На практика постоянно възникват ситуации, когато даден резултат може да бъде постигнат не по един, а по много различни начини. Отделно лице може да се окаже в подобна ситуация, например, когато взема решение за разпределението на своите разходи, и цяло предприятие или дори индустрия, ако е необходимо да се определи как да се използват ресурсите, с които разполагат, за да постигане на максимална продукция и, накрая, национална икономика като цяло. Естествено, при голям брой решения трябва да се избере най-доброто.
Успехът на решаването на по-голямата част от икономическите проблеми зависи от най-добрия и най-печеливш начин за използване на ресурсите. И крайният резултат от дейността ще зависи от това как се разпределят тези, като правило, ограничени ресурси.
Същността на методите за оптимизация (оптимално програмиране) е въз основа на наличието на определени ресурси да се избере метод за тяхното използване (разпределение), който ще осигури максимума или минимума на интересуващия ви индикатор.
Необходимо условие за използване на оптимален подход към планирането (принцип на оптималност) е гъвкавостта и алтернативните производствени и икономически ситуации, при които трябва да се вземат планови и управленски решения. Точно такива ситуации, като правило, представляват ежедневната практика на икономическия субект (избор на производствена програма, привързване към доставчици, маршрутизиране, рязане на материали, подготовка на смеси).
По този начин оптималното програмиране осигурява успешно решение на редица екстремни проблеми при планирането на производството. В областта на макроикономическия анализ, прогнозиране и планиране оптималното програмиране ви позволява да изберете вариант на националния икономически план (програма за развитие), характеризиращ се с оптималното съотношение на потребление и спестявания (натрупвания), оптималния дял на промишлените инвестиции в национален доход, оптималното съотношение на коефициента на растеж и коефициента на рентабилност на националната икономика и др. d.
Оптималното програмиране осигурява получаването на практически ценни резултати, тъй като по своята същност е напълно съобразено с естеството на изучаваните технико-икономически процеси и явления. От математико-статистическа гледна точка този метод е приложим само за онези явления, които се изразяват с положителни величини и в своята съвкупност образуват обединение на взаимозависими, но качествено различни величини. Тези условия, като правило, съответстват на величините, които характеризират икономическите явления. Икономическият изследовател винаги има пред себе си определен набор от различни видове положителни величини. При решаването на задачи за оптимизация икономистът винаги се занимава не с една, а с няколко взаимозависими величини или фактори.
Оптималното програмиране може да бъде приложено само към онези проблеми, при които оптималният резултат се постига само под формата на точно формулирани цели и при добре дефинирани ограничения, обикновено произтичащи от наличните ресурси (производствен капацитет, суровини, трудови ресурси и др.). Условията на проблема обикновено включват някаква математически формулирана система от взаимозависими фактори, ресурси и условия, които ограничават естеството на тяхното използване.
Проблемът става разрешим, когато в него се въведат определени оценки както за взаимозависимите фактори, така и за очакваните резултати. Следователно оптималността на резултата от програмен проблем е относителна. Този резултат е оптимален само от гледна точка на критериите, по които се оценява и въведените в проблема ограничения.
Въз основа на горното всеки проблем с оптималното програмиране се характеризира със следните три точки:
1) наличието на система от взаимозависими фактори;
2) строго определен критерий за оценка на оптималността;
3) точно формулиране на условията, ограничаващи използването на наличните ресурси или фактори.
От много възможни варианти се избира алтернативна комбинация, която отговаря на всички въведени в задачата условия и осигурява минималната или максималната стойност на избрания критерий за оптималност. Решението на проблема се постига чрез използване на определена математическа процедура, която се състои в последователно приближаване на рационални варианти, съответстващи на избраната комбинация от фактори, до един оптимален план.
Математически това може да се сведе до намиране на екстремната стойност на някаква функция, тоест до проблем като:
Намерете max (min) f(x), при условие че променливата x (точка x) преминава през дадено множество X:
f(x) ® max (min), x I Х (4.1)
Дефинираният по този начин проблем се нарича оптимизационен проблем. Множеството X се нарича допустимо множество на дадена задача, а функцията f(x) се нарича целева функция.
И така, задачата за оптимизация е тази, която се състои в избора сред определен набор от допустими (т.е. позволени от обстоятелствата на случая) решения (X) онези решения (x), които в един или друг смисъл могат да бъдат квалифицирани като оптимални. При това допустимостта на всяко решение се разбира в смисъла на възможността за действителното му съществуване, а оптималността – в смисъла на неговата целесъобразност.
Много зависи от формата, в която е посочено допустимото множество X. В много случаи това се прави с помощта на система от неравенства (равенства):
q1 (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0,
q2 (x1, x2, …, xn) (?, =, ?) 0, (4.2)
……………………………..
qm (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0,
където q1, q2, … , qm са някои функции, (x1, x2, … , xn) = x – точката x е определена от набор от няколко числа (координати), като точка в n-мерното аритметично пространство Rn. Съответно, множеството X е подмножество в Rn и съставлява множество от точки (x1, x2, ..., xn) I Rn и удовлетворяващи системата от неравенства (2.2.2).
Функцията f(x) става функция на n променливи f(x1, x2, ..., xn), оптимумът (max или min), който трябва да бъде намерен.
Ясно е, че е необходимо да се намери не само стойността на max (min) самата (x1, x2, ..., xn), но и точката или точките, ако има повече от една, в които тази стойност е постигнати. Такива точки се наричат оптимални решения. Множеството от всички оптимални решения се нарича оптимално множество.
Проблемът, описан по-горе, е общ проблем на оптималното (математическо) програмиране, чието изграждане се основава на принципите на оптималност и последователност. Функцията f се нарича целева функция, неравенствата (равенства) qi (x1, x2, ... , xn) (? , = , ?) 0, i = 1, 2, ... , m са ограничения. В повечето случаи ограниченията включват условията за неотрицателност на променливите:
х1? 0, х2? 0, … , xn ? 0,
или части от променливи. Това обаче може да не е необходимо.
В зависимост от характера на ограничителните функции и целевата функция се разграничават различни видове математическо програмиране:
1. линейно програмиране – функциите са линейни;
2. нелинейно програмиране – поне една от тези функции е нелинейна;
3. квадратично програмиране – f(x) е квадратична функция, ограниченията са линейни;
4. разделимо програмиране – f(x) е сумата от функции, които са различни за всяка променлива, условия – ограниченията могат да бъдат както линейни, така и нелинейни;
5. целочислено (линейно или нелинейно) програмиране – координатите на желаната точка x са само цели числа;
6. изпъкнало програмиране – целевата функция е изпъкнала, функциите – ограничения – са изпъкнали, тоест разглеждат се изпъкнали функции върху изпъкнали множества и др.
Най-простият и често срещан случай е, когато тези функции са линейни и всяка от тях има формата:
а1х1 + а2х2 + … аnхn + b,
тоест има проблем с линейното програмиране. Изчислено е, че в момента приблизително 80-85% от всички оптимизационни проблеми, решени на практика, са проблеми на линейното програмиране.
Комбинирайки простота и реалистични предположения, този метод в същото време има огромен потенциал при определяне на най-добрите планове от гледна точка на избрания критерий.
Първите изследвания в областта на линейното програмиране, насочени към избора на оптимален работен план в производствения комплекс, датират от края на 30-те години на нашия век и са свързани с името на L.V. Канторович. В местната научна традиция той се смята за първият разработчик на този метод.
През 30-те години на миналия век, в периода на интензивно икономическо и индустриално развитие на Съветския съюз, Канторович е в челните редици на математическите изследвания и се стреми да приложи своите теоретични разработки в практиката на разрастващата се съветска икономика. Такава възможност се открива през 1938 г., когато е назначен за консултант в лабораторията на фабрика за шперплат. Той беше натоварен със задачата да разработи метод за разпределение на ресурсите, който; може да максимизира производителността на оборудването и Канторович, формулирайки проблема в математически термини, произвежда максимизиране на линейна функция, предмет на голям брой ограничители. Без чисто икономическо образование, той все пак знаеше, че максимизирането при множество ограничения е един от основните проблеми на икономиката и че методът, който улеснява планирането във фабриките за шперплат, може да се използва в много други индустрии, независимо дали определя оптималното използване на обработваемата земя или най-много ефективно разпределение на транспортните потоци.
Говорейки за развитието на този метод на Запад, трябва да се каже за Tjalling Koopmans, американски математик-икономист от холандски произход.
В мисията на търговския флот Купманс се опита да развие маршрутите на съюзническите флоти по такъв начин, че да намали разходите за доставка на товари до минимум. Задачата беше изключително сложна: хиляди търговски кораби превозваха милиони тонове товари по морски пътища между стотици пристанища, разпръснати по света. Тази работа предостави възможност на Купманс да приложи своите математически знания към фундаментален икономически проблем – оптималното разпределение на оскъдните ресурси между конкуриращите се потребители.
Koopmans разработи аналитична техника, наречена анализ на дейността, която драстично промени начина, по който икономистите и мениджърите подходиха към разпределението на маршрутите. Той за първи път описва тази техника през 1942 г., наричайки я „Разменни съотношения между товари по различни маршрути“, където показва възможността да се подходи към проблема с разпределението като математически проблем за максимизиране в граници. Стойността, която подлежи на максимално увеличение, е стойността на доставения товар, равна на сбора от разходите за товара, доставен до всяко от пристанищата. Ограниченията бяха представени чрез уравнения, изразяващи съотношението на броя на консумираните производствени фактори (например кораби, време, труд) към количеството товари, доставени до различни дестинации, като стойността на нито един от разходите не трябва да надвишава наличната сума .
Докато работи върху проблема за максимизиране, Купманс разработи математически уравнения, които намериха широко приложение както в икономическата теория, така и в управленската практика. Тези уравнения определят за всеки производствен разход коефициент, равен на цената на този разход в условията на идеални конкурентни пазари. Така беше установена фундаментална връзка между теориите за ефективността на производството и теориите за дистрибуцията чрез конкурентни пазари. В допълнение, уравненията на Koopmans бяха от голяма стойност за централните плановици, които можеха да използват тези уравнения, за да определят подходящи цени за различни вложени ресурси, като същевременно оставяха избора на оптимални маршрути на преценката на местните директори, чиято отговорност беше да максимизират печалбите. Методът за анализ на дейността може да се използва широко от всеки мениджър при планиране на производствените процеси.
През 1975 г. Л.В. Kantorovich и Tjalling C. Koopmans бяха удостоени с Нобелова награда „за техния принос към теорията за оптимално разпределение на ресурсите“.
Говорейки за първите изследвания в областта на линейното програмиране, не може да не споменем друг американски учен - Джордж Д. Данциг. Конкретната формулировка на метода на линейното програмиране датира от неговата работа, извършена за американските военновъздушни сили по време на Втората световна война, когато възникна проблемът с координирането на действията на една голяма организация по въпроси като складиране, производство и поддръжка на оборудване и логистика, и имаше алтернативи и ограничения. В допълнение, по едно време J. Danzing работи заедно с V.V. Леонтиев, а симплексният метод за решаване на проблеми с линейна оптимизация (най-често използван за решаването им) се появи във връзка с едно от първите практически приложения на метода на баланса на входно-изходния процес.
3.2.1. Линейно програмиране
Сред оптимизационните проблеми в теорията на решенията най-известните са проблемите на линейното програмиране, при които функцията, която трябва да се максимизира Е(х) е линеен, а ограниченията Асе дават чрез линейни неравенства. Да започнем с един пример.
Производствена задача.Цехът може да произвежда столове и маси. Необходими са 5 единици материал за производството на стол и 20 единици (крака махагон) за производството на маса. Един стол изисква 10 човекочаса, една маса изисква 15. Има 400 единици материал и 450 човекочаса. Печалбата за производството на стол е 45$, а за производството на маса е 80$. Колко стола и маси трябва да направите, за да получите максимална печалба?
Да обозначим: х 1 - брой изработени столове, х 2 е броят на направените маси. Проблемът за оптимизация има формата:
45 х 1 + 80 х 2 → макс,
5 х 1 + 20 х 2 ≤ 400 ,
10 х 1 + 15 х 2 ≤ 450 ,
х 1 ≥ 0 ,
х 2 ≥ 0 .
Първият ред съдържа целевата функция - печалба при освобождаване х 1 стол и х 2 маси. Трябва да се максимизира чрез избор на оптималните стойности на променливите X 1 и х 2. В този случай трябва да се спазват материалните ограничения (втори ред) - не е използвано повече от 400 фута махагоново дърво. А също и трудови ограничения (трети ред) - не повече от 450 прекарани часа. Освен това не трябва да забравяме, че броят на масите и броят на столовете са неотрицателни. Ако х 1 = 0, това означава, че столовете не са произведени. Ако се направи поне един стол, тогава х 1 е положителен. Но е невъзможно да си представим отрицателно издание - х 1 не може да бъде отрицателен от икономическа гледна точка, въпреки че от математическа гледна точка такова ограничение не може да се види. Четвъртият и петият ред на задачата гласят, че променливите са неотрицателни.
Условията на производствен проблем могат да бъдат изобразени в координатна равнина. Ще начертаем стойностите по хоризонталната абсцисна ос х 1, а по вертикалната ордината - стойностите х 2. След това материалните ограничения и последните два реда на проблема за оптимизация подчертават възможните стойности ( х 1 , х 2) изходни обеми под формата на триъгълник (фиг. 1).
По този начин материалните ограничения са изобразени като изпъкнал многоъгълник, по-специално триъгълник. Този триъгълник се получава чрез отрязване на зоната, съседна на началото от първия квадрант. Прекъсването се извършва от права линия, съответстваща на втория ред на първоначалния проблем, като неравенството се заменя с равенство. Правата пресича оста х 1, съответстващи на столовете, в точка (80,0). Това означава, че ако целият материал се използва за направата на столове, ще бъдат направени 80 стола. Същата права линия пресича оста х 2, съответстващи на таблиците в точка (0.20). Това означава, че ако се използва целият материал
производство на маси, след което ще бъдат изработени 20 маси. За всички точки вътре в триъгълника неравенството е изпълнено, но не и равенството - материалът ще остане.
