Subiect. Teoria sistemelor la coadă.
Fiecare QS constă dintr-un anumit număr de unități de serviciu, care sunt numitecanale de servicii (acestea sunt mașini, cărucioare de transport, roboți, linii de comunicare, casierii, vânzători etc.). Fiecare QS este conceput pentru a servi un fel defluxul de aplicații (cerințe) sosind la unele momente aleatorii în timp.
Clasificarea QS în funcție de metoda de procesare a fluxului de intrare al aplicațiilor.
Sisteme de așteptare
Cu refuzuri
(fără coadă)
Cu o coadă
Coadă limitată
Cu prioritate
Primul venit, primul servit
Prioritate relativă
Prioritate absolută
După timpul de service
După lungimea cozii
Clasificare după modul de funcționare:
deschis, adică fluxul de aplicații nu depinde de starea internă a QS;
închis, adică fluxul de intrare depinde de starea QS (un singur lucrător de reparații deservește toate canalele pe măsură ce eșuează).
QS multicanal cu așteptare
Sistem cu lungime limitată la coadă. Să luăm în considerare canal QS cu așteptare, care primește un flux de solicitări cu o intensitate ; intensitatea serviciului (pentru un canal) ; numărul de locuri la coadă
Stările sistemului sunt numerotate în funcție de numărul de aplicații, conectate de sistem:
fara coada:
- toate canalele sunt gratuite;
- un canal este ocupat, restul sunt libere;
- ocupat -canale, nu altele;
- toată lumea este ocupată -nu exista canale gratuite;
exista o coada:
- toate canalele n sunt ocupate; o aplicație este în coadă;
- toate n-canalele, r-cererile din coada sunt ocupate;
- Toate n-canalele, r-cererile din coadă sunt ocupate.
GSP este prezentat în Fig. 9. Fiecare săgeată este marcată cu intensitățile corespunzătoare ale fluxurilor de evenimente. Sistemul este deplasat întotdeauna de-a lungul săgeților de la stânga la dreapta de același flux de aplicații cu intensitate , urmând săgețile de la dreapta la stânga, sistemul este transferat printr-un flux de serviciu, a cărui intensitate este egală cu , înmulțit cu numărul de canale ocupate.
Orez. 9. QS multicanal cu așteptare
Probabilitatea de eșec.
(29)
Debitul relativ completează probabilitatea de eșec la unul:
Debit absolut al QS:
(30)
Numărul mediu de canale ocupate.
Numărul mediu de cereri din coadă poate fi calculat direct ca așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete:
(31)
Unde .
Din nou (expresia din paranteză) apare derivata sumei progresiei geometrice (vezi mai sus (23), (24) - (26)), folosind relația pentru aceasta, obținem:
Numărul mediu de aplicații în sistem:
Timp mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă.
(32)
La fel ca și în cazul unui QS cu un singur canal cu așteptare, rețineți că această expresie diferă de expresia pentru lungimea medie a cozii numai în factor , adică
.
Timpul mediu de păstrare a unei cereri în sistem, la fel ca pentru un QS cu un singur canal 
.
Sisteme cu lungime nelimitată la coadă. Am revizuit canal QS cu așteptare, când nu pot fi în coadă mai mult de m-cereri în același timp.
La fel ca înainte, atunci când se analizează sisteme fără restricții, este necesar să se ia în considerare relațiile obținute pentru .
Probabilitatea de eșec
Obținem numărul mediu de aplicații din coadă la din (31):
,
iar timpul mediu de așteptare este de la (32): 
.
Numărul mediu de aplicații .
Exemplul 2. Benzinărie cu două coloane (n = 2) deservește fluxul de trafic cu intensitate =0,8 (mașini pe minut). Durata medie de service pe mașină:
Nu există altă benzinărie în zonă, așa că șirul de mașini din fața benzinăriei poate crește aproape nelimitat. Găsiți caracteristicile QS.
SMO cu timp limitat asteptari. Anterior, am considerat sisteme cu așteptare limitată doar de lungimea cozii (numărul de m-cereri simultan în coadă). Într-un astfel de QS, o aplicație care a crescut într-o coadă nu o părăsește până nu așteaptă service-ul. În practