bod prejde, od uplynutého časového obdobia poskytuje úplný popis tohto pohybu. Videli sme, že pre rovnomerný pohyb možno takúto závislosť zadať vo forme vzorca (9.2). Vzťah medzi a pre jednotlivé momentyčas je možné zadať aj vo forme tabuľky obsahujúcej zodpovedajúce hodnoty časového obdobia a prejdenej vzdialenosti. Predpokladajme, že rýchlosť nejakého rovnomerného pohybu je 2 m/s. Vzorec (9.2) má v tomto prípade tvar . Urobme si tabuľku cesty a času takéhoto pohybu:

Závislosť jednej veličiny na druhej je často vhodné znázorniť nie pomocou vzorcov alebo tabuliek, ale pomocou grafov, ktoré jasnejšie zobrazujú obraz zmien premenných veličín a môžu uľahčiť výpočty. Zostavme graf prejdenej vzdialenosti v závislosti od času pre príslušný pohyb. Aby ste to urobili, vezmite dve navzájom kolmé priamky - súradnicové osi; Jednu z nich (ose x) nazveme časovou osou a druhú (os ordináta) budeme volať os cesty. Zvoľme si mierky na zobrazenie časových intervalov a dráh a vezmime priesečník osí ako počiatočný moment a ako počiatočný bod na trajektórii. Na osi vynesme hodnoty času a prejdenej vzdialenosti pre uvažovaný pohyb (obr. 18). Aby sme „naviazali“ hodnoty prejdenej vzdialenosti na časové okamihy, nakreslíme kolmice na osi z príslušných bodov na osiach (napríklad body 3 s a 6 m). Priesečník kolmice zodpovedá súčasne obom veličinám: dráhe a momentu, a tak sa dosiahne „spojenie“. Rovnaká konštrukcia môže byť vykonaná pre akékoľvek ďalšie body v čase a zodpovedajúce cesty, pričom pre každú takúto dvojicu hodnôt času - cesty sa získa jeden bod na grafe. Na obr. 18 sa robí takáto konštrukcia, pričom sa oba riadky tabuľky nahrádzajú jedným radom bodov. Ak by sa takáto konštrukcia vykonala pre všetky body v čase, potom by sa namiesto jednotlivých bodov získala plná čiara (zobrazená aj na obrázku). Táto čiara sa nazýva graf cesty verzus čas alebo v skratke graf cesty.

Ryža. 18. Graf dráhy rovnomerného pohybu rýchlosťou 2 m/s

Ryža. 19. Na cvičenie 12.1

V našom prípade sa graf cesty ukázal ako priamka. Dá sa ukázať, že graf dráhy rovnomerného pohybu je vždy priamka; a naopak: ak je graf závislosti dráhy na čase priamka, potom je pohyb rovnomerný.

Opakovaním konštrukcie pre inú rýchlosť zistíme, že body grafu pre vyššie rýchlosti ležia vyššie ako zodpovedajúce body grafu pre nižšie rýchlosti (obr. 20). Čím väčšia je teda rýchlosť rovnomerného pohybu, tým je graf priamočiarej dráhy strmší, t.j. čím väčší je uhol, ktorý zviera s časovou osou.

Ryža. 20. Grafy dráhy rovnomerných pohybov s rýchlosťami 2 a 3 m/s

Ryža. 21. Graf rovnakého pohybu ako na Obr. 18, nakreslený v inej mierke

Sklon grafu závisí samozrejme nielen od číselnej hodnoty rýchlosti, ale aj od voľby časovej a dĺžkovej stupnice. Napríklad graf znázornený na obr. 21 udáva priebeh závislosti od času pre rovnaký pohyb ako graf na obr. 18, hoci má iný sklon. Odtiaľ je jasné, že porovnávať pohyby podľa sklonu grafov je možné len vtedy, ak sú nakreslené v rovnakej mierke.

Pomocou grafov ciest môžete jednoducho vyriešiť rôzne pohybové problémy. Napríklad na obr. 18 prerušovanými čiarami znázorňuje konštrukcie potrebné na vyriešenie nasledujúcich úloh pre daný pohyb: a) nájdite prejdenú dráhu za 3,5 s; b) nájdite čas potrebný na prejdenie 9 m Na obrázku sú odpovede nájdené graficky (prerušované čiary): a) 7 m; b) 4,5 s.

