Доверительный интервал пришел к нам из области статистики. Это определенный диапазон, который служит для оценки неизвестного параметра с высокой степенью надежности. Проще всего это будет пояснить на примере.
Предположим, нужно исследовать какую-либо случайную величину, например, скорость отклика сервера на запрос клиента. Каждый раз, когда пользователь набирает адрес конкретного сайта, сервер реагирует на это с разной скоростью. Таким образом, исследуемое время отклика имеет случайный характер. Так вот, доверительный интервал позволяет определить границы этого параметра, и затем можно будет утверждать, что с вероятностью в 95% сервера будет находиться в рассчитанном нами диапазоне.
Или же нужно узнать, какому количеству людей известно о торговой марке фирмы. Когда будет подсчитан доверительный интервал, то можно будет, к примеру, сказать что с 95% долей вероятности доля потребителей, знающих о данной находится в диапазоне от 27% до 34%.
С этим термином тесно связана такая величина, как доверительная вероятность. Она представляет собой вероятность того, что искомый параметр входит в доверительный интервал. От этой величины зависит то, насколько большим окажется наш искомый диапазон. Чем большее значение она принимает, тем уже становится доверительный интервал, и наоборот. Обычно ее устанавливают равной 90%, 95% или 99%. Величина 95% наиболее популярна.
На данный показатель также оказывает влияние дисперсия наблюдений и Его определение основано на том предположении, что исследуемый признак подчиняется Это утверждение известно также как Закон Гаусса. Согласно ему, нормальным называется такое распределение всех вероятностей непрерывной случайной величины, которое можно описать плотностью вероятностей. Если предположение о нормальном распределении оказалось ошибочным, то оценка может оказаться неверной.
Сначала разберемся с тем, как вычислить доверительный интервал для Здесь возможны два случая. Дисперсия (степень разброса случайной величины) может быть известна либо нет. Если она известна, то наш доверительный интервал вычисляется с помощью следующей формулы:
хср - t*σ / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - признак,
t - параметр из таблицы распределения Лапласа,
σ - квадратный корень дисперсии.
Если дисперсия неизвестна, то ее можно рассчитать, если нам известны все значения искомого признака. Для этого используется следующая формула:
σ2 = х2ср - (хср)2, где
х2ср - среднее значение квадратов исследуемого признака,
(хср)2 - квадрат данного признака.
Формула, по которой в этом случае рассчитывается доверительный интервал немного меняется:
хср - t*s / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
хср - выборочное среднее,
α - признак,
t - параметр, который находят с помощью таблицы распределения Стьюдента t = t(ɣ;n-1),
sqrt(n) - квадратный корень общего объема выборки,
s - квадратный корень дисперсии.
Рассмотри такой пример. Предположим, что по результатам 7 замеров была определена исследуемого признака, равная 30 и дисперсия выборки, равная 36. Нужно найти с вероятностью в 99% доверительный интервал, который содержит истинное значение измеряемого параметра.
Вначале определим чему равно t: t = t (0,99; 7-1) = 3.71. Используем приведенную выше формулу, получаем:
хср - t*s / (sqrt(n)) <= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3.71*36 / (sqrt(7)) <= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
Доверительный интервал для дисперсии рассчитывается как в случае с известным средним, так и тогда, когда нет никаких данных о математическом ожидании, а известно лишь значение точечной несмещенной оценки дисперсии. Мы не будем приводить здесь формулы его расчета, так как они довольно сложные и при желании их всегда можно найти в сети.
Отметим лишь, что доверительный интервал удобно определять с помощью программы Excel или сетевого сервиса, который так и называется.
Вероятности , признанные достаточным для того, чтобы уверенно судить о генеральных параметрах на основании выборочных характеристик, называют доверительными .
Обычно, в качестве доверительных вероятностей выбирают значения 0,95; 0,99; 0,999 (их принято выражать в процентах – 95%, 99%, 99,9%). Чем выше мера ответственности, тем более высокий уровень доверительной вероятности: 99% или 99,9%.
Доверительная вероятность 0,95 (95%) считается достаточной в научных исследованиях в области физической культуры и спорта.
Интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью находится выборочное среднее арифметическое генеральной совокупности, называется доверительным интервалом .