Трудовите ограничения могат да бъдат изобразени по подобен начин (фиг. 2).
|
|
По този начин трудовите ограничения, както и материалните ограничения, са изобразени под формата на триъгълник. Този триъгълник също се получава чрез отрязване на зоната, съседна на началото от първия квадрант. Прекъсването се извършва от права линия, съответстваща на третия ред на първоначалния проблем, замествайки неравенството с равенство. Правата пресича оста х 1, съответстващ на столовете, в точка (45.0). Това означава, че ако всички трудови ресурси се използват за направата на столове, ще бъдат произведени 45 стола. Същата права линия пресича оста х 2, съответстващи на таблиците в точка (0.30). Това означава, че ако всички работници са назначени да правят маси, ще бъдат направени 30 маси. За всички точки вътре в триъгълника е изпълнено неравенството, а не равенството - някои от работниците ще бъдат бездействащи.
Виждаме, че няма очевидно решение - има материал за производството на 80 стола, но няма достатъчно работници, а за производството на 30 маси има труд, но няма материал.Това означава, че трябва да направим и двете. Но в какво съотношение?
За да отговорите на този въпрос, трябва да „комбинирате“ Фиг. 1 и Фиг. 2, като получите област от възможни решения и след това да проследите какви стойности приема целевата функция на този набор (Фиг. 3).
По този начин наборът от възможни стойности за производствените обеми на столове и маси ( х 1 , х 2), или, с други думи, набор А, който задава ограничения върху контролния параметър в общата оптимизационна задача, е пресечната точка на два триъгълника, т.е. изпъкнал четириъгълник, показан на фиг. 3. Трите му върха са очевидни - това са (0.0), (45.0) и (0.20). Четвъртата е пресечната точка на две прави - границите на триъгълниците от фиг.1 и фиг.2, т.е. решаване на система от уравнения
5 х 1 + 20 х 2 = 400 ,
10 х 1 + 15 х 2 = 450 .
От първото уравнение: 5 х 1 = 400 - 20 х 2 , х 1 = 80 - 4 х 2. Заместете във второто уравнение:
10 (80 - 4 х 2) + 15 х 2 = 800 - 40х 2 + 15 х 2 = 800 - 25 х 2 = 450,
следователно 25 х 2 = 350, х 2 = 14, откъдето х 1 = 80 - 4 x 14 = 80 -56 =24.
Четвъртият връх на четириъгълника е (24, 14).
Трябва да намерим максимума на линейна функция върху изпъкнал многоъгълник. (В общия случай на линейно програмиране, максимумът на линейна функция върху изпъкнал полиедър, лежащ в крайномерно линейно пространство.) Основната идея на линейното програмиране е, че максимумът се постига във върховете на многоъгълника. В общия случай - на един връх и това е единствената максимална точка. По-специално - на две, а след това сегментът, който ги свързва, също се състои от максимални точки.
Целева функция 45 х 1 + 80 х 2 приема минимална стойност 0 във връх (0,0). С нарастването на аргументите тази функция се увеличава по размер. Във върха (24,14) тя приема стойност 2200. В този случай правата линия е 45 х 1 + 80 х 2 = 2200 преминава между преките граници 5 х 1 + 20 х 2 = 400 и 10 х 1 + 15 х 2 = 450 пресичащи се в една и съща точка. От това, както и от директната проверка на останалите два върха, следва, че максимумът на целевата функция, равен на 2200, се постига във върха (24,14).
Така оптималният изход е: 24 стола и 14 маси. В този случай се използват всички материални и всички трудови ресурси, а печалбата е равна на $2200.
Двоен проблем. Всеки проблем с линейно програмиране има съответстващ така наречен двоен проблем. В нея в сравнение с първоначалната задача редовете се превръщат в колони, неравенствата сменят знака, вместо максимум се търси минимум (или обратното, вместо минимум се търси максимум). Задачата, двойна към двойната, е самата оригинална задача. Нека сравним първоначалния проблем (вляво) и неговия двоен (вдясно):
45 х 1 + 80 х 2 → макс., 400 У 1 + 450 У 2 → мин.,
5 х 1 + 20 х 2 ≤ 400 , 5 У 1 + 10 У 2 ≥ 45,
10 х 1 + 15 х 2 ≤ 450 , 20 У 1 + 15 У 2 ≥ 80,
х 1 ≥ 0 , У 1 ≥ 0,
х 2 ≥ 0 . У 2 ≥ 0.
Защо двойната задача е толкова важна? Може да се докаже, че оптималните стойности на целевите функции в оригиналния и двойния проблем съвпадат (т.е. максимумът в оригиналния проблем съвпада с минимума в двойния). В този случай оптималните стойности У 1 и У 2 се показват съответно разходите за материали и труд, ако се оценяват по приноса им към целевата функция. Да не се бърка с пазарните цени на тези производствени фактори, У 1 и У 2 се наричат „обективно определени оценки“ на суровините и труда.
Линейното програмиране като научна и практическа дисциплина.От всички проблеми на оптимизацията проблемите на линейното програмиране се отличават с факта, че техните ограничения са системи от линейни неравенства или равенства. Ограниченията дефинират изпъкнали линейни полиедри в крайно линейно пространство. Целевите функции също са линейни.
Такива проблеми бяха решени за първи път от съветския математик Л.В. Канторович (1912-1986) през 30-те години на миналия век като проблем на управлението на производството с цел оптимизиране на организацията на производството и производствените процеси, например процесите на товарене на машини и рязане на листове от материали. След Втората световна война подобни задачи се заемат и в САЩ. През 1975 г. Т. Купманс (1910-1985 г., роден в Холандия, работил главно в САЩ) и академик на Академията на науките на СССР Л.В. Канторович е удостоен с Нобелова награда за икономика.
Нека разгледаме няколко типични задачи за линейно програмиране (вижте също).
Проблем с диетата (опростена версия).Нека приемем със сигурност, че трябва да създадете най-евтината диета с пиле, която съдържа необходимото количество определени хранителни вещества (за простота, тиамин Т и ниацин N).
Маса 1.
Изходни данни в задачата за оптимизиране на сместа.
Хранителната стойност на диетата (в калории) трябва да бъде не по-малка от определената стойност. За по-лесно нека пилешката смес е от два продукта - ДА СЕИ СЪС. Известно е и съдържанието на тиамин и ниацин в тези продукти. също и хранителна стойност ДА СЕИ СЪС(в калории). Колко ДА СЕИ СЪСтрябва ли да приемам пилешки фураж за една порция, така че пилетата да получат необходимата доза от вещества H и T и калории (или повече), а цената на порция да е минимална? Изходните данни за изчисленията са дадени в таблица 1.
3,8 ДА СЕ + 4,2 СЪС→ мин.,
0,10 ДА СЕ + 0,25 СЪС ≥ 1,00 ,
1,00 ДА СЕ + 0,25 СЪС ≥ 5,00 ,
110,00ДА СЕ + 120,00 СЪС ≥ 400,00 ,
ДА СЕ ≥ 0 ,
СЪС ≥ 0 .
Графичното му решение е представено на фиг. 4.
Фиг.4. Графично решение на задачата за оптимизиране на сместа.
На фиг. 4 за по-лесно възприемане четирите прави линии са обозначени с цифри (1) - (4). Права линия (1) е права линия 1,00 ДА СЕ + 0,25 СЪС= 5,00 (ограничение за вещество Н). Тя преминава, както е показано на фигурата, през точки (5,0) по абсцисната ос и (0,20) по ординатната ос. Моля, имайте предвид, че валидните стойности на параметрите (K, СЪС) лежат над или на линия (1), за разлика от разгледаните по-рано случаи в предишния производствен проблем за линейно програмиране.
Прав (2) е прав 110.00 ДА СЕ + 120,00 СЪС= 400,00 (калориен лимит). Нека отбележим, че в областта на неотрицателни СЪСнамира се навсякъде под правата линия (1). Наистина, това е вярно, когато ДА СЕ=0, права линия (1) минава през точката (0,20), а права линия (2) минава през точката отдолу (0, 400/120). Пресечната точка на две прави се намира при решаване на системата от уравнения
1,00 ДА СЕ + 0,25 СЪС = 5,00 ,
110,00 ДА СЕ + 120,00 СЪС = 400,00 .
От първото уравнение ДА СЕ = 5 - 0,25 СЪС. Нека заместим във втория: 110 (5-0,25 СЪС) + 120 СЪС= 400, от където 550 е 27,5 СЪС + 120 СЪС= 400. Следователно 150 = - 92,5 СЪС, т.е. решението се постига с отрицателен СЪС. Това означава, че въпреки всички положителни СЪСлиния (2) лежи под линия (1). Това означава, че ако ограниченията за H са изпълнени, тогава калорийните ограничения са задължително изпълнени. Изправени сме пред нов феномен – някои ограничения от математическа гледна точка може да се окажат ненужни. От икономическа гледна точка те са необходими и отразяват съществените характеристики на постановката на проблема, но в този случай вътрешната структура на проблема се оказа такава, че калорийното ограничение не участва във формирането на допустимия диапазон. на параметри и при намиране на решение.
Права линия (4) е права линия 0,1 ДА СЕ + 0,25 СЪС= 1 (ограничение за вещество Т). Тя преминава, както е показано на фигурата, през точки (10,0) на абсцисната ос и (0,4) на ординатната ос. Моля, имайте предвид, че валидните стойности на параметрите ( ДА СЕ, СЪС) лежат над линия (4) или върху нея, както за линия (1).
Следователно диапазонът от допустими стойности на параметрите ( ДА СЕ, СЪС) е неограничен отгоре. Тя се отличава от цялата равнина по своите координатни оси (лежи в първия квадрант) и прави линии (1) и (4) (лежи над тези прави линии и също така включва гранични сегменти). Диапазонът на допустимите стойности на параметрите, т.е. точки ( ДА СЕ, СЪС), може да се нарече "неограничен многоъгълник". Функция на минималната цел 3.8 ДА СЕ + 4,2 СЪСможе да се постигне само във върховете на този "многоъгълник". Има само три върха. Това са пресечни точки с абсцисната (10,0) и ординатната (0,20) ос на прави (1) и (4) (във всеки случай тази, която удовлетворява и двете ограничения, се взема от две пресечни точки). Третият връх е точка Апресечна точка на прави (1) и (4), чиито координати се намират чрез решаване на системата от уравнения
0,10ДА СЕ + 0,25 СЪС = 1,00 ,
1,00 ДА СЕ + 0,25 СЪС = 5,00 .
От второто уравнение ДА СЕ = 5 - 0,25 СЪС, от първия 0,10 (5 - 0,25 СЪС) + 0,25 СЪС = 0,5 - 0,025 СЪС + 0,25 СЪС = 0,5 + 0,225 СЪС= 1, откъдето СЪС= 0,5/0,225 = 20/9 и ДА СЕ= 5 - 5/9 = 40/9. Така, А = (40/9; 20/9).
Правата линия (3) на фиг. 4 е права линия, съответстваща на целевата функция 3.8 ДА СЕ + 4,2СЪС. Тя преминава между прави (1) и (4), които определят ограничения, като минимумът се достига в точката А, през която минава права (3). Следователно минимумът е 3,8x40/9 + 4,2x20/9 = 236/9. Проблемът с оптимизирането на сместа е напълно решен.
Двойният проблем, конструиран съгласно правилата, описани по-горе, има формата по-долу (повтаряме тук оригиналния проблем за оптимизиране на сместа, за да демонстрираме ясно технологията за конструиране на двойния проблем):
3,8 ДА СЕ + 4,2 СЪС→ min , W 1 + 5 У 2 + 400 У 3 → макс.
0,10 ДА СЕ + 0,25 СЪС ≥ 1,00 , 0,1 У 1 + 1,10 У 2 + 110 У 3 ≤ 3,8 ,
1,00 ДА СЕ + 0,25 СЪС ≥ 5,00 , 0,25У 1 + 0,25 У 2 + 120 У 3 ≤ 4,2 ,
110,00 ДА СЕ + 120,00 СЪС ≥ 400,00 , У 1 ≥ 0 ,
ДА СЕ ≥ 0 , У 2 ≥ 0 ,
СЪС ≥ 0 . У 3 ≥ 0 .
Минималната стойност в директната задача, както трябва да бъде, е равна на максималната стойност в двойната задача, т.е. и двете числа са 236/9. Тълкуване на двойни променливи: У 1 е „цената“ на единица вещество Т, и У 2 - „цена“ на единица вещество H, измерена „чрез техния принос“ към целевата функция. При което У 3 = 0, тъй като ограничението на броя на калориите не участва във формирането на оптималното решение. Така, У 1 , У 2 , У 3 е т.нар обективно определени оценки (според L.V. Kantorovich) на ресурсите (вещества Т и Н, калории).
Планиране на продуктовата гама и производствените обеми.Да се върнем към организацията на производството. Фирмата може да произвежда автоматични кухни (тип тенджери), кафемашини и самовари. Таблица 2 показва данни за наличния производствен капацитет в предприятието (в единици продукти).
Таблица 2.
Производствен капацитет (в бр.)
|
Кафемашини |
Самовари |
||
|
Щамповане |
|||
|
Обем на издаването |
|||
|
Конкретна печалба (на продукт) |
В този случай щамповането и довършването се извършват на едно и също оборудване. Тя ви позволява да произвеждате в даден момент или 20 000 кухни, или 30 000 кафемашини, или и двете, в не по-малко количество. Но монтажът се извършва в отделни зони.
Проблемът с линейното програмиране има формата:
х 1 ≥ 0 , х 2 ≥ 0 , х 3 ≥ 0 , (0)
х 1 / 200 + х 2 / 300 + х 3 / 120 ≤ 100 , (1)
х 1 / 300 + х 2 / 100 + х 3 / 100 ≤ 100 , (2)
х 1 / 200 ≤ 100 , (3)
X 2 / 120 ≤ 100, (4)
х 3 / 80 ≤ 100 , (5)
Е= 15 X 1 + 12 X 2 + 14 х 3 → макс.
(0) е обичайното условие в икономиката за неотрицателност на променливите,
(1) - ограничение на възможностите за щамповане (изразено като процент за по-лесно възприемане),
(2) - ограничение на опциите за довършителни работи,
(3) - ограничения за монтаж на кухни,
(4) - същото за кафемелачките,
(5) - същото за самовари (както вече беше споменато, и трите вида продукти се сглобяват на отделни линии).
И накрая, целевата функция Е- обща печалба на предприятието.
Забележете, че неравенство (3) следва от неравенство (1), а неравенство (4) следва от (2). Следователно неравенствата (3) и (4) могат да бъдат изключени от формулировката на задачата за линейно програмиране.
Нека веднага да отбележим един интересен факт. Както ще се установи, в оптимален план х 3 = 0, т.е. Не е изгодно да се произвеждат самовари.