Na grafoch popisujúcich rovnomerný priamočiary pohyb možno súradnicu pohybujúceho sa bodu vykresliť pozdĺž osi y namiesto dráhy. Tento popis otvára veľké možnosti. Najmä umožňuje rozlíšiť smer pohybu vzhľadom na os. Okrem toho, ak sa počiatok času považuje za nulový, je možné ukázať pohyb bodu v skorších časových okamihoch, čo by sa malo považovať za negatívne.

Ryža. 22. Grafy pohybov s rovnakou rýchlosťou, ale v rôznych počiatočných polohách pohybujúceho sa bodu

Ryža. 23. Grafy viacerých pohybov so zápornými rýchlosťami

Napríklad na obr. 22 priamka I je graf pohybu prebiehajúceho pri kladnej rýchlosti 4 m/s (t.j. v smere osi), pričom v počiatočnom momente bol pohybujúci sa bod v bode so súradnicou m. Obrázok ukazuje graf pohybu, ktorý nastáva rovnakou rýchlosťou, ale pri ktorej je v počiatočnom momente pohybujúci sa bod v bode so súradnicou (čiara II). Rovno. III zodpovedá prípadu, kedy sa pohybujúci bod nachádzal v bode so súradnicou m. Napokon priamka IV opisuje pohyb v prípade, keď mal pohybujúci sa bod súradnicu v okamihu c.

Vidíme, že sklony všetkých štyroch grafov sú rovnaké: sklon závisí iba od rýchlosti pohybujúceho sa bodu a nie od jeho počiatočná poloha. Pri zmene počiatočnej polohy sa celý graf jednoducho prenesie rovnobežne so sebou pozdĺž osi nahor alebo nadol v príslušnej vzdialenosti.

Grafy pohybov vyskytujúcich sa pri záporných rýchlostiach (t. j. v smere opačnom k ​​smeru osi) sú znázornené na obr. 23. Sú rovné, naklonené nadol. Pri takýchto pohyboch sa súradnica bodu časom znižuje., mal súradnice

Dráhové grafy možno zostrojiť aj pre prípady, v ktorých sa teleso pohybuje rovnomerne počas určitého časového obdobia, potom sa pohybuje rovnomerne, ale inou rýchlosťou počas ďalšieho časového obdobia, potom opäť mení rýchlosť atď. Napríklad na obr. 26 je znázornený pohybový graf, v ktorom sa teleso pohybovalo počas prvej hodiny rýchlosťou 20 km/h, počas druhej hodiny rýchlosťou 40 km/h a počas tretej hodiny rýchlosťou 15 km/h.

Cvičenie: 12.8. Zostrojte graf dráhy pohybu, v ktorej malo teleso v po sebe nasledujúcich hodinových intervaloch rýchlosti 10, -5, 0, 2, -7 km/h. Aký je celkový posun tela?

Pozrime sa bližšie na najnázornejší spôsob, ako opísať pohyb – graficky – na príklade rovnomerného priamočiareho pohybu.

Graf rýchlostného modulu

Pri rovnomernom priamočiarom pohybe rýchlosť v x = konšt. V dôsledku toho sa jeho modul v = const, t.j. v priebehu času nemení. Graf rýchlostného modulu v závislosti od času 1 je priamka AB, rovnobežná s časovou osou a umiestnená nad touto osou, keďže v > O (obr. 1.9).

Ryža. 1.9

Plocha obdĺžnika OABC, na obrázku vytieňovaná, sa číselne rovná dráhe, ktorú telo prejde za čas t. Koniec koncov, strana OA v určitej mierke je rýchlostný modul v a strana OS je čas pohybu t, preto s = vt.

Graf rýchlosti

Na rozdiel od rýchlostného modulu môže byť rýchlosť určená výrazom (1.4.1) kladná alebo záporná. Preto môže byť grafom rýchlosti v x oproti času t buď priamka BC, alebo priamka KF (obr. 1.10).