Уровень значимости оценивания – малое число α, значение которого предполагает вероятность того, что выходит за границы доверительного интервала. В соответствии с доверительными вероятностями: α 1 = (1- 0,95) = 0, 05; α 2 = (1 – 0,99) = 0, 01 и т.д.
Доверительный интервал для среднего (математического ожидания) a нормального распределения:
,
где - надежность (доверительная вероятность) оценивания; - выборочное среднее; s - исправленное среднеквадратическое отклонение; n – объем выборки; t γ - величина, определяемая по таблице распределения Стьюдента (см. приложение, табл. 1) при заданных n и γ.
Чтобы найти границы доверительного интервала среднего значения генеральной совокупности необходимо:
1. Вычислить и s.
2. Следует задасться доверительной вероятностью (надежностью) γ оценивания 0,95 (95 %) или уровнем значимости α 0,05 (5 %)
3. По таблице t – распределения Стьюдента (приложение, табл. 1) найти граничные значения t γ .
Так как t– распределение симметрично относительно нулевой точки, достаточно знать только положительное значение t. Например, если объем выборки n=16, то число степеней свободы (degrees of freedom, df ) t – распределения df =16 - 1=15 . По табл. 1 приложения t 0,05 = 2,13.
4. Находим границы доверительного интервала для α = 0,05 и n = 16:
Границы доверия:
При больших объемах выборки (n ≥ 30) t – распределение Стьюдента переходит в нормальное. Поэтому доверительный интервал для при n ≥ 30 можно записать следующим образом:
где u - процентивные точки нормированного нормального распределения .
Для стандартных доверительных вероятностей (95%, 99%; 99, 9%) и уровней значимости α значения (u ) приведены в таблице 8.
Таблица 8
Значения для стандартных доверительных уровней α
| α | u |
| 0,05 | 1,96 |
| 0,01 | 2,58 |
| 0,001 | 3,28 |
Опираясь на данные примера 1, определим границы 95 % - го доверительного интервала (α = 0,05) для среднего результата прыжка вверх с места. В нашем примере объем выборки n = 65, тогда для определения границ доверительного интервала можно использовать рекомендации для большого объема выборки.
Доверительный интервал для математического ожидания - это такой вычисленный по данным интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности. Естественной оценкой для математического ожидания является среднее арифметическое её наблюденных значений. Поэтому далее в течение урока мы будем пользоваться терминами "среднее", "среднее значение". В задачах рассчёта доверительного интервала чаще всего требуется ответ типа "Доверительный интервал среднего числа [величина в конкретной задаче] находится от [меньшее значение] до [большее значение]". С помощью доверительного интервала можно оценивать не только средние значения, но и удельный вес того или иного признака генеральной совокупности. Средние значения, дисперсия, стандартное отклонение и погрешность, через которые мы будем приходить к новым определениям и формулам, разобраны на уроке Характеристики выборки и генеральной совокупности .
Точечная и интервальная оценки среднего значения
Если среднее значение генеральной совокупности оценивается числом (точкой), то за оценку неизвестной средней величины генеральной совокупности принимается конкретное среднее, которое рассчитано по выборке наблюдений. В таком случае значение среднего выборки - случайной величины - не совпадает со средним значением генеральной совокупности. Поэтому, указывая среднее значение выборки, одновременно нужно указывать и ошибку выборки. В качестве меры ошибки выборки используется стандартная ошибка , которая выражена в тех же единицах измерения, что и среднее. Поэтому часто используется следующая запись: .
Если оценку среднего требуется связать с определённой вероятностью, то интересующий параметр генеральной совокупности нужно оценивать не одним числом, а интервалом. Доверительным интервалом называют интервал, в котором с определённой вероятностью P находится значение оцениваемого показателя генеральной совокупности. Доверительный интервал, в котором с вероятностью P = 1 - α находится случайная величина , рассчитывается следующим образом:
,
α = 1 - P , которое можно найти в приложении к практически любой книге по статистике.
На практике среднее значение генеральной совокупности и дисперсия не известны, поэтому дисперсия генеральной совокупности заменяется дисперсией выборки , а среднее генеральной совокупности - средним значением выборки . Таким образом, доверительный интервал в большинстве случаев рассчитывается так:
.