Методи за решаване на задачи по линейно програмиране.Методите за решаване на проблеми с линейното програмиране принадлежат към изчислителната математика, а не към икономиката. За един икономист обаче е полезно да знае за свойствата на интелектуалния инструмент, който използва.
С нарастването на мощността на компютъра необходимостта от използване на сложни математически методи намалява, тъй като в много случаи времето за изчисление престава да бъде ограничаващ фактор, то е много кратко (части от секунди). Затова ще анализираме само три метода.
Просто търсене. Нека вземем някакъв многомерен паралелепипед, в който лежи полиедър, определен от ограничения. Как да го изградим? Например, ако има ограничение от тип 2 х 1 + 5х 2 ≤ 10, тогава очевидно 0 ≤ х 1 ≤ 10/2 = 5 и 0 ≤ х 2 ≤ 10/5 = 2. По същия начин, от линейни ограничения на обща форма може да се премине към ограничения върху отделни променливи. Остава да вземем максималните граници за всяка променлива. Ако полиедърът, дефиниран от ограниченията, е неограничен, какъвто беше случаят в задачата с диетата, можете по подобен, но малко по-сложен начин да изберете частта му, „с лице“ към началото на координатите, съдържащи решението, и да го оградите в многомерен паралелепипед.
Нека сортираме точките на паралелепипеда със стъпка 1/10 нпоследователно при н=2,3,…, изчисляване на стойностите на целевата функция и проверка на изпълнението на ограниченията. От всички точки, които удовлетворяват ограниченията, вземаме тази, в която целевата функция е максимална. Решението е намерено! (По-точно казано, намерено с точност до 1/10 н.)
Насочено търсене.Нека започнем с точка, която отговаря на ограниченията (може да бъде намерена чрез просто търсене). Последователно (или произволно - чрез т.нар. метод на случайно търсене) ще променяме координатите му с определена стойност ∆, всеки път до точка с по-висока стойност на целевата функция. Ако достигнем ограничителната равнина, ще се движим по нея (намирайки една от координатите с помощта на ограничителното уравнение). След това движение по ръба (когато две ограничения на неравенството се превърнат в равенства) ... Стоп - на върха на линейния многостен. Решението е намерено! (По-точно казано, намира се с точност до ∆. Ако е необходимо, в близост до намереното решение извършваме насочено търсене със стъпки ∆/2, ∆/4 и т.н.)
Симплексен метод.Това е един от първите специализирани методи за оптимизация, насочени към решаване на проблеми с линейно програмиране, докато прости и насочени методи за изброяване могат да бъдат приложени за решаване на почти всеки проблем с оптимизация. Симплексният метод е предложен от американеца Г. Данциг през 1951 г. Основната му идея е да се движи по изпъкнал полиедър от ограничения от връх към връх, при което на всяка стъпка стойността на целевата функция се подобрява до достигане на оптимума. Нека да разгледаме пример, базиран на данните в таблица 2.
Нека разгледаме проблема с линейното програмиране, формулиран по-горе, когато разглеждаме оптимизирането на продуктовата гама и обемите на продукцията:
Е = 15 х 1 + 12 х 2 + 14 х 3 → макс.
х 1 / 200 + х 2 / 300 + х 3 / 120 ≤ 100 ,
х 1 / 300 + х 2 / 100 + х 3 / 100 ≤ 100 ,
х 3 / 80 ≤ 100 .
Няма да посочваме конкретно неотрицателността на променливите, тъй като в проблемите на линейното програмиране това предположение винаги се приема.
В съответствие със симплексния метод въвеждаме т.нар "свободни променливи" х 4 , х 5 , х 6, съответстващи на недостатъчно усвоени мощности, т.е. Нека да преминем от системата от неравенства към системата от уравнения:
х 1 / 200 + х 2 / 300 + х 3 / 120 + х 4 = 100 ,
х 1 / 300 + х 2 / 100 + х 3 / 100 + х 5 = 100 ,
х 3 / 80 + х 6 = 100 ,
15 х 1 + 12 х 2 + 14 х 3 = Е.
Тази система има очевидно решение, съответстващо на един от върховете на полиедъра на допустимите стойности на променливите:
х 1 = х 2 = х 3 = 0, х 4 = х 5 = х 6 = 100, Е = 0.
По отношение на първоначалния проблем, това означава, че нищо не трябва да се освобождава. Това решение е приемливо само за лятната ваканция.
В съответствие със симплексния метод избираме променлива, която е включена в целевата функция Ес най-голям положителен коефициент. Това х 1 .
Сравняваме частните от разделянето на свободните членове в първите три уравнения на коефициентите на новоизбраната променлива х 1:
100 / (1/200) = 20000, 100 / (1/300) =30000, 100/0 = + ∞ .
Избираме линия от системата от уравнения, която съответства на минимума от всички положителни съотношения. В разглеждания пример това е първият ред, който съответства на съотношението 20000.
Умножете първия ред по 200, за да получите х 1 с коефициент единица:
х 1 + 2/3 х 2 + 2/1,2 х 3 + 200 х 4 = 20000 .
След това умножаваме новополучения ред по (-1/300) и го събираме с втория ред, за да елиминираме члена с х 1, получаваме
7/900 х 2 + 4/900 х 3 - 2/3 х 4 + х 5 = 100/3.
Умножете същия трансформиран първи ред по (-15) и го добавете към реда, от дясната страна на който има Е, получаваме:
2 х 2 - 11 х 3 - 3000 X 4 = Е - 300000.
В резултат на това системата от уравнения се трансформира във вид, в който променливата х 1 е включено само в първото уравнение:
х 1 + 2/3 х 2 + 2/1,2 х 3 + 200 х 4 = 20000 ,
7/900 х 2 + 4/900 х 3 - 2/3 х 4 + х 5 = 100/3,
х 3 / 80 + х 6 = 100 ,
2 х 2 - 11 х 3 - 3000 X 4 = Е - 300000.
Очевидно новата система има подобрено решение в сравнение с оригиналното, съответстващо на друг връх на изпъкнал многостен в шестмерно пространство:
х 1 = 20000, х 2 = х 3 = х 4 = 0, х 5 = 100/3, х 6 = 100, Е = 300000.
По отношение на първоначалния проблем това решение означава, че трябва да се произвеждат само кухни. Това решение е приемливо, ако е допустимо да се произвежда само един вид продукт.
Нека повторим описаната по-горе операция. На линия с Еима още един положителен коефициент – когато х 2 (ако имаше няколко положителни коефициента, бихме взели максимума от тях). Въз основа на коефициентите при х 2 (а не на х 1, както за първи път) образуваме частни, като разделим съответните свободни членове на тези коефициенти:
20000 / (2/3) = 30000, (100/3) / (7/900) = 30000/7, 100/0 = + ∞.
По този начин трябва да изберем втория ред, за който имаме най-малкото положително съотношение от 30000/7. Нека умножим втория ред по 900/7 (така че коефициентът при х 2 беше равно на 1). След това добавете актуализирания ред към всички редове, съдържащи х 2, като предварително ги е умножил по подходящи числа, т.е. така че всички коефициенти за х 2 ще стане равно на 0 след добавяне, с изключение на коефициента на втория ред, който вече е станал равен на 1. Получаваме система от уравнения:
х 1 + 9/7 х 3 + 1800/7 х 4 - 600/7 х 5 = 120000/7 ,
х 2 + 4/7 х 3 - 600/7 х 4 + 900/7 х 5 = 30000/7,
х 3 / 80 + х 6 = 100 ,
85/7 х 3 - 19800/7 х 4 - 1800/7 х 5 = Е - 308571.
Тъй като всички променливи са неотрицателни, от последното уравнение следва, че печалбата Едостига максималната си стойност от 308571 ат х 3 = х 4 = х 5 = 0. От останалите уравнения следва, че в този случай х 1 = 120000/7 = 17143, х 2 = 30000/7 = 4286, х 6 = 100. Тъй като в ред c Ене е останал нито един положителен коефициент за променливите, тогава алгоритъмът на симплексния метод е приключил работата си и е намерено оптималното решение.
Практическите препоръки са следните: необходимо е да се произведат 17143 кухни, четири пъти по-малко, т.е. 4286, кафемелачки и самовари изобщо не трябва да се произвеждат. В този случай печалбата ще бъде максимална и равна на 308 571. Цялото производствено оборудване ще бъде напълно заредено, с изключение на поточната линия за самовар.
Транспортен проблем.Различни технически, икономически и икономически проблеми на управлението на производството, от оптимално натоварване на машината и рязане на стоманени листове или тъкани до анализ на междуиндустриалния баланс и оценка на темпа на растеж на икономиката на страната като цяло, водят до необходимостта от решаване на определени проблеми с линейното програмиране. Книгата съдържа обширен списък от публикации, посветени на множество приложения на линейното програмиране в металургията, въгледобивната, химическата, петролната, хартиената и други индустрии, в проблемите на транспорта и комуникациите, планирането на производството, проектирането и съхранението на продукти, селското стопанство, в научните изследвания , включително включително икономически и дори при регулиране на уличното движение.
Като друг пример разгледайте т.нар. транспортна задача. Има складове, чиито резерви са известни. Известни са потребителите и обемът на техните потребности. Необходимо е да се доставят стоки от складовете до потребителите. Можете да организирате „прикачването“ на потребителите към складовете по различни начини, т.е. установете от кой склад до кой потребител и колко да носите. Освен това е известна цената за доставка на единица стока от определен склад до определен потребител. Необходимо е да се минимизират транспортните разходи.
Например, може да говорим за транспортиране на пясък - суровина за производството на тухли. Пясъкът обикновено се доставя в Москва с най-евтиния транспорт - вода. Следователно пристанищата могат да се разглеждат като складове, а дневната им производителност като резерви. Потребителите са тухларни заводи, а нуждите им се определят от ежедневното производство (съгласно съществуващите поръчки). За доставка е необходимо да натоварите автомобила, да карате по определен маршрут и да го разтоварите. Цената на тези операции се изчислява по добре известни правила, на които няма смисъл да се спираме. Следователно разходите за доставка на стоки от определен склад до конкретен потребител могат да се считат за известни.
Нека разгледаме пример за транспортна задача, първоначалните данни за която са представени в табл. 3.
Таблица 3, в допълнение към обема на нуждите и стойностите на запасите, показва разходите за доставка на единица стока от склада аз, аз = 1,2,3, потребител й, й = 1,2,3,4. Например, най-евтината доставка е от склад 2 до потребители 1 и 3, както и от склад 3 до потребител 2. Въпреки това, склад 2 има 80 единици стоки, а потребители 1 и 3 изискват 50 + 70 = 120 единици, така че стоките ще трябва да бъдат доставени до тях и от други складове. Моля, имайте предвид, че в таблица 3 материалните запаси в складовете са равни на общите нужди. За примера с доставката на пясък за тухларните заводи това е напълно естествено ограничение - ако такова ограничение не се спазва, или пристанищата ще бъдат пълни с планини от пясък, или тухларните заводи няма да изпълняват поръчки.
Таблица 3.
Изходни данни за транспортната задача.
|
Потребител 1 |
Потребител 2 |
Потребител 3 |
Потребител 4 |
Инвентаризация в складове |
|
|
потребности |
Необходимо е да се планира транспорт, т.е. изберете томове X ijдоставки на стоки от склад азкъм потребителя й, Където аз = 1,2,3; й= 1,2,3,4. Така в задачата има общо 12 променливи. Те отговарят на две групи ограничения. Първо се уточняват наличностите в складовете:
х 11 + х 12 + х 13 + х 14 = 60 ,
х 21 + х 22 + х 23 + х 24 = 80 ,
х 31 + х 32 + х 33 + х 34 = 60 .
Второ, нуждите на клиентите са известни:
х 11 + х 21 + х 31 = 50 ,
х 12 + х 22 + х 32 = 40 ,
х 13 + х 23 + х 33 = 70 ,
х 14 + х 24 + х 34 = 40 .
И така, има общо 7 ограничения за тип равенство. Освен това всички променливи са неотрицателни - още 12 ограничения.
Целевата функция е транспортните разходи, които трябва да бъдат минимизирани:
Е = 2 х 11 + 5 х 12 + 4 х 13 + 5 х 14 + х 21 + 2 х 22 + х 23 + 4 х 24 +
3 х 31 + х 32 + 5 х 33 + 2 х 34 → мин.
Освен обсъждания се разглеждат и различни други варианти на транспортния проблем. Например, ако доставката се извършва с вагони, тогава обемът на доставките трябва да бъде кратен на капацитета на вагона.
Броят на променливите и ограниченията в транспортния проблем е такъв, че е невъзможно да се реши без компютър и съответния софтуерен продукт.
3.2.2. Целочислено програмиране
Оптимизационните проблеми, при които променливите приемат цели числа, се класифицират като целочислено програмиране. Нека разгледаме няколко такива проблема.
Проблем с избора на оборудване. 20 000 щатски долара бяха отпуснати за закупуване на оборудване за нова част на цеха. В този случай можете да заемете площ не повече от 38 m2. Възможно е закупуване на машини от тип А и машини от тип Б. В същото време машините от тип А струват $5000, заемат площ от 8 м2 (включително необходимите технологични проходи) и имат производителност от 7 хиляди единици производство на смяна. Машините тип B струват $2000, заемат площ от 4 m2 и имат производителност от 3 хиляди единици продукция на смяна. Необходимо е да се изчисли оптималният вариант за закупуване на оборудване, което осигурява при дадени ограничения максимална обща производителност на обекта.
Нека X е броят на машините от тип A, а Y е броят на машините от тип B, включени в комплекта оборудване. Необходимо е да изберете набор от оборудване, за да увеличите максимално производителността СЪСплощ (в хиляди единици на смяна):
СЪС= 7 X + 3 U → макс.
В този случай трябва да се спазват следните ограничения:
по цена (хиляди щатски долара)
5 х+ 2 U ≤ 20,
по заемана площ (в m2)
8 х + 4 U ≤ 38,
както и нововъзникващи специфични целочислени ограничения, а именно,
х ≥ 0 , U ≥ 0 , хИ U- цели числа.
Формулираната математическа задача се различава от задачата за линейно програмиране само по последното цяло число. Въпреки това, наличието на това условие позволява (в този конкретен случай) лесно да се реши проблемът чрез груба сила. Всъщност както ограничението на разходите, така и ограничението на площта дават това х≤ 4. Това означава, че X може да приема само една от 5 стойности: 0, 1, 2, 3, 4.