Ryža. 1.10

Obe čiary sú rovnobežné s časovou osou. Priamka BC zodpovedá kladnej hodnote rýchlosti (v 1x > 0) a priamka KF zápornej hodnote (v 2x< 0).

Plochy obdĺžnikov OBCD a OEFK, vytieňované na obrázku, sa číselne rovnajú zodpovedajúcim zmenám súradníc pohybujúcich sa telies počas ich pohybu. Keďže v 1x > O, zmena súradnice prvého telesa Ax 1 = v 1x t 1 je kladná. Preto je oblasti obdĺžnika OBCD priradené kladné znamienko. Rýchlosť druhého telesa je záporná: v 2x< 0. Поэтому отрицательным будет и изменение координаты Ах 2 = v 2x t 2 . В этом случае изменение координаты численно равно площади лежащего ниже оси времени прямоугольника OEFK, взятой со знаком «минус».

Graf cesty

Pri rovnomernom priamočiarom pohybe je dráha priamo úmerná času, keďže rýchlostný modul v = const: s = vt. V dôsledku toho je graf vyjadrujúci závislosť dráhy od času priamkou pochádzajúcou z počiatku súradníc (s(0) = 0). Pamätajte, že dráha nikdy nie je negatívna a nemôže sa pri pohybe znižovať. Čím väčší je modul rýchlosti, tým väčší je uhol grafu s časovou osou.

Obrázok 1.11 ukazuje grafy dráhy 1 a 2 pre dve pohybujúce sa telesá. Keďže za 2 s prešlo prvé teleso vzdialenosť 1 m, veľkosť rýchlosti prvého telesa je v 1 = 0,5 m/s.

Ryža. 1.11

Modul rýchlosti druhého telesa je rovný v 2 = 2 m/s, keďže za 1 s prešlo teleso vzdialenosť 2 m.

Aby bolo možné určiť dráhu, ktorú telo prešlo za určité časové obdobie z grafu závislosti dráhy na čase, je potrebné zostrojiť kolmicu z bodu na časovej osi zodpovedajúceho koncu intervalu, kým sa nepretne s grafu a potom z tohto bodu spustite kolmicu na os s. Bod jej priesečníka s touto osou bude hodnotou cesty v tento momentčas.

Súradnice grafu

Keďže súradnica pre rovnomerný priamočiary pohyb je lineárna funkciačas x = x 0 + v x t, potom je graf závislosti súradnice na čase priamka.

Obrázok 1.12 zobrazuje grafy súradníc v závislosti od času pre tri prípady. Priama 1 zodpovedá prípadu pohybu pri x 01 = 0, v 1x > 0; priamka 2 – prípad, keď x 02< 0, v 2x >0; a priamka 3 - prípad, keď x 03 > 0, v 3x< 0. Скорость v 2x больше, чем v 1x .

Ryža. 1.12

Pozrime sa, aké informácie možno vytiahnuť z AB grafu rovnomerného pohybu telesa (obr. 1.13).

Ryža. 1.13

V počiatočnom časovom okamihu (t 0 = 0) malo teleso súradnicu x 0 = 3 m, v čase t 1 = 6 s bola súradnica telesa x 1 = 0, t.j. bolo v počiatku. súradníc a v okamihu t 2 = 9 s sa teleso nachádzalo na osi X v bode so súradnicou x 2 = -1,5 m. Celý tento čas sa teleso pohybovalo proti kladnému smeru osi X.

Rýchlosť telesa je v x = = -0,5 m/s a rýchlostný modul v = 0,5 m/s.

Upozorňujeme, že z grafu závislosti x(t) môžete posúdiť „minulosť“ v pohybe tela, t.j. polohu tela môžete nájsť pred začiatkom počítania času za predpokladu, že pred týmto momentom pohyboval sa rovnomerne a priamočiaro z rovnakej rýchlosti. Časové okamihy pred začiatkom odpočítavania sa považujú za negatívne. Podľa obrázku 1.13 malo teleso 3 s pred začiatkom počítania času súradnicu 4,5 m.

1 V budúcnosti budeme pre stručnosť často hovoriť: „graf rýchlostného modulu“, „graf projekcie rýchlosti“ atď.