Формулу доверительного интервала можно использовать для оценки среднего генеральной совокупности, если
- известно стандартное отклонение генеральной совокупности;
- или стандартное отклонение генеральной совокупности не известно, но объём выборки - больше 30.
Среднее значение выборки
является несмещённой оценкой среднего генеральной совокупности .
В свою очередь, дисперсия выборки 
не является несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности .
Для получения несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности в формуле дисперсии выборки объём
выборки n
следует заменить на n
-1.
Пример 1. Собрана информация из 100 случайно выбранных кафе в некотором городе о том, что среднее число работников в них составляет 10,5 со стандартным отклонением 4,6. Определить доверительный интервал 95% числа работников кафе.
где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .
Таким образом, доверительный интервал 95% среднего числа работников кафе составил от 9,6 до 11,4.
Пример 2. Для случайной выборки из генеральной совокупности из 64 наблюдений вычислены следующие суммарные величины:
сумма значений в наблюдениях ,
сумма квадратов отклонения значений от среднего 
.
Вычислить доверительный интервал 95 % для математического ожидания.
вычислим стандартное отклонение:
,
вычислим среднее значение:
.
Подставляем значения в выражение для доверительного интервала:
где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .
Получаем:
Таким образом, доверительный интервал 95% для математического ожидания данной выборки составил от 7,484 до 11,266.
Пример 3. Для случайной выборки из генеральной совокупности из 100 наблюдений вычислено среднее значение 15,2 и стандартное отклонение 3,2. Вычислить доверительный интервал 95 % для математического ожидания, затем доверительный интервал 99 %. Если мощность выборки и её вариация остаются неизменными, а увеличивается доверительный коэффициент, то доверительный интервал сузится или расширится?
Подставляем данные значения в выражение для доверительного интервала:
где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .
Получаем:
.
Таким образом, доверительный интервал 95% для среднего данной выборки составил от 14,57 до 15,82.
Вновь подставляем данные значения в выражение для доверительного интервала:
где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,01 .
Получаем:
.
Таким образом, доверительный интервал 99% для среднего данной выборки составил от 14,37 до 16,02.
Как видим, при увеличении доверительного коэффициента увеличивается также критическое значение стандартного нормального распределения, а, следовательно, начальная и конечная точки интервала расположены дальше от среднего, и, таким образом, доверительный интервал для математического ожидания увеличивается.
Точечная и интервальная оценки удельного веса
Удельный вес некоторого признака выборки можно интерпретировать как точечную оценку удельного веса p этого же признака в генеральной совокупности. Если же эту величину нужно связать с вероятностью, то следует рассчитать доверительный интервал удельного веса p признака в генеральной совокупности с вероятностью P = 1 - α :
.
Пример 4. В некотором городе два кандидата A и B претендуют на пост мэра. Случайным образом были опрошены 200 жителей города, из которых 46% ответили, что будут голосовать за кандидата A , 26% - за кандидата B и 28% не знают, за кого будут голосовать. Определить доверительный интервал 95% для удельного веса жителей города, поддерживающих кандидата A .
Доверительные интервалы (англ. Confidence Intervals ) одним из типов интервальных оценок используемых в статистике, которые рассчитываются для заданного уровня значимости. Они позволяют сделать утверждение, что истинное значение неизвестного статистического параметра генеральной совокупности находится в полученном диапазоне значений с вероятностью, которая задана выбранным уровнем статистической значимости.
Нормальное распределение
Когда известна вариация (σ 2) генеральной совокупности данных, для расчета доверительных пределов (граничных точек доверительного интервала) может быть использована z-оценка. По сравнению с применением t-распределения, использование z-оценки позволит построить не только более узкий доверительный интервал, но и получить более надежные оценки математического ожидания и среднеквадратического (стандартного) отклонения (σ), поскольку Z-оценка основывается на нормальном распределении.
Формула
Для определения граничных точек доверительного интервала, при условии что известно среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности данных, используется следующая формула
| L = X - Z α/2 | σ |
| √n |
Пример
Предположим, что размер выборки насчитывает 25 наблюдений, математическое ожидание выборки равняется 15, а среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности составляет 8. Для уровня значимости α=5% Z-оценка равна Z α/2 =1,96. В этом случае нижняя и верхняя граница доверительного интервала составят
| L = 15 - 1,96 | 8 | = 11,864 |
| √25 |
| L = 15 + 1,96 | 8 | = 18,136 |
| √25 |
Таким образом, мы можем утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности попадет в диапазон от 11,864 до 18,136.
Методы сужения доверительного интервала
Допустим, что диапазон является слишком широким для целей нашего исследования. Уменьшить диапазон доверительного интервала можно двумя способами.
- Снизить уровень статистической значимости α.
- Увеличить объем выборки.
Снизив уровень статистической значимости до α=10%, мы получим Z-оценку равную Z α/2 =1,64. В этом случае нижняя и верхняя граница интервала составят
| L = 15 - 1,64 | 8 | = 12,376 |
| √25 |
| L = 15 + 1,64 | 8 | = 17,624 |
| √25 |
А сам доверительный интервал может быть записан в виде
В этом случае, мы можем сделать предположение, что с вероятностью 90% математическое ожидание генеральной совокупности попадет в диапазон .
Если мы хотим не снижать уровень статистической значимости α, то единственной альтернативой остается увеличение объема выборки. Увеличив ее до 144 наблюдений, получим следующие значения доверительных пределов
| L = 15 - 1,96 | 8 | = 13,693 |
| √144 |
| L = 15 + 1,96 | 8 | = 16,307 |
| √144 |
Сам доверительный интервал станет иметь следующий вид
Таким образом, сужение доверительного интервала без снижения уровня статистической значимости возможно только лишь за счет увеличения объема выборки. Если увеличение объема выборки не представляется возможным, то сужение доверительного интервала может достигаться исключительно за счет снижения уровня статистической значимости.
Построение доверительного интервала при распределении отличном от нормального
В случае если среднеквадратичное отклонение генеральной совокупности не известно или распределение отлично от нормального, для построения доверительного интервала используется t-распределение. Это методика является более консервативной, что выражается в более широких доверительных интервалах, по сравнению с методикой, базирующейся на Z-оценке.
Формула
Для расчета нижнего и верхнего предела доверительного интервала на основании t-распределения применяются следующие формулы
| L = X - t α | σ |
| √n |
Распределение Стьюдента или t-распределение зависит только от одного параметра – количества степеней свободы, которое равно количеству индивидуальных значений признака (количество наблюдений в выборке). Значение t-критерия Стьюдента для заданного количества степеней свободы (n) и уровня статистической значимости α можно узнать из справочных таблиц.
Пример
Предположим, что размер выборки составляет 25 индивидуальных значений, математическое ожидание выборки равно 50, а среднеквадратическое отклонение выборки равно 28. Необходимо построить доверительный интервал для уровня статистической значимости α=5%.
В нашем случае количество степеней свободы равно 24 (25-1), следовательно соответствующее табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня статистической значимости α=5% составляет 2,064. Следовательно, нижняя и верхняя граница доверительного интервала составят
| L = 50 - 2,064 | 28 | = 38,442 |
| √25 |
| L = 50 + 2,064 | 28 | = 61,558 |
| √25 |
А сам интервал может быть записан в виде
Таким образом, мы можем утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .
Использование t-распределения позволяет сузить доверительный интервал либо за счет снижения статистической значимости, либо за счет увеличения размера выборки.
Снизив статистическую значимость с 95% до 90% в условиях нашего примера мы получим соответствующее табличное значение t-критерия Стьюдента 1,711.
| L = 50 - 1,711 | 28 | = 40,418 |
| √25 |
| L = 50 + 1,711 | 28 | = 59,582 |
| √25 |
В этом случае мы можем утверждать, что с вероятностью 90% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .
Если мы не хотим снижать статистическую значимость, то единственной альтернативой будет увеличение объема выборки. Допустим, что он составляет 64 индивидуальных наблюдения, а не 25 как в первоначальном условии примера. Табличное значение t-критерия Стьюдента для 63 степеней свободы (64-1) и уровня статистической значимости α=5% составляет 1,998.
| L = 50 - 1,998 | 28 | = 43,007 |
| √64 |
| L = 50 + 1,998 | 28 | = 56,993 |
| √64 |
Это дает нам возможность утверждать, что с вероятностью 95% математическое ожидание генеральной совокупности окажется в диапазоне .