Ако х= 4, тогава от ограничението на разходите следва, че U= 0 и следователно СЪС = 7 х = 28.
Ако х= 3, то от първото ограничение следва, че U≤ 2, от втория U≤ 3. Това означава максимумът СЪС U=2, а именно СЪС = 21 + 6 = 27.
Ако х= 2, то от първото ограничение следва, че U≤ 5, от втория също U≤ 5. Това означава максимумът СЪСпри спазване на ограниченията се постига, когато U=5, а именно СЪС = 14 + 15 = 29.
Ако х= 1, тогава от първото ограничение, което имаме U≤ 7, от второто също U≤ 7. Това означава максимумът СЪСпри спазване на ограниченията се постига, когато U= 7, а именно СЪС = 7 + 21 = 28.
Ако х= 0, тогава първото ограничение предполага U≤ 10, от втория U≤ 9. И така, максимумът СЪСпри спазване на ограниченията се постига, когато U= 9, а именно, СЪС = 27.
Разгледани са всички възможни случаи. Максимална производителност СЪС= 29 (хиляди единици продукция на смяна) се постига при X = 2, U= 5. Следователно трябва да купите 2 машини от тип A и 5 машини от тип B.
Проблемът с раницата. Общото тегло на раницата е предварително ограничено. Какви предмети трябва да поставите в раницата си, така че общата полезност на избраните артикули да е максимална? Теглото на всеки артикул е известно.
Има много еквивалентни формулировки. Например, вместо раница, можете да разгледате космически кораб - спътник на Земята и научни инструменти като обекти. Тогава проблемът се интерпретира като избор на инструменти за извеждане в орбита. Вярно, това предполага, че е решена предварителна задача - оценка на сравнителната стойност на изследването, за което са необходими определени инструменти.
От гледна точка на икономиката на предприятието и организацията на производството, друга интерпретация на проблема с раницата е по-подходяща, при която поръчките (или опциите за освобождаване на партиди от определени стоки) се разглеждат като „артикули“, печалба от изпълнението на определена поръчка се счита за полезност, а като тежест - цената на поръчката.
Нека да преминем към математическата формулировка. Приема се, че има n обекта и за всеки от тях трябва да решите дали да го поставите в раницата или да не го поставите. Булеви променливи са въведени, за да опишат решението X k ,к = 1,2,…, н(т.е. променливи, които приемат две стойности, а именно 0 и 1). При което X k= 1, ако артикулът е поставен в раница, и X k= 0 ако не, к = 1,2,…, н. За всеки предмет са известни две константи: A k- тегло кти предмет и С к- полезност к-ти предмет, к = 1,2,…, н. Нека обозначим максимално възможния капацитет на раницата IN. Оптимизационният проблем има формата
C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 + …. + C n X n→ макс.,
A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + …. + A n X n ≤ B.
За разлика от предишните задачи, контролни параметри X k , к = 1,2,…, н, вземат стойности от набор, съдържащ два елемента - 0 и 1.
Целочисленото програмиране включва проблеми с местоположението (на производствените мощности), теорията на графика, планирането и оперативното планиране, разпределението на персонала и др. (виж, например, монография).
Нека посочим два често срещани метода за решаване на проблеми с целочислено програмиране
Метод на апроксимация чрез непрекъснати задачи.В съответствие с него първо се решава проблем с линейно програмиране, без да се вземат предвид целочислени стойности, а след това се търсят цели точки в близост до оптималното решение.
Методи за насочено търсене. От тях най-известният е методът на разклоняване и обвързване. Същността на метода е следната. Всяко подмножество хнабор от възможни решения X 0 се присвоява номер - "граница" A (х). При решаване на задача за минимизиране е необходимо А(X 1) ≥ A (X 2), Ако х 1 включен х 2 или кибрит х 2 .
Всяка стъпка от метода на разклоняване и обвързване се състои от разделяне на набора X C, избран в предишната стъпка, на две - X 1CИ X 2C. В същото време кръстовището X 1CИ X 2Cе празен и техният съюз съвпада с X C. След това се изчисляват границите А(X 1C) и А(X 2C) и изберете „клон“ X C+1 - това от комплектите X 1Cи X 2C, за които границата е по-малка. Алгоритъмът спира да работи, когато диаметърът на новоизбрания клон е по-малък от предварително зададено малко число
За всеки конкретен целочислен програмен проблем (с други думи, дискретна оптимизация), методът за разклоняване и обвързване се изпълнява по свой начин. Има много модификации на този метод.
3.2.3. Теория на графите и оптимизация
Един от клоновете на дискретната математика, често използван при вземането на решения, е теорията на графите (вижте например уроци). Графът е съвкупност от точки, наречени върхове на графа, някои от които са свързани с дъги (дъгите също се наричат ръбове). Примери за графики са показани на фиг. 5.
|
Нови свойства са „прикачени“ към току-що въведената концепция за графика. На оригиналния обект се приписват нови качества. Например въвежда се и се използва понятието насочен граф. В такава графика дъгите имат стрелки, насочени от един връх към друг. Примери за насочени графи са дадени на фиг. 6.
Фиг.6. Примери за насочени графи.
Насочена графа би била полезна, например, за да илюстрира организацията на транспорта в транспортен проблем. В икономиката на дъгите на насочена или обикновена графика често се приписват числа, например цената на пътуването или транспортирането на стоки от точка А (началния връх на дъгата) до точка Б (крайния връх на дъгата).
Нека да разгледаме няколко типични проблема за вземане на решения, свързани с оптимизирането на графики.
Проблем с пътуващия търговец. Изисква се да посетите всички върхове на графиката и да се върнете към първоначалния връх, като минимизирате разходите за пътуване (или минимизирате времето).
Първоначалните данни тук са графика, на дъгите на която са присвоени положителни числа - пътни разходи или време, необходимо за преминаване от един връх към друг. По принцип графът е насочен и всеки два върха свързват две дъги - напред и назад. Наистина, ако точка А се намира на планина, а точка Б е в низина, тогава времето за пътуване от А до Б очевидно е по-малко от времето за обратно пътуване от Б до А.
Много икономически проблеми се свеждат до проблема с пътуващия търговец. Например:
Начертайте най-изгодния маршрут за туроператор в цеха (контрольор, охранител, полицай), който отговаря за правилното функциониране на даден набор от обекти (всеки от тези обекти се моделира от връх на графа);
Създайте най-печелившия маршрут за доставка на части до работници или хляб от пекарна до определен брой пекарни и други търговски обекти (паркинг близо до пекарната).
Проблем с най-краткия път. Какъв е най-краткият път за достигане от един връх на графика до друг? От гледна точка на управлението на производството: кой е най-краткият маршрут (и, следователно, с най-малко разход на гориво и време, най-евтиният) за достигане от точка А до точка Б? За да се реши този проблем, всяка дъга от насочен граф трябва да бъде свързана с число - времето на движение по тази дъга от началния връх до крайния. Нека да разгледаме пример (фиг. 7).
Фиг.7. Входни данни за задачата за най-краткия път.
Ситуацията може да бъде описана не само чрез насочен график с тегла, присвоени на дъгите, но и чрез таблица (Таблица 7). В тази таблица на два върха - началото на пътя и края на пътя - е присвоено време за пътуване. Таблица 7 разглежда маршрути без междинни спирки. По-сложните маршрути са съставени от елементарни сегменти, изброени в таблица 4.
Таблица 4.
Входни данни за задачата за най-краткия път.
|
Начало на дъгата |
Край на дъгата |
Време за пътуване |
Проблемът пита: кой е най-краткият път за достигане от връх 1 до връх 4?
Решение.Нека въведем обозначението: СЪС(T) - дължина на най-късия път от връх 1 до връх T. (Тъй като всеки път, който трябва да бъде разгледан, се състои от дъги и има краен брой дъги и всяка се появява най-много веднъж, тогава има краен брой кандидати за най-краткия път и минимумът от краен брой елементи винаги се постига.) Разглежданата задача е да се изчисли СЪС(4) и посочва пътя, по който се постига този минимум.
За първоначалните данни, представени на фиг. 7 и таблица 4, връх 3 включва само една стрелка, точно от връх 1, а близо до тази стрелка има нейната дължина, равна на 1, следователно СЪС(3) = 1. Освен това е очевидно, че СЪС(1) = 0.
Можете да стигнете до връх 4 или от връх 2, като сте преминали път, равен на 4, или от връх 5, след като сте изминали път, равен на 5. Следователно е вярна следната връзка:
СЪС(4) = min (C(2) + 4; СЪС(5) + 5}.
Така проблемът е преструктуриран (опростен) - намирането на C(4) е сведено до намиране на C(2) и СЪС(5).
Можете да стигнете до връх 5 или от връх 3, като сте преминали път, равен на 2, или от връх 6, след като сте изминали път, равен на 3. Следователно е вярна следната връзка:
СЪС(5) = min ( СЪС(3) + 2; СЪС(6) + 3}.
Ние знаем това СЪС(3) = 1. Следователно
C(5) = min(3; СЪС(6) + 3}.
Тъй като е очевидно, че C(6) е положително число, от последната връзка следва, че СЪС(5) = 3.
Можете да стигнете до връх 2 или от връх 1, като сте изминали път, равен на 7, или от връх 3, като сте изминали път, равен на 5, или от връх 5, като сте изминали път, равен на 2. Следователно следното отношение истина е:
СЪС(2) = min (С(1) + 7; С(3) + 5; СЪС(5) + 2}.
Знаем, че C(1) = 0, СЪС(3) = 1, СЪС(5) = 3. Следователно
СЪС(2) = min (0 + 7; 1 + 5; 3 + 2) = 5.
Сега можем да намерим СЪС(4):
СЪС(4) = min ( СЪС(2) + 4; СЪС(5) + 5) = min (5 + 4; 3 + 5) = 8.
По този начин дължината на най-краткия път е 8. От последната връзка е ясно, че трябва да се премине към връх 4 през връх 5. Връщайки се към изчислението СЪС(5), виждаме, че трябва да отидете до връх 5 през връх 3. И можете да стигнете до връх 3 само от връх 1. И така, най-краткият път е:
1 → 3 → 5 → 4 .
Напълно е решен проблемът за най-краткия път за конкретни изходни данни (фиг. 7 и табл. 4).
Оптимизационните проблеми на графиките, които възникват при подготовката на управленски решения в управлението на производството, са много разнообразни. Да вземем за пример друг проблем, свързан с транспорта.
Проблем с максималния поток.Как (т.е. по какви маршрути) може да се изпрати максимално възможното количество товар от началната до крайната точка, ако капацитетът на маршрутите между точките е ограничен?
За да се реши този проблем, всяка дъга от насочения граф, съответстваща на транспортната система, трябва да бъде свързана с число - капацитетът на тази дъга. Нека да разгледаме един пример (фиг. 8).
Фиг.8. Изходни данни за задачата за максимален поток
Първоначалните данни за транспортната система, например вътрешнозаводската, показана на фиг. 8, могат да бъдат посочени и в таблица (таблица 5).
Решението на проблема с максималния поток може да се получи от следните съображения.
Очевидно максималният капацитет на транспортната система не надвишава 6, тъй като не повече от 6 единици товар могат да бъдат изпратени от начална точка 0, а именно 2 единици до точка 1, 3 единици до точка 2 и 1 единица до точка 3 .
Таблица 5.
Изходни данни за задачата за максимален поток
|
Отправна точка |
Дестинация |
Честотна лента |
След това трябва да гарантираме, че всички 6 единици товар, напускащ точка 0, достигат крайната точка 4. Очевидно 2 единици товар, пристигнали в точка 1, могат да бъдат изпратени директно до точка 4. Товарът, пристигнал в точка 2, ще трябва да се разделят: 2 единици се изпращат незабавно към точка 4, а 1 единица - към междинна точка 3 (поради ограничения капацитет на участъка между точки 2 и 4). До точка 3 са доставени следните стоки: 1 брой от точка 0 и 1 брой от точка 2. Изпращаме ги до точка 4.
И така, максималната производителност на разглежданата транспортна система е 6 единици товар. В този случай не се използват вътрешните участъци (клонове) между точки 1 и 2, както и между точки 1 и 3. Разклонението между точки 1 и 4 не е напълно натоварено - по него се изпращат 2 единици товар с пропускателна способност от 3 единици.
Решението може да бъде представено под формата на таблица (Таблица 6).
Таблица 6.
Решаване на проблема с максималния поток
|
Отправна точка |
Дестинация |
Транспортен план |
Честотна лента |
Задача за линейно програмиране за максимизиране на потока.Нека формулираме проблема с максималния поток от гледна точка на линейното програмиране. Позволявам X км- обем на превоза от пункта ДА СЕда посоча М. Съгласно фиг.8 ДА СЕ = 0,1,2,3, М= 1,2,3,4, като транспортирането е възможно само до точката с по-висок номер. Това означава, че има общо 9 променливи X км, а именно х 01 , х 02 , х 03 , х 12 , х 13 , х 14 , х 23 , х 24 , х 34. Проблемът с линейното програмиране, насочен към максимизиране на потока, е:
Е→ макс.,
х 01 + х 02 + X 03 = Е (0)
- X 01 + х 12 + х 13 + х 14 = 0 (1)
- х 02 - X 12 + х 23 + х 24 = 0 (2)
- х 03 - х 13 - X 23 + х 34 = 0 (3)
- х 14 - х 24 - х 34 = -Е (4)
х 01 ≤ 2
х 02 ≤ 3
х 03 ≤ 1
х 12 ≤ 4
х 13 ≤ 1
х 14 ≤ 3
х 23 ≤ 1
х 24 ≤ 2
х 34 ≤ 2
X км ≥ 0 , К, М = 0, 1, 2, 3, 4
Е ≥ 0 .
Тук Е- целева функция, условие (0) описва влизането на стоки в транспортната система. Условия (1) - (3) определят балансовите отношения за възли 1-3 на системата. С други думи, за всеки от вътрешните възли входящият поток от стоки е равен на изходящия поток; стоките не се натрупват вътре в системата и не се „раждат“ в нея. Условие (4) е условието за “излизане” на товарите от системата. Заедно с условие (0) това представлява балансова връзка за системата като цяло („вход“ е равен на „изход“). Следните девет неравенства поставят ограничения върху капацитета на отделните „клонове“ на транспортната система. След това в системата от ограничения на задачата за линейно програмиране се посочва неотрицателността на обемите на трафика и целевата функция. Ясно е, че последното неравенство следва от формата на целевата функция (връзка (0) или (4)) и неотрицателността на обемите на трафика. Последното неравенство обаче носи обща информация - през системата може да премине или положителен, или нулев обем товар (например, ако има движение в кръг в рамките на системата), но не и отрицателен (това не прави икономически смисъл, но официалният математически модел за това „не знае“).
За разнообразието от оптимизационни проблеми.Голямо разнообразие от оптимизационни проблеми възниква при различни проблеми за вземане на решения. За решаването им се използват определени методи, точни или приблизителни. Оптимизационните проблеми често се използват в теоретичните икономически изследвания. Достатъчно е да си припомним оптимизирането на икономическия растеж на една страна с помощта на матрицата входно-изходни ресурси на Василий Леонтиев или микроикономическите проблеми за определяне на оптималния обем на продукцията въз основа на функция на разходите при фиксирана цена (или при монополни условия) или минимизиране на разходите за дадена продукция обем чрез избор на оптимално съотношение на производствените фактори (като се вземе предвид заплащането за тях).
В допълнение към гореспоменатите методи за решаване на оптимизационни проблеми, припомнете си, че гладките функции се оптимизират чрез приравняване на производната на 0 (за функции на няколко променливи - частични производни). Ако има ограничения, се използват множители на Лагранж. Тези методи обикновено се преподават в курсове по висша математика и затова са пропуснати тук.
Интерес представляват оптимизационни проблеми с размити променливи, както и оптимизационни проблеми, възникващи в иконометрията. Те са разгледани в съответната литература.
Литература
1. Гас С. Пътуване в страната на линейното програмиране / Прев. от английски - М.: Мир, 1973. - 176 с.
2. Кофман А., Форе Р. Да направим изследване на операциите / Прев. от френски - М,: Мир, 1966. -280 с.
3. Белов В.В., Воробьов Е.М., Шаталов В.Е. Теория на графите. - М.: Висше училище, 1976. - 392 с.
4. Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А. Теория на графите в управлението на организационни системи. – М.: Синтег, 2001. – 124 с.
5. Орлов А.И. Оптимизационни проблеми и размити променливи. – М.: Знание, 1980. – 64 с.
6. Орлов А.И. Иконометрия. – М.: Издателство „Експертиза”, 2002. – 576 с.
Проблеми на методите за вземане на решения
1. Начертайте ограниченията на задача за линейно програмиране върху равнината и решете (графично) тази задача:
400 У 1 + 450 У 2 → мин.,
5 У 1 + 10 У 2 ≥ 45,
20 У 1 + 15 У 2 ≥ 80,
У 1 ≥ 0, У 2 ≥ 0.
2. Решете проблема с линейното програмиране:
У 1 + 5 W 2 → макс.
0,1 У 1 + У 2 ≤ 3,8 ,
0,25 У 1 + 0,25 У 2 ≤ 4,2 ,
У 1 ≥ 0, W 2 ≥ 0.
3. Решете задача с целочислено програмиране:
10 х + 5 U→ макс.
8х + 3 U ≤ 40,
3 х + 10 U ≤ 30,
х ≥ 0 , U ≥ 0 , хи Y са цели числа.
4. Решете проблема с раницата:
х 1 + X 2 + 2 X 3 + 2 х 4 + X 5 + X 6 → макс.
0,5х 1 +х 2 + 1,5 х 3 + 2х 4 + 2,5х 5 + 3х 6 ≤ 3.
Контролни параметри X k,к= 1,2,…, 6, вземат стойности от набор, съдържащ два елемента - 0 и 1.
5. Транспортната мрежа (с указание на разстоянията) е показана на фиг. 9. Намерете най-краткия път от точка 1 до точка 4.
|
|
Фиг.9. Входни данни за задачата за най-краткия път.
7. Решете задачата на пътуващия търговец за четири града (маршрутът трябва да е затворен и да не съдържа повторни посещения). Пътните разходи са показани в таблица 7.
Таблица 7.
Входни данни за задачата на пътуващия търговец
|
Град на заминаване |
Град дестинация |
Пътни разходи |
8. Как да изпратим максимално количество товар от начална точка 1 до крайна точка 8, ако капацитетът на маршрутите между точките на транспортната мрежа (фиг. 10) е ограничен (таблица 8)?
Фиг.9. Транспортна мрежа за проблем с максималния поток.
Таблица 8.
Изходни данни за задачата за максимален поток
|
Отправна точка |
Дестинация |
Честотна лента |
Теми на доклади и резюмета
1. Класификация на оптимизационните проблеми на вземането на решения.
2. Оптимални решения по Парето.
3. Проблеми с многокритериално вземане на решения: различни методи за свиване на критерии.
4. Оптимизационни проблеми и размити променливи (базирани на работа).
5. Моделиране и експертни оценки при вземане на решения.
6. Интерактивни системи за вземане на решения.
7. Методи за отчитане на неопределеността при вземане на решения: вероятностни модели, теория на размиването, интервална математика.
8. Иконометрични методи за вземане на решения (въз основа на монографията).
9. Симулационно моделиране и метод на статистическо тестване (Монте Карло) при вземане на решения.
11. Методи на теорията на игрите (теория на конфликтите), ролята на информацията и равновесието на Наш в теорията на решенията.
12. Проблеми на комбинираното използване на различни методи в конкретна приложна работа.
13. Информационни технологии за подпомагане на вземането на решения.
| Предишен |
ВЪВЕДЕНИЕ
ВЪВЕДЕНИЕ В МЕТОДИИТЕ ЗА ОПТИМИЗАЦИЯ
2. ОСНОВИ НА ТЕОРИЯТА ЗА ОПТИМИЗАЦИЯТА
2.1 Параметри на плана
2.2 Целева функция (план)
3. ФУНКЦИЯ НА ЕДНА ПРОМЕНЛИВА
3.1 Дефиниция на функция на една променлива и нейните свойства
3.2 Изследване на функцията в икономиката. Намиране на максимална печалба
3.3 Дефиниция на глобален екстремум
3.4 Изпъкнали, вдлъбнати функции
3.5 Критерий за оптималност
3.6 Идентифициране на оптимуми
4. ЕДНОМЕРНА ОПТИМИЗАЦИЯ
4.1 Методи за елиминиране на интервали
4.1.1 Метод на сканиране
4.1.2 Метод за разделяне на сегмент наполовина
4.1.3 Метод на златното сечение
4.1.4 Сравнителни характеристики на методите за изключване на интервали
4.2 Методи за полиномна апроксимация и точкова оценка
4.2.1 Метод на параболична апроксимация
4.2.2 Метод на Puell
4.3 Сравнение на методите за едномерно търсене
5. ФУНКЦИИ НА МНОГО ПРОМЕНЛИВИ
5.1 Функции на много променливи, тяхното обозначение и област на дефиниране
5.2 Някои многомерни функции, използвани в икономиката
5.3 Частни производни на многопроменливи функции
5.4 Икономически смисъл на частните производни
5.5 Частични производни от по-висок порядък
5.6 Свойства на функция на няколко променливи
5.7 Производна по посока. Градиент. Линии на функционално ниво
5.8 Екстремум на функция на няколко променливи
6. МНОГОИЗМЕРНА ОПТИМИЗАЦИЯ НА БЕЗУСЛОВЕН ГРАДИЕНТ
6.1 Понятие за методи
6.2 Метод на градиентно спускане
6.3 Метод на най-стръмното спускане
7. КРИТЕРИИ ЗА ОПТИМАЛНОСТ ПРИ ЗАДАЧИ С ОГРАНИЧЕНИЯ
7.1 Задачи с ограничения под формата на равенства
7.2 Множители на Лагранж
7.3 Икономическа интерпретация на множителите на Лагранж
7.4 Условия на Kuhn-Tucker
7.4.1 Условия на Kuhn-Tucker и проблемът на Kuhn-Tucker
7.5 Теореми на Кун-Тъкър
7.6 Условия за съществуване на седлова точка
8. МОДЕЛИ НА ДИНАМИЧНО ПРОГРАМИРАНЕ
8.1 Предмет на динамичното програмиране
8.2 Постановка на проблема с динамичното програмиране
8.3 Принцип на оптималност и математическо описание на процеса на динамично управление
8.4 Обща схема на приложение на метода на динамичното програмиране
8.5 Двуизмерен модел на разпределение на ресурсите
8.6 Дискретен динамичен модел на оптимално разпределение на ресурсите
8.7 Избор на оптимална стратегия за надграждане на хардуера
8.8 избор на оптимален маршрут за превоз на товари
8.9 Изграждане на оптимална последователност от операции в търговската дейност
ПРАВИЛА ЗА ИЗПЪЛНЕНИЕ И РЕГИСТРАЦИЯ НА ИЗЧИСЛИТЕЛНИ И ГРАФИЧНИ ЗАДАЧИ
ИЗЧИСЛИТЕЛНО-ГРАФИЧНА ЗАДАЧА 1
ИЗЧИСЛИТЕЛНО-ГРАФИЧНА ЗАДАЧА 2
ИЗЧИСЛИТЕЛНО-ГРАФИЧНА ЗАДАЧА 3
ЛИТЕРАТУРА
ВЪВЕДЕНИЕ
Математизирането на различни области на знанието в момента не е нещо ново. Широкото въвеждане на математически методи в голямо разнообразие от области на дейност днес вече не изненадва никого. Това са не само технически и икономически науки, където тези методи отдавна дават плодове, но и различни приложни управленски науки, които сега се развиват: управление, вземане на управленски решения, социално-икономическо прогнозиране и др.
Приложните науки се развиват по свой начин, като използват съществуващия математически апарат за решаване на възникващи проблеми и дори със своите нужди стимулират развитието на определени клонове на математиката.
Това ръководство е предназначено за студенти от икономически специалности, изучаващи методи за оптимизация. Тъй като за успешното усвояване на материала в този курс са необходими определени минимални познания по висша математика, ръководството покрива тези точки. Материалът е придружен от съответните икономически приложения. Когато приложенията в икономиката са от самостоятелен интерес, те са разделени в специални раздели.
Учебникът не замества съществуващите академични учебници, които са посветени на математическите аспекти на изчислителните методи. Основната задача е да се запознаете с изчислителните методи като инструмент за решаване на проблеми, да получите ясно разбиране на логическата структура на представените методи, както и техните сравнителни предимства и недостатъци.
При работа с помагалото ученикът първо се запознава с теоретичния материал, след което изучава практическата част, която се намира непосредствено след теоретичната част във всеки раздел. Всяка глава съдържа контролни въпроси, върху които ученикът може да упражнява самоконтрол. След това студентът преминава към изпълнение на контролната работа, предвидена в програмата. След това тестовата работа се изпраща за преглед. Ако рецензентът открие грешки или идентифицира пропуски в знанията, се препоръчва отново да се върнете към съответните раздели и да обработите отново материала до пълно усвояване.
Учебно-практическо ръководство за системата за дистанционно обучение по дисциплината „Методи за оптимизация и теория на управлението“ е предназначено за самостоятелна работа на студентите с нестационарна форма на контрол на знанията.
Като част от дисциплината три изчислителни и графични задачи се изпълняват от студентите по време на петгодишен курс на обучение; студентите, които се обучават 3,5 години, изпълняват две изчислителни и графични задачи - втората и третата. Решаването на подобни проблеми е разгледано в теоретичната и практическата част на ръководството.
След завършване на курса студентите полагат тест. Въпросите за теста са съставени въз основа на контролните въпроси, посочени в края на всеки раздел от ръководството.
Глава 1. ВЪВЕДЕНИЕ В МЕТОДИИТЕ ЗА ОПТИМИЗАЦИЯ
Терминът „оптимизация“ има много широка употреба и следователно може да зависи от контекста. Оптимално (от лат. optimum - най-доброто) - набор от най-благоприятни условия; най-добрият вариант за решаване на проблем или начин за постигане на цел при дадени условия и ресурси. Икономически оптимум в широк смисъл - най-ефективното функциониране на производството, в тесен смисъл - най-доброто използване на материалните ресурси, което постига възможния максимален производствен ефект или възможните минимални разходи.
Оптимизацияе процесът на избор на най-добрия вариант или процесът на привеждане на системата в най-доброто (оптимално) състояние, който се състои от намиране на всички максимизиращи или минимизиращи елементи или седлови точки. Оптимизацията е в основата на икономическия анализ. В пасивните икономически модели (като тези, които изучават общото равновесие), ние се интересуваме от оптималното поведение на вземащия решения. При активните модели (като моделите за ефективен растеж) ние самите сме заинтересовани от получаването на оптимума. През последните години се наблюдава тенденция към преминаване от входно-изходни модели към модели за анализ на производствените процеси, от прости модели на растеж към модели, които изучават траектории на оптимален и ефективен растеж.
Методи за оптимизация– много широко приложение в практиката намират методите за търсене на екстремума на функция (в практическите задачи – критерии за оптималност) с или без ограничения. Това е на първо място оптимален дизайн (избор на най-добрите номинални технологични режими, структурни елементи, структура на технологични вериги, условия на икономическа дейност, повишаване на рентабилността и т.н.), оптимално управление на изграждането на нематематически модели на управление обекти (минимизиране на несъответствията между различните структури на модела и реалния обект) и много други аспекти на решаване на икономически и социални проблеми (например управление на запасите, трудови ресурси, потоци на трафик и др.).
Методите за оптимизация са клон на математическото моделиране.
Тези теми обхващат широк спектър от различни проблеми на математическото моделиране, които възникват при изучаване на реални обекти на промишленото производство, икономически, финансови и други проблеми.
Модел- това е материален или мислено въображаем обект, който в процеса на изследване замества оригиналния обект, така че директното му изучаване дава нови знания за оригиналния обект.
За да се използват математическите резултати и числените методи на теорията на оптимизацията за решаване на конкретни проблеми, е необходимо:
· установяване на границите на системата за оптимизиране;
· определяне на количествен критерий, въз основа на който е възможно да се анализират вариантите, за да се идентифицира „най-добрият“;
· изберете вътрешносистемни променливи, които се използват за определяне на характеристики и идентифициране на опции;
· изграждане на модел, отразяващ връзките между променливите.
Тази последователност от действия съставлява съдържанието процес на формулиране на оптимизационен проблем .
Нека разгледаме някои проблеми на математическото моделиране, срещани в практически дейности, в смислена, а не формална математическа интерпретация.