Выборки большого объема
К выборкам большого объема относятся выборки из генеральной совокупности данных, количество индивидуальных наблюдений в которых превышает 100. Статистические исследования показали, что выборки большего объема имеют тенденцию быть нормально распределенными, даже если распределение генеральной совокупности отличается от нормального. Кроме того, для таких выборок применение z-оценки и t-распределения дают примерно одинаковые результаты при построении доверительных интервалов. Таким образом, для выборок большого объема допускается применение z-оценки для нормального распределения вместо t-распределения.
Подведем итоги
Одним из методов решения статистических задач является вычисление доверительного интервала. Он используется, как более предпочтительная альтернатива точечной оценке при небольшом объеме выборки. Нужно отметить, что сам процесс вычисления доверительного интервала довольно сложный. Но инструменты программы Эксель позволяют несколько упростить его. Давайте узнаем, как это выполняется на практике.
Этот метод используется при интервальной оценке различных статистических величин. Главная задача данного расчета – избавится от неопределенностей точечной оценки.
В Экселе существуют два основных варианта произвести вычисления с помощью данного метода: когда дисперсия известна, и когда она неизвестна. В первом случае для вычислений применяется функция ДОВЕРИТ.НОРМ , а во втором — ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ .
Способ 1: функция ДОВЕРИТ.НОРМ
Оператор ДОВЕРИТ.НОРМ , относящийся к статистической группе функций, впервые появился в Excel 2010. В более ранних версиях этой программы используется его аналог ДОВЕРИТ . Задачей этого оператора является расчет доверительного интервала с нормальным распределением для средней генеральной совокупности.
Его синтаксис выглядит следующим образом:
ДОВЕРИТ.НОРМ(альфа;стандартное_откл;размер)
«Альфа» — аргумент, указывающий на уровень значимости, который применяется для расчета доверительного уровня. Доверительный уровень равняется следующему выражению:
(1-«Альфа»)*100
«Стандартное отклонение» — это аргумент, суть которого понятна из наименования. Это стандартное отклонение предлагаемой выборки.
«Размер» — аргумент, определяющий величину выборки.
Все аргументы данного оператора являются обязательными.
Функция ДОВЕРИТ имеет точно такие же аргументы и возможности, что и предыдущая. Её синтаксис таков:
ДОВЕРИТ(альфа;стандартное_откл;размер)
Как видим, различия только в наименовании оператора. Указанная функция в целях совместимости оставлена в Excel 2010 и в более новых версиях в специальной категории «Совместимость» . В версиях же Excel 2007 и ранее она присутствует в основной группе статистических операторов.
Граница доверительного интервала определяется при помощи формулы следующего вида:
X+(-)ДОВЕРИТ.НОРМ
Где X – это среднее выборочное значение, которое расположено посередине выбранного диапазона.
Теперь давайте рассмотрим, как рассчитать доверительный интервал на конкретном примере. Было проведено 12 испытаний, вследствие которых были получены различные результаты, занесенные в таблицу. Это и есть наша совокупность. Стандартное отклонение равно 8. Нам нужно рассчитать доверительный интервал при уровне доверия 97%.
- Выделяем ячейку, куда будет выводиться результат обработки данных. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию» .
- Появляется Мастер функций . Переходим в категорию «Статистические» и выделяем наименование «ДОВЕРИТ.НОРМ» . После этого клацаем по кнопке «OK» .
- Открывается окошко аргументов. Его поля закономерно соответствуют наименованиям аргументов.
Устанавливаем курсор в первое поле – «Альфа» . Тут нам следует указать уровень значимости. Как мы помним, уровень доверия у нас равен 97%. В то же время мы говорили, что он рассчитывается таким путем:(1-уровень доверия)/100
То есть, подставив значение, получаем:
Путем нехитрых расчетов узнаем, что аргумент «Альфа» равен 0,03 . Вводим данное значение в поле.
Как известно, по условию стандартное отклонение равно 8 . Поэтому в поле «Стандартное отклонение» просто записываем это число.