Проблеми на оптималното разпределение на ресурсите.Най-общо тези задачи могат да бъдат описани по следния начин. Има определено количество ресурси, което може да се разбира като парични средства, материални ресурси (например суровини, полуфабрикати, трудови ресурси, различни видове оборудване и др.). Тези ресурси трябва да бъдат разпределени между различни обекти на тяхното използване в отделни периоди от време или между различни обекти по такъв начин, че да се получи максимална обща ефективност от избрания метод на разпределение. Показателят за ефективност може да служи например за печалба, продаваеми продукти, капиталова производителност (задачи за максимизиране на критерия за оптималност) или общи разходи, цена, време за изпълнение на даден обем работа и др. (проблеми на минимизиране на критерия за оптималност).
Има първоначален размер на средствата P 0, които трябва да бъдат разпределени на Пгодини между Спредприятия. Средства и ki (k = 1,..., n; i = 1,..., S), подчертано в к-мгодина i-топредприятие, генерира доход в размер f ki (u ki)и до края на годината се връщат като количество j ki (u ki). В последващото разпределение доходите могат да участват (частично или изцяло) или да не участват.
Необходимо е да се определи такъв метод на разпределение на ресурсите (размера на средствата, разпределени за всяко предприятие през всяка планова година), така че общият приход от Спредприятия за Пгодини беше максимумът. Следователно, като индикатор за ефективността на процеса на разпределение на ресурсите за Пгодини, общият доход получен от Спредприятия:
Брой ресурси в началото kthгодини ще се характеризира със стойността Pn 1(параметър на състоянието). Управление на k-обемстъпка е да изберете променливи u k 1, u k 2, …, u ks, като се посочват ресурсите, разпределени за k-обемгодина i-токъм предприятието.
Ако приемем, че доходът не участва в по-нататъшното разпределение, тогава уравнението на състоянието на процеса има формата
Ако някаква част от дохода участва в по-нататъшно разпределение през която и да е година, тогава съответната стойност се добавя към дясната страна на последното равенство.
Трябва да се определи n sнеотрицателни променливи и ки,удовлетворяващи условия (2) и максимизираща функция (1).
Оптимално управление на запасите.Класът проблеми, които разглеждат оптималното управление на запасите, е един от най-сложните. Това се дължи на факта, че при проблемите с управлението на запасите процесът естествено се развива във времето, а управлението се състои в това, че се взема решение за даден период от време, като се вземе предвид състоянието, до което системата е достигнала в предишни периоди. В допълнение, тези проблеми са свързани, като правило, с дискретния характер на променливите и следователно са доста трудни за решаване.
Проблемът с управлението на запасите е една от най-важните области на практическото приложение на икономическите и математическите методи, включително методите на математическото програмиране.
При формулирането на проблемите за управление на запасите се използват следните понятия.
резерви -Това са всякакви парични или материални активи, които периодично се попълват (произведат, доставят и т.н.) и се съхраняват за известно време с цел изразходването им в следващи периоди от време. Нивото на запасите във всеки един момент се определя от първоначалното ниво на запасите плюс попълване и минус потребление за периода от време от началния момент до текущия.
Управлението на запасите като цяло се състои в повлияване на връзката между два основни фактора – попълване и потребление. Целта на управлението е да оптимизира някакъв критерий в зависимост от разходите за съхранение на материалните запаси, разходите за доставки, разходите, свързани с попълване, глоби и др.
В такава обща формулировка подобни проблеми могат да имат голямо разнообразие от практически приложения. Например инвентарът може да се разбира като продукти на компанията, които се произвеждат непрекъснато (попълване) и се изпращат до потребителите в определени отделни партиди (потребление). В този случай се приема, че търсенето на продукти е предварително определено (детерминирано търсене) или подложено на случайни колебания (стохастичен проблем). Управлението на запасите се състои от определяне на размера на необходимата продукция за задоволяване на дадено търсене. Целта е да се минимизират общите разходи за съхранение и попълване на запасите.
Материалните запаси могат да се разбират като запаси от суровини или други материали, доставени на отделни партиди (попълване), които са предназначени да осигурят непрекъснато потребление по време на производствения процес (разходи). Критерият за оптималност може да бъде общите разходи за съхранение на материални запаси, замразяване на оборотен капитал и доставка на материални запаси.
Наличностите могат да бъдат стоки, доставени на магазин в определени количества и предназначени да задоволят непрекъснати, но подлежащи на случайни колебания в търсенето на клиентите. Критерият за оптималност са общите разходи за доставки, съхранение на материални запаси и промени в производствения ритъм; връзка с вариациите в търсенето.
Материалните запаси могат да бъдат и сезонни стоки, съхранявани в склад с ограничен капацитет. Стоките могат да се купуват и продават в различни количества на цени, които се променят с времето. Проблемът е да се определят политиките за закупуване и продажба, които осигуряват максимална обща печалба, и е пример за проблем със складирането.
Проблеми със замяната.Един от важните икономически проблеми, с които се среща в практиката, е определянето на оптималната стратегия за подмяна на стари машини, производствени сгради, агрегати, машини и т.н., с други думи на старо оборудване с ново.
Стареенето на оборудването включва неговото физическо и морално износване, в резултат на което производствените разходи за производство на продукти на старо оборудване се увеличават, разходите за ремонт и поддръжка се увеличават, като същевременно намалява производителността и така наречената ликвидна стойност.
Идва момент, когато е по-изгодно да се продаде старо оборудване и да се замени с ново, отколкото да се експлоатира на големи разходи. В този случай оборудването може да бъде заменено или с ново оборудване от същия тип, или с ново, по-модерно технически оборудване, като се вземе предвид техническият прогрес.
Оптималната стратегия за подмяна на оборудването е да се определи оптималното време за подмяна. Критерият за оптималност при определяне на времето за подмяна може да бъде или печалбата от експлоатацията на оборудването, която трябва да бъде максимизирана, или общите оперативни разходи за разглеждания период от време, които трябва да бъдат сведени до минимум.
Проблеми на оптималното управление.Обикновено този тип проблеми включват задачи, свързани с намиране на непрекъснато управляващо действие, разпределено във времето. В икономиката това са преди всичко проблеми на прогнозиране на тенденциите на развитие, дългосрочни инвестиции и т.н. Например проблемът за оптимизиране на общия фонд на потребление, където размерът на инвестициите като функция на времето се разглежда като контролно влияние (проблемът може да се формулира със или без отчитане на инвестиционния лаг), проблемът за максимизиране на дисконтираното потребление и др.
Всички споменати класове проблеми (и техният състав далеч не е пълен) изискват използването на специални математически методи на линейно и нелинейно програмиране, динамично програмиране, принципа на максимума и някои други за тяхното решаване. Неразделна част от изчислителната работа при решаването на разглежданите задачи могат да бъдат проблемите за решаване на нелинейни уравнения и техните системи, изчисляване на интеграли, решаване на диференциални уравнения и др.
Има доста голям брой числени методи за оптимизация. Основните могат да бъдат класифицирам по следния начин:
· според измерението на решавания проблем: едномерни и многомерни;
Според метода на формиране на стъпки многомерните методи се разделят на следните типове:
q градиент:
o по метода на изчисляване на градиента: със сдвоена проба и с централна проба;
o според алгоритъма за корекция на височината;
o според алгоритъма за изчисляване на нова точка: едностъпкови и многостъпкови;
q без градиенти: с редуващи се промени на променливите и с едновременни промени на променливите;
q произволно търсене: с чисто произволна стратегия и със смесена стратегия;
· според наличието на активни ограничения;
· без ограничения (безусловно);
· с ограничения (условно);
· с ограничения като равенство;
· с ограничения като неравенства;
· смесени.
Методите за едномерна оптимизация са в основата на някои „многоизмерни“ методи. При многомерната градиентна оптимизация се изгражда подобряваща последователност в зависимост от скоростта на промяна на критерия в различни посоки. В този случай под подобряваща последователност имаме предвид следната последователност x 0, x 1, …, x i, …,във всяка точка от които стойността на критерия за оптималност е по-добра от предходната. При безградиентни методи величината и посоката на стъпката към оптимума при конструирането на подобряваща последователност се формира уникално според определени детерминистични функции в зависимост от свойствата на критерия за оптималност в близост до текущата точка, без да се използват производни (т.е. градиент ). Случайните методи се използват при проблеми с голяма размерност. Многовариантната условна оптимизация взема предвид активните ограничения, изразени като равенства и неравенства. Във всяка от разглежданите области има голям брой методи, които имат своите предимства и недостатъци, които зависят преди всичко от свойствата на функциите, чийто екстремум се търси. Един от сравнителните показатели за качеството на метода е броят на функционалните стойности, които трябва да бъдат изчислени, за да се реши проблем с дадена грешка. Колкото по-малко е това число, толкова по-ефективен е методът при равни други условия.
В теоретичните и математическите проблеми е обичайно да се разглеждат оптимизационните проблеми като проблеми за намиране на минимума на функция. Дори методите имат общо име - методи за спускане. Въпреки това, когато се решават реални практически проблеми, много често има максимални проблеми (например максимизиране на доходите, обема на продукцията и т.н.). Разбира се, лесно е да се премине от един тип екстремум към друг чрез промяна на знака на критерия за оптималност, но това не винаги се прави в приложни нематематически задачи, за да не се загуби смисловата нишка на проблема.
Въпроси към глава 1
1. Защо е необходимо да се използва математика в икономиката?
2. Какво е математически модел?
3. Как се изгражда математически модел на икономическо явление и обект? Дайте пример за изграждане на модел.
4. Какво е оптимизация?
5. Какви методи за оптимизация съществуват?
6. Какви икономически проблеми се решават чрез оптимизационни методи?
Глава 2. ОСНОВИ НА ТЕОРИЯТА ЗА ОПТИМИЗАЦИЯ
Терминът "оптимизация" обозначават процес, който позволява да се получи усъвършенствано решение. Въпреки че крайната цел на оптимизацията е да се намери най-доброто или „оптималното“ решение, човек обикновено трябва да се примири с подобряването на познатите решения, вместо да ги усъвършенства. Следователно оптимизацията се разбира по-скоро като желание за съвършенство, което може да не бъде постигнато.
Разглеждане на описана произволна система муравнения с ннеизвестен, могат да се разграничат три основни типа проблеми:
· Ако m = n, Че чПроблемът се нарича алгебричен. Такава задача обикновено има единствено решение;
· Ако m > n, тогава задачата се предефинира, като правило, няма решения;
· Ако м< n , тогава проблемът е недостатъчно определен, има безкрайно много решения.
На практика най-често се сблъскваме с проблеми от третия тип.
Нека въведем няколко определения.
2.1. Опции за планиране
Определение. Опции за планиране– това са независими променливи параметри, които напълно и еднозначно определят проблема, който се решава.
Това са неизвестни величини, чиито стойности се изчисляват по време на процеса на оптимизация. Всички основни или производни величини, които служат за количествено описание на системата, могат да служат като параметри на дизайна.
Например,Стойностите на дължината, масата, времето и температурата могат да се считат за параметри.
Броят на проектните параметри характеризира степента на сложност на даден проектен проблем.
Нотация.Обикновено броят на проектните параметри се обозначава с n, x– самите проектни параметри със съответните индекси
x 1, x 2, …, x n – nпроектни параметри на проблема.
2.2. Целева функция (план)
Определение. Целева функция– израз, чиято стойност се стремим да направим максимална или минимална.
Целевата функция ви позволява да сравните количествено две алтернативни решения. От математическа гледна точка целевата функция описва някои (n+1)-дименсионна повърхност.
1) Ако има само един проектен параметър, тогава целевата функция може да бъде представена чрез крива в равнината (фиг. 1).
2) Ако има два проектни параметъра, тогава целевата функция ще бъде изобразена като повърхност в триизмерно пространство (фиг. 2).
Определение.С три или повече проектни параметъра се извикват повърхнините, определени от целевата функция хиперповърхности и не могат да бъдат изобразени с конвенционални средства.
Целевата функция в редица случаи може да бъде представена:
· частично гладка функция;
· маса;
· само цели числа;
· две стойности – да или не (дискретна функция).
В каквато и форма да е представена целевата функция, тя трябва да бъде недвусмислена функция на проектните параметри.
Редица оптимизационни проблеми изискват въвеждането на повече от една целева функция. Понякога един от тях може да е несъвместим с другия. Пример за това е дизайнът на въздухоплавателни средства, където едновременно се изискват максимална здравина, минимално тегло и минимални разходи. В такива случаи проектантът трябва да въведе приоритетна система. Резултатът е „компромисна функция“, която позволява използването на една съставна целева функция по време на процеса на оптимизация.
Въпроси към глава 2
1. Какви са параметрите на плана?
2. Дайте примерни параметри на плана.
3. Дефинирайте целевата функция.
4. Как се изобразява целевата функция?
Оптимизацията включва определяне на стойностите на регулируемите параметри (с ограничения), водещи до екстремна стойност на оптимизирания параметър. Функцията, изразяваща параметъра, който се оптимизира, се нарича целева функция. По този начин елементите на оптимизационния проблем са целевата функция, ограниченията и регулируемите параметри. Методите за математическа оптимизация описват начини за намиране на параметри, които максимизират (или минимизират) целева функция при различни ограничения.
В най-общ смисъл теорията за вземане на оптимални решения е набор от математически и числени методи, насочени към намиране на най-добрите варианти от множество алтернативи и избягване на пълното им търсене.
Въпреки факта, че методите за вземане на решения са универсални, тяхното успешно приложение до голяма степен зависи от професионалната подготовка на специалист, който трябва да има ясно разбиране за специфичните характеристики на изследваната система и да може правилно да формулира проблема. Изкуството на поставяне на проблеми се учи чрез примери за успешно реализирани разработки и се основава на ясно разбиране на предимствата, недостатъците и спецификите на различните методи за оптимизация. В първо приближение можем да формулираме следната последователност от действия, които съставляват съдържанието на процеса на формулиране на проблема:
· установяване на границата на системата за оптимизиране, т.е. представяне на системата като някаква изолирана част от реалния свят. Разширяването на границите на системата увеличава размерите и сложността на многокомпонентната система и по този начин усложнява нейния анализ. Следователно в инженерната практика трябва да се разлагат сложни системи на подсистеми, които могат да се изучават отделно, без да се опростява прекалено реалната ситуация;
· определяне на показател за ефективност, на базата на който могат да бъдат оценени характеристиките на дадена система или нейния дизайн, за да се идентифицира „най-добрият“ дизайн или набор от „най-добри“ условия за функциониране на системата. В инженерните приложения обикновено се избират показатели от икономическо (разходи, печалба и др.) или технологично (производителност, енергоемкост, материалоемкост и др.) естество. „Най-добрата“ опция винаги съответства на екстремната стойност на индикатора за производителност на системата;
· избор на вътрешносистемни независими променливи, които трябва адекватно да описват приемливи проекти или условия на работа на системата и да помогнат да се гарантира, че всички най-важни технически и икономически решения са отразени във формулирането на проблема;
· изграждане на модел, който описва връзките между променливите на задачата и отразява влиянието на независимите променливи върху стойността на показателя за изпълнение. В най-общия случай структурата на модела включва основните уравнения на материалния и енергийния баланс, връзките, свързани с проектните решения, уравненията, описващи физическите процеси, протичащи в системата, неравенствата, които определят обхвата на допустимите стойности на независими променливи и задайте ограничения на наличните ресурси. Елементите на модела съдържат цялата информация, която обикновено се използва за изчисляване на проект или прогнозиране на ефективността на комунална система. Очевидно процесът на изграждане на модел е много трудоемък и изисква ясно разбиране на специфичните характеристики на разглежданата система.
Всички оптимизационни задачи имат обща структура. Те могат да бъдат класифицирани като проблеми с минимизиране (максимизиране) на M-векторен индикатор за ефективност Wm(x), m=1,2,...,M, N-мерен векторен аргумент x=(x1,x2,..., xN), чиито компоненти удовлетворяват системата от ограничения за равенство hk(x)=0, k=1,2...K, ограничения за неравенство gj(x)>0, j=1,2,...J, регионални ограничения xli Всички проблеми за вземане на оптимални решения могат да бъдат класифицирани според вида на функциите и измеренията Wm(x), hk(x), gj(x) и размерността и съдържанието на вектора x: · едноцелево вземане на решения - Wm(x) - скаларно; · многоцелево вземане на решения - Wm(x) - вектор; · вземане на решение при условия на сигурност - изходните данни са детерминирани; · вземане на решения в условията на несигурност – изходни данни – произволни. Най-развит и широко използван в практиката е апаратът за едноцелево вземане на решения при условия на сигурност, който се нарича математическо програмиране. Нека разгледаме процеса на вземане на решения от най-общи позиции. Психолозите са установили, че вземането на решения не е първоначалният процес на творческа дейност. Оказва се, че актът на решение е непосредствено предшестван от фин и обширен процес на мозъка, който формира и предопределя посоката на решението. Този етап, който може да се нарече „предварително решение“, включва следните елементи: · мотивация, тоест желанието или необходимостта да се направи нещо. Мотивацията определя целта на дадено действие, като използва целия минал опит, включително резултатите; · възможност за неяснота на резултатите; · възможността за неяснота в начините за постигане на резултати, тоест свобода на избор. След този предварителен етап следва същинският етап на вземане на решение. Но процесът не свършва дотук, защото... Обикновено след вземане на решение следва оценка на резултатите и корекция на действията. Следователно вземането на решение не трябва да се възприема като еднократен акт, а като последователен процес. Разпоредбите, посочени по-горе, са от доста общ характер, обикновено се изучават подробно от психолози. От гледна точка на инженера, следната диаграма на процеса на вземане на решение ще бъде по-близка. Тази верига включва следните компоненти: · анализ на изходната ситуация; · анализ на възможностите за избор; · избор на решение; · оценка на последиците от решението и коригирането му. UDC 711.4 МАЗАЕВ А. Г Методи и критерии за оптимизация в съвременната теория на селищата Статията разглежда концепцията за оптимизация в градоустройството. Показан е произходът на термина „оптимизация“, връзката му с основните термини в областта на методологията на науката и по-специално икономиката. Показани са възможностите за по-нататъшно развитие на концепцията за оптимизация в градоустройството. Като заключение се предлага набор от критерии за оптимизация, приложени към градското планиране. Ключови думи: оптимизация в градоустройството, теория на оптимизацията, критерии и методи за оптимизация, критерий на Парето. МЕТОДИ И КРИТЕРИИ ЗА ОПТИМИЗАЦИЯ В СЪВРЕМЕННАТА ТЕОРИЯ ЗА СЕЛАНЕТО В клаузата се разглежда концепцията за оптимизация на градоустройството. Показан е произходът на термина оптимизация, връзката му с основните понятия в областта на методологията на науката, икономиката. Разглеждат се възможностите за развитие на концепцията за оптимизация в съвременното градоустройство. Предлага се съвкупността от критерии за оптимизация, възможна в съвременната градоустройствена дейност. Ключови думи: оптимизация в градоустройството, теория на оптимизацията, критерии и методи за оптимизация, критерий Парето. Мазаев Антон Григориевич кандидат по архитектура, съветник на RAASN, ръководител. Лаборатория на клона на Федералната държавна бюджетна институция "ЦНИИП Министерство на строителството на Русия" УралНИИпроект електронна поща: [имейл защитен] Целта на тази статия е да представи теоретично разглеждане на понятието „оптимизация” по отношение на градоустройствени обекти – градове и селищни системи. Оптимизирането на заселването на голям регион на Русия по примера на Уралския федерален окръг е темата на научното изследване, проведено от автора. Актуалността на тази тема е свързана с неотложния въпрос за рационализиране на развитието на регионалните селищни системи на Националната система на Русия, чието развитие стана неконтролируемо и небалансирано. Методологията за разработване на темата се основава на теорията за геополитическото развитие на селищата, която се формира в момента. Концепцията за оптимизация в съвременната наука Необходимо е да се изясни концепцията за оптимизация в теорията на науката и след това да се даде нейната дефиниция във връзка с теорията на сетълмента. Първоначално терминът „оптимизация“ възниква в математиката: „Оптимизацията е в математиката, компютърните науки и изследването на операциите проблемът за намиране на екстремума (минимум или максимум) на целева функция в някаква област на крайномерно векторно пространство, ограничено от набор от линейни и/или нелинейни равенства и/или неравенства. Изучава теория и методи за решаване на оптимизационни задачи математическо програмиране... (То) се занимава с математически методи за решаване на проблеми за намиране на най-добрите варианти от всички възможни.” Великата съветска енциклопедия пояснява: „Оптимизацията е процес на намиране на екстремума (глобален максимум или минимум) на определена функция или избор на най-добрия (оптимален) вариант от много възможни. Най-надеждният начин да се намери най-добрият вариант е сравнителна оценка на всички възможни варианти (алтернативи).“ С други думи, може да има много критерии за оптимизация за едно и също явление, система. Можете да оптимизирате всичко и според значителен брой критерии за оптимизация. Освен това тези критерии могат да бъдат в конфликт помежду си и за оптимизация е необходимо да се вземе решение за тях, в противен случай решението на проблема с оптимизацията ще се окаже неправилно, тоест невярно, опасно и неефективно. Източниците интерпретират съдържанието на оптимизацията по различен начин, въз основа на целите и задачите на определена научна дисциплина. Например икономическият речник тълкува тази концепция по следния начин: „Оптимизацията е определянето на стойностите на икономическите показатели, при които се постига оптимумът, тоест оптималното, най-доброто състояние на системата. Най-често оптимумът съответства на постигане на най-висок резултат при даден разход на ресурси. или постигане на даден резултат с минимални разходи за ресурси.” С други думи, оптимизацията е свързана с разходите за ресурси и ефективността на тяхното използване. Концепцията за оптимизация в икономическата теория Именно в икономиката проблемите на оптимизацията се поставят най-често като наболял научен и практически проблем. В рамките на икономическите теории се развива развита теория на оптимизацията, като икономиката и теорията на сетълмента имат сходен обект на изследване - обществото като цяло, неговите икономически потребности, с тази разлика, че теорията на сетълмента се занимава с пространствен аспект на човешкия живот. Икономистите дават голям брой дефиниции на оптимизациите, които могат да бъдат разширени до въпроси от теорията на сетълмента. „Оптимизация – максимизиране на икономическото благосъстояние на обществото спрямо макроикономическите цели”. Оттук можем да извлечем разбиране за оптимизацията като натрупване на определен ресурс, който се идентифицира с добро. В този случай говорим за икономическо благосъстояние като ключово благо, а оптимизацията е свързана с постигане не на оптимална стойност или набор от стойности, а неограничено увеличение на това благо. Най-обемната и дълбока дефиниция на оптимизацията беше дадена по едно време от В. Парето: „... Всяка промяна, която не причинява загуби на никого и която носи ползи за някои хора (според собствената им оценка) е подобрение.“ Този критерий има много широко значение: той се използва при решаване на такива проблеми, когато оптимизацията означава подобряване на някои показатели, при условие че други не се влошават, както и когато се прилага композиционен подход за изграждане на план за развитие на икономическа система, като се вземат предвид отчитат интересите на съставящите го подсистеми (групи).икономически обекти). Горната дефиниция може да се формализира със следното твърдение: състоянието на икономиката S* се счита за по-добро, според В. Парето, от друго състояние B1, ако поне един икономически субект предпочита S*, а всички останали поне не прави разлика между тези състояния, но в същото време няма хора, които предпочитат 81; според В. Парето състояние 8* е безразлично към състояние B1, ако всички икономически субекти не правят разлика между тях; накрая, оптимално е, ако няма възможно състояние на икономиката, което да е по-добро от това. Критерият за оптималност на У. Парето е от голямо методологично значение, тъй като дава разбиране кои промени в икономическата система могат да бъдат наречени положителни, т.е. насочени към нейното цялостно подобряване, и кои не. Нарастването на икономическото благосъстояние на едни субекти за сметка на други не може да се счита за положително според този критерий. Илюстрация 1 показва действието на критерия на Б. Парето под формата на графика, показваща областта на „приемливите стойности“, които осигуряват подобрение на поне един показател, без да водят до влошаване на останалите. Смятаме, че е невъзможно да се даде едно-единствено подробно определение на оптимизацията за всички видове човешка дейност поради принципно различното им естество. Изследванията на проблемите на оптимизацията са получили значително развитие в СССР поради плановия характер на икономиката. Въпросите за икономическата оптимизация занимават съветските учени до прехода към пазарна икономика. Освен това сериозността на проблема Илюстрация 1. Оптималност по Парето оптимизацията в икономиката не намаля поради бързото нарастване на гамата от произвеждани продукти, разполагането на значителен брой производствени съоръжения на голяма територия и, като следствие, голям обем превоз на товари. Западните учени се сблъскаха с подобни въпроси, особено въпросът за оптимизацията стана остър по време на Втората световна война, когато възникна необходимостта от подобно централизирано управление на големи количества войски, оборудване и оборудване. През последните десетилетия бяха разработени много теоретични и приложни техники за оптимизация, които са систематично представени на фигура 2. Концепцията за оптимизация в градоустройствената наука Тази концепция в градоустройството се използва в съветския период в няколко смисъла. На първо място, тя беше свързана с концепцията за икономическа оптимизация, обслужваща икономически интереси. Градоустройството се разбира като един от инструментите за оптимизация, чиято задача е да съчетае интересите на производствения комплекс с интересите на населението. Възникват различни концепции за оптимизация, като най-важната е концепцията за GSNM - групови системи от населени места. Това беше опит за оптимизиране на заселването чрез многофакторно намаляване на неговите недостатъци - изолация на селското население от местата за работа и културни центрове, прекомерното разрастване на градовете, което създава огромно натоварване върху биосферата. Прилагането на концепцията за GSNM беше предприето в рамките на Общата схема за селище на СССР, разработена през 70-те години. Създаването на GSNM имаше за цел да оптимизира процеса на агломерация на големи и средни градове, които по това време бяха набрали скорост. Вместо произволно „слепване“ на селища, трябваше да се създаде йерархична организация. Още една последица от оптимизацията в градоустройството Илюстрация 2. Основни методи за решаване на оптимизационни задачи. Систематично обобщение на различните му техники започна да изяснява въпроса относно така наречения „оптимален размер“ на градовете. Беше разбрано, че тъй като в някои градове има прекомерно пренаселеност, тогава има оптимално количество от него, което може да бъде изчислено от науката за градоустройство. „...Концепцията за „оптимален“ град остава един от най-съществените елементи на съветската градоустройствена политика. Нямаше съмнение, че такъв оптимум съществува. Разногласията започнаха, когато се опитваха да определят какъв вид население трябва да се счита за оптимално. През 1920г Населението от 50 000 души изглеждаше оптимално. Той беше достатъчно голям, за да реализира ползите от икономиите от мащаба и градската инфраструктура, но не толкова голям, че да унищожи чувството за общност и социалистическата общностна етика. В средата на 1950г. оценките за оптимума се колебаеха между 150 хил. и 200 хил., а до 1960 г. скочиха до 250-300 хил. души и самата легитимност на тази концепция. беше поставено под въпрос." Спорът се оказва схоластичен, защото оптималният размер на града не зависи от абсолютния размер от числеността на населението му, а от икономическото и географското положение в селищната система. С други думи, важна е не абсолютната, а относителната големина на града, която варира във всеки конкретен случай. Въпросът за този оптимален размер на града се изостря по нов начин през 1960-1970 г., когато броят на големите и големи градове в СССР започва да расте и техните недостатъци стават забележими. Статия с характерното заглавие „Максимален размер на един град” (1970 г.) гласи: „От гледна точка на градското управление най-икономичните градове са тези, в които размерът на капиталовите инвестиции и оперативните разходи на глава от населението е по-нисък. И твърде малките градове, и градовете гиганти се оказват неикономични. В градското строителство се проявява принцип, общ за всички сфери на икономиката, според който голяма икономическа единица е по-ефективна от малка. В малките градове с население до 20 хил. души е необходимо да се създадат малки, нископроизводителни комунални и битови предприятия. С разрастването на градовете те стават по-икономични.<.>Тъй като населението продължава да расте, ситуацията се влошава.<.>невъзможен за осигуряване на нормалното функциониране на града без големи инженерно-технически съоръжения и видове транспорт, които не са били необходими досега. Авторите на статията смятат, че са успели да намерят отговора на проблема с оптимизацията: „Претегляйки всички плюсове и минуси, в много страни, включително СССР, урбанисти и икономисти стигнаха до извода, че в момента е необходимо да се ограничат разрастването на градове с едномилионно население, стимулиране на развитието на средно големи градове (курсив наш – А.М.).