В поле «Размер» нужно ввести количество элементов проведенных испытаний. Как мы помним, их 12 . Но чтобы автоматизировать формулу и не редактировать её каждый раз при проведении нового испытания, давайте зададим данное значение не обычным числом, а при помощи оператора СЧЁТ . Итак, устанавливаем курсор в поле «Размер» , а затем кликаем по треугольнику, который размещен слева от строки формул.
Появляется список недавно применяемых функций. Если оператор СЧЁТ применялся вами недавно, то он должен быть в этом списке. В таком случае, нужно просто кликнуть по его наименованию. В обратном же случае, если вы его не обнаружите, то переходите по пункту «Другие функции…» .
- Появляется уже знакомый нам Мастер функций . Опять перемещаемся в группу «Статистические» . Выделяем там наименование «СЧЁТ» . Клацаем по кнопке «OK» .
- Появляется окно аргументов вышеуказанного оператора. Данная функция предназначена для того, чтобы вычислять количество ячеек в указанном диапазоне, которые содержат числовые значения. Синтаксис её следующий:
СЧЁТ(значение1;значение2;…)
Группа аргументов «Значения» представляет собой ссылку на диапазон, в котором нужно рассчитать количество заполненных числовыми данными ячеек. Всего может насчитываться до 255 подобных аргументов, но в нашем случае понадобится лишь один.
Устанавливаем курсор в поле «Значение1» и, зажав левую кнопку мыши, выделяем на листе диапазон, который содержит нашу совокупность. Затем его адрес будет отображен в поле. Клацаем по кнопке «OK» .
- После этого приложение произведет вычисление и выведет результат в ту ячейку, где она находится сама. В нашем конкретном случае формула получилась такого вида:
ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;СЧЁТ(B2:B13))
Общий результат вычислений составил 5,011609 .
- Но это ещё не все. Как мы помним, граница доверительного интервала вычисляется путем сложения и вычитания от среднего выборочного значения результата вычисления ДОВЕРИТ.НОРМ
. Таким способом рассчитывается соответственно правая и левая граница доверительного интервала. Само среднее выборочное значение можно рассчитать при помощи оператора СРЗНАЧ
.
Данный оператор предназначен для расчета среднего арифметического значения выбранного диапазона чисел. Он имеет следующий довольно простой синтаксис:
СРЗНАЧ(число1;число2;…)
Аргумент «Число» может быть как отдельным числовым значением, так и ссылкой на ячейки или даже целые диапазоны, которые их содержат.
Итак, выделяем ячейку, в которую будет выводиться расчет среднего значения, и щелкаем по кнопке «Вставить функцию» .
- Открывается Мастер функций . Снова переходим в категорию «Статистические» и выбираем из списка наименование «СРЗНАЧ» . Как всегда, клацаем по кнопке «OK» .
- Запускается окно аргументов. Устанавливаем курсор в поле «Число1» и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем весь диапазон значений. После того, как координаты отобразились в поле, клацаем по кнопке «OK» .
- После этого СРЗНАЧ выводит результат расчета в элемент листа.
- Производим расчет правой границы доверительного интервала. Для этого выделяем отдельную ячейку, ставим знак «=»
и складываем содержимое элементов листа, в которых расположены результаты вычислений функций СРЗНАЧ
и ДОВЕРИТ.НОРМ
. Для того, чтобы выполнить расчет, жмем на клавишу Enter
. В нашем случае получилась следующая формула:
Результат вычисления: 6,953276
- Таким же образом производим вычисление левой границы доверительного интервала, только на этот раз от результата вычисления СРЗНАЧ
отнимаем результат вычисления оператора ДОВЕРИТ.НОРМ
. Получается формула для нашего примера следующего типа:
Результат вычисления: -3,06994
- Мы попытались подробно описать все действия по вычислению доверительного интервала, поэтому детально расписали каждую формулу. Но можно все действия соединить в одной формуле. Вычисление правой границы доверительного интервала можно записать так:
СРЗНАЧ(B2:B13)+ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;СЧЁТ(B2:B13))
- Аналогичное вычисление левой границы будет выглядеть так:
СРЗНАЧ(B2:B13)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;СЧЁТ(B2:B13))
Способ 2: функция ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ
Кроме того, в Экселе есть ещё одна функция, которая связана с вычислением доверительного интервала – ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ . Она появилась, только начиная с Excel 2010. Данный оператор выполняет вычисление доверительного интервала генеральной совокупности с использованием распределения Стьюдента. Его очень удобно использовать в том случае, когда дисперсия и, соответственно, стандартное отклонение неизвестны. Синтаксис оператора такой:
ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(альфа;стандартное_откл;размер)
Как видим, наименования операторов и в этом случае остались неизменными.