“ Виждаме, че средно голям град с население от 50 хиляди до 100 хиляди жители се счита за оптимален. С този извод не е съгласен В. И. Переведенцев, който вижда решението на въпроса отново в икономическата сфера, но по-дълбоко. Той показва нелинейния характер на зависимостта на икономическата ефективност от размера на града: „Градът не е само къщите, в които живеят хората, но и фабриките, в които работят. Размерът на града влияе ли на производителността на труда? Да, така е. Големият град е полезен от производствена гледна точка. Това са ползите от споделянето енергийни, транспортни, водоснабдителни и канализационни съоръжения. Това е осигуряването на квалифицирана работна ръка... Териториалната концентрация на индустрията повишава производителността на труда. Следователно самият голям град създава предпоставки за по-нататъшна концентрация на производството. Освен това авторът отбелязва, че „поддържането“ на човек в много голям град е по-скъпо от средното, но възвръщаемостта на човек в такъв град според него е по-голяма. Той посочва: „Приетото в момента разбиране за оптималния размер на града според мен е фундаментално и методологически неправилно. Ако вземем предвид не само потреблението, но и производството, тогава оптималният град няма да бъде градът, в който издръжката на човек е по-евтина, а този, в който разликата между това, което човек дава, и това, което се харчи за него ще бъде най-великият" [пак там]. Резултатът е модел на разходите и разходите, приложен към жител на даден град, който показва, че растежът на икономическата ефективност може да бъде много дългосрочен с нарастването на размера на града, тъй като поради ефекта на сътрудничество производителността на труда може да нарасне в широк диапазон. С други думи, оптималният размер на един град може да бъде толкова голям, колкото желаете, стига тенденцията към увеличаване на икономическата възвръщаемост от всеки отделен човек да продължи. В същото време авторът създава концепцията за оптимален размер на града. От негова гледна точка оптималният размер на града обикновено се определя от критерия за съответствие на размера на града с неговите предварително планирани стойности. „... Повечето от неудобствата на големия град не се дължат на самия му размер, а на грешки в градското планиране. Това са грешки при прогнозирането на растежа на града, несъответствие на "оборудването" на града с неговия размер, чисто планови грешки и накрая тесен икономически подход към сектора на услугите. Често се планира строителство за половин милион жители, но градът нараства до милион. В същото време всички комуникации, всички комунални услуги, структурата на града и неговото устройство са запазени в общи линии така, както е предвидено в първоначалния проект." По същество това твърдение затваря дискусията за оптималния размер на града - за оптимален се признава град, чието развитие съответства на собствения му общ план. Трябва да се каже, че с помощта на този критерий е много трудно да се намерят оптимални градове, тъй като, както показват многобройни проучвания, ключовите разпоредби на генералните планове почти никога не са били изпълнени. Оказва се, че руските градове са хронично в „неоптимизирано“ състояние. За да завършим тази дискусия, струва си да цитираме симптоматичното оплакване на самия В. И. Переведенцев, че градовете в своето развитие се отдалечават от състоянието на оптималност, вместо да стигат до него: „... Най-високите темпове на нарастване на населението са в градовете в които през 1959 г. са били от 400 до 600 хиляди души – над 35 процента. Според преобладаващите възгледи в нашето градоустройство за оптимални се считат градове с население от 50-200 хиляди души, а за приемливи са до 400 хиляди. Това означава, че градовете, които надхвърлиха „допустимите“ граници, растяха най-бързо. „Оптималните“ градове също се разрастваха бързо, превръщайки се в неоптимални (наш курсив – A.M.).“ От наша гледна точка тази дискусия е много плодотворна от научна гледна точка, въпреки че нейните практически резултати се оказаха отрицателни, тъй като оптималният размер на града така и не беше намерен. Въпреки това, може да се изолира неговият теоретичен резултат: 1 Концепцията за оптимизиране на град въз основа на един ключов параметър - броя на населението - не е получила подходящо теоретично и практическо потвърждение. Не беше възможно ясно да се формулира и обоснове такава стойност. Не е създадена методология за ефективно насочване на градското развитие към оптимални стойности. 2 Въпросът дали принципно съществува такава оптимална стойност остава открит и все още неразрешен. За разрешаването му са необходими нови методологични подходи, които се разработват като част от текущите изследвания относно оптимизирането на системата за селище на Уралския федерален окръг. 3 Появи се ново разбиране на концепцията за оптимален размер на града, вид не абсолютен, а относителен оптимален размер, който се свързва не с абсолютни, а с относителни показатели. При това най-ясен такъв индикатор се предлага да бъде съответствието на размера на града с неговите параметри, посочени в генералния план. 4 Авторите на концепцията за оптимизация на града просто подходиха към своя въпрос на ниво, което не беше адекватно на проблема. Струва ни се, че най-вероятният начин за решаване на този проблем е да се оптимизира не отделен град, а по-скоро системата на заселване - регионална и национална. Това се дължи на факта, че всеки град съществува само като елемент от система от по-високо ниво, а именно селищната система, и оптимизирането му изолирано от тази система изглежда трудна задача. Реалният мащаб, в който е възможно формулирането и решаването на задачата за оптимизация, е мащабът на системата за сетълмент. Определянето на размера и нивото на тази система представлява допълнително теоретично предизвикателство. Видове оптимизационни проблеми в градоустройството Стана възможно да се идентифицират няколко ключови критерия, по които е необходимо да се оцени проблемът за оптимизиране на презаселването. Комбинацията от тези критерии е един вид матрица, която трябва да разкрие същността на проблема за оптимизиране на системите за сетълмент. 1 Чрез наличието или отсъствието на ограничение за нарастване на оптимизирания ресурс. За някои оптимизационни проблеми е възможен теоретично неограничен растеж на индикатора, който трябва да бъде оптимизиран. Или, обратно, има определено крайно ниво, след което растежът на индикатора става невъзможен. В нашия случай условно смятаме, че проблемът с оптимизирането на селището принадлежи към първия вариант, тъй като увеличението на индикатора за оптимизация е свързано с размера на населението и този показател теоретично може да се увеличи за неопределено време. 2 Чрез наличието на един оптимум или няколко оптимума (оптимално множество). В зависимост от вида на проблема може да има един оптимум или няколко оптимума. В нашия случай можем предварително да опишем проблема като наличие на няколко оптимума поради факта, че са възможни няколко варианта за оптимизиране на разпределението върху ограничена плоска повърхност. 3 Според изпълнението на критерия на Парето (увеличаването на оптимизационния параметър за едни елементи не е за сметка на намаляването му за други елементи). В тази ситуация е необходимо да се отговори на въпроса: възможно ли е да се повиши нивото на опти- мизиране на някои елементи от селищната система, без изобщо да го редуцира в други. Практиката на градоустройството показва, че развитието на голяма селищна система при изпълнение на критерия на Парето изглежда невъзможно. Развитието на елементите на селищната система възниква, наред с други неща, поради потока от население по йерархията на селищата (като правило от по-ниските към по-високите нива). 4 По какъв брой критерии трябва да се извърши оптимизация - един или няколко. Дали оптимизацията трябва да бъде многокритериална или еднокритериална е най-големият теоретичен проблем. За решаването му е необходимо да се използва вече разработен методологичен апарат: на първо място е необходимо да се отбележи, че на макро ниво жизнената дейност на обществото се формира в резултат на взаимодействието на трите му основни подсистеми. По реда на тяхното възникване те могат да бъдат изброени в следния ред: 1) Природно-екологична подсистема. 2) Социално-демографска подсистема. 3) Икономическа подсистема. В хода на историческото развитие тези подсистеми последователно се пораждат една друга. Природно-екологичната подсистема, като първоначално съществуваща неизмеримо по-дълго време от самия човек, го е родила в хода на своето еволюционно развитие. Основната посока на дейността на човека като разумно същество се е превърнала в желанието да осигури своето оцеляване и развитие чрез най-ефективно използване на природните ресурси, като същевременно се стреми да минимизира зависимостта си от природни бедствия. Благодарение на това желание социално-демографската подсистема, създадена от човека, придоби значителна автономност по отношение на природно-екологичната подсистема. Между тях започнаха да се формират преки и обратни връзки и се развиха противоречия. За да ги преодолее, човекът е създал икономическа подсистема, която му позволява рязко да увеличи обема на произвежданите и потребяваните блага и по този начин затвърждава отделянето си от природно-екологичната подсистема. Трябва да се отбележи, че субектът в тази система е, разбира се, социалното де- мографска подсистема, която е съвкупност от човешки индивиди, обединени в различни общности по етнически, расов, религиозен и друг признак. През цялата си история човечеството живее и се развива в този триъгълник на силите: природа – общество – икономика. Както можете да видите, има три критерия, по които може да се оптимизира селищната система в зависимост от това какъв приоритет на развитие избира обществото. В същото време в рамките на едно по-ранно изследване беше изложено следното твърдение: териториалната селищна система според нас е елементът, който държи заедно трите подсистеми на развитието на човешкото общество. Това се случва по няколко причини. Първо, защото човечеството като цяло и всяка човешка общност в частност възниква и се развива на еволюционно формирана територия (предимно земя), която е преди всичко биосферното пространство - зона, подходяща за съществуване на биологични видове. По този начин създаването на всякакви човешки селища винаги се случва, на първо място, поради изключването и използването на територия, принадлежаща към биосферата. Природно-екологичната подсистема изпълнява и много важна функция като ограничител на развитието на други подсистеми и задава спецификата на тяхното развитие в определени условия. Второ, развитието на териториалната селищна система е пряко отражение на дейността на социално-демографската подсистема. Териториалната селищна система отразява в концентриран вид специфичните характеристики на обществото, неговата история и настояще, степента на развитие и демографска структура. Тези характеристики се проявяват пространствено чрез такива показатели като численост и гъстота на населението, съотношението и разпределението на селското и градското население, посоката и интензивността на миграционните потоци. На трето място, икономическата подсистема, като производна на социално-демографската подсистема, е нейно пряко пространствено продължение, като пространствено изпълнява няколко основни функции. Това е, за да се осигури необходимото производство напоителни процеси, организиране на транспортни връзки между населените места, извличане на необходимите природни ресурси. Икономическата подсистема, както и породилата я социално-демографска подсистема, могат да съществуват и да се развиват само в рамките на природно-екологичната подсистема. Неговото развитие допълнително намалява пространството на природно-екологичната система, както директно чрез нейните материални обекти, разположени в пространството, така и чрез последствията от нейната дейност. Териториалната селищна система е свързващият елемент на всички подсистеми на човешкото общество и като такава е техен синтез. Извън и без териториалната селищна система тези подсистеми просто не могат да съществуват. Така имаме работа с двусмислена ситуация. От една страна има три критерия за оптимизиране на заселването: екологичен, социален и икономически. В същото време изследването въвежда като основен съвършено нов критерий за оптималност – геополитическият. Дадена е основната концепция на този критерий за оптимизация, разкрива се неговото съдържание, както следва: най-адекватното ниво за разглеждане на развитието на териториалните селищни системи е националното ниво. А реалната единица на териториалната селищна система е националната селищна система. Именно държавните граници са ясните и обосновани граници на селищната система. В тази връзка се поставя въпросът каква роля играе националната селищна система във функционирането на държавата, а не въобще на някаква абстрактна човешка общност. Според нас основната цел на съществуването и функционирането на националната териториална селищна система е да осигури възможно най-ефективен и дълготраен контрол върху националната територия на съществуващата държава и на населяващата я нация. Териториалната селищна система е вид „структура на господство“, която осигурява най-ефективното развитие на територията и наличните на нея ресурси, осигурявайки най-ефективното развитието на това конкретно национално общество както като цяло, така и на отделните му членове. И освен това, осигуряване на най-голяма стабилност на нацията от възможни неблагоприятни външни влияния. Съответствието или неспазването на този основен критерий за ефективен пространствен контрол е ключов при оценката на качеството на териториалната селищна система. Заключение Така теоретично имаме четири възможни отговора на поставения въпрос какво трябва да бъде естеството на оптимизацията в градското планиране: 1 Оптимизацията е възможна според всеки от три отделни параметъра: екологичен, социален или икономически, което всъщност се опитваха да направят в съветския период в рамките на системата за регионално планиране, когато се предполагаше, че е възможно да се постигне оптимизация на селищната система по икономически параметър, в нейното социалистическо разбиране. 2 Оптимизация е възможна (поне теоретично) и за трите отделни параметъра едновременно, като се изгладят противоречията, които съществуват между тях. По своята същност подобна оптимизация е близка до концепцията за устойчиво развитие, която се основава на желанието да се балансират социално-икономическите потребности на обществото и възможностите на околната среда за тяхното осигуряване. 3 Оптимизация по геополитически параметър, когато от първостепенно значение става осигуряването на възможно най-ефективен и дългосрочен контрол върху националната територия на съществуваща държава и на населяващата я нация. Този тип оптимизация съответства на методологията на това изследване и изглежда най-обещаваща. 4 Оптимизация за четирите параметъра наведнъж, когато се постигне едновременна оптимизация на екологични, социални, икономически и геополитически параметри. Този тип оптимизация може да се нарече супероптимизация, когато всички параметри се оптимизират едновременно. Постигането на такова състояние изглежда много съмнително, но трябва да се има предвид като идеален краен резултат. Списък на използваната литература 1 Шупер В.А. Самоорганизация на градско селище/Рус. открит университет М., 1995. 2 Покшишевски В. В. Заселване на Сибир. Историко-географски очерци. М., 1951. 3 Бразовская Н. В. Методи за оптимизация: учебник. надбавка / Алтайска държава. техн. Университет на името на И. И. Ползунова [Дистанционен център. обучение]. Барнаул, 2000 г. 4 Голяма съветска енциклопедия. 3-то изд. М., 1975. Т. 19. 5 Райзберг Б. А., Лозовски Л. Ш., Стародубцева Е. Б. Съвременен икономически речник. 2-ро издание, рев. М., 1999. 6 Икономика: тълковен речник. М., 2000. 7 Переведенцев В. И. Методи за изследване на миграцията на населението, М., 1975 г. 8 Дубровски П. Н. Максимални размери на града // Наука и технологии. 1970. № 6. 9 Мазаев А. Г. Националната териториална селищна система като контролен фактор: геополитически подход // Академичен бюлетин УралНИИпроект РААСН. 2008. № 1. С. 32-37. 10 Мазаев А. Г. Формиране и развитие на селищната система на Урал (XVII-XIX век): етапи и геополитически характеристики // Академичен бюлетин UralNIIproekt RAASN. 2014. № 1. С. 10. 11 Мазаев А. Г. Анализ на развитието на структурата на селищната система на Урал (края на XIV - XX век) с помощта на метода на подвижната средна // Академичен бюлетин UralNIIproekt RAASN. 2014. № 3. С. 34.