Посмотрим, как рассчитать границы доверительного интервала с неизвестным стандартным отклонением на примере всё той же совокупности, что мы рассматривали в предыдущем способе. Уровень доверия, как и в прошлый раз, возьмем 97%.
- Выделяем ячейку, в которую будет производиться расчет. Клацаем по кнопке «Вставить функцию» .
- В открывшемся Мастере функций переходим в категорию «Статистические» . Выбираем наименование «ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ» . Клацаем по кнопке «OK» .
- Производится запуск окна аргументов указанного оператора.
В поле «Альфа» , учитывая, что уровень доверия составляет 97%, записываем число 0,03 . Второй раз на принципах расчета данного параметра останавливаться не будем.
После этого устанавливаем курсор в поле «Стандартное отклонение» . На этот раз данный показатель нам неизвестен и его требуется рассчитать. Делается это при помощи специальной функции – СТАНДОТКЛОН.В . Чтобы вызвать окно данного оператора, кликаем по треугольнику слева от строки формул. Если в открывшемся списке не находим нужного наименования, то переходим по пункту «Другие функции…» .
- Запускается Мастер функций . Перемещаемся в категорию «Статистические» и отмечаем в ней наименование «СТАНДОТКЛОН.В» . Затем клацаем по кнопке «OK» .
- Открывается окно аргументов. Задачей оператора СТАНДОТКЛОН.В
является определение стандартного отклонения при выборке. Его синтаксис выглядит так:
СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)
Нетрудно догадаться, что аргумент «Число» — это адрес элемента выборки. Если выборка размещена единым массивом, то можно, использовав только один аргумент, дать ссылку на данный диапазон.
Устанавливаем курсор в поле «Число1» и, как всегда, зажав левую кнопку мыши, выделяем совокупность. После того, как координаты попали в поле, не спешим жать на кнопку «OK» , так как результат получится некорректным. Прежде нам нужно вернуться к окну аргументов оператора ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ , чтобы внести последний аргумент. Для этого кликаем по соответствующему наименованию в строке формул.
- Снова открывается окно аргументов уже знакомой функции. Устанавливаем курсор в поле «Размер» . Опять жмем на уже знакомый нам треугольник для перехода к выбору операторов. Как вы поняли, нам нужно наименование «СЧЁТ» . Так как мы использовали данную функцию при вычислениях в предыдущем способе, в данном списке она присутствует, так что просто щелкаем по ней. Если же вы её не обнаружите, то действуйте по алгоритму, описанному в первом способе.
- Попав в окно аргументов СЧЁТ , ставим курсор в поле «Число1» и с зажатой кнопкой мыши выделяем совокупность. Затем клацаем по кнопке «OK» .
- После этого программа производит расчет и выводит значение доверительного интервала.
- Для определения границ нам опять нужно будет рассчитать среднее значение выборки. Но, учитывая то, что алгоритм расчета при помощи формулы СРЗНАЧ тот же, что и в предыдущем способе, и даже результат не изменился, не будем на этом подробно останавливаться второй раз.
- Сложив результаты вычисления СРЗНАЧ и ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ , получаем правую границу доверительного интервала.
- Отняв от результатов расчета оператора СРЗНАЧ результат расчета ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ , имеем левую границу доверительного интервала.
- Если расчет записать одной формулой, то вычисление правой границы в нашем случае будет выглядеть так:
СРЗНАЧ(B2:B13)+ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(0,03;СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13);СЧЁТ(B2:B13))
- Соответственно, формула расчета левой границы будет выглядеть так:
СРЗНАЧ(B2:B13)-ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(0,03;СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13);СЧЁТ(B2:B13))
Как видим, инструменты программы Excel позволяют существенно облегчить вычисление доверительного интервала и его границ. Для этих целей используются отдельные операторы для выборок, у которых дисперсия известна и неизвестна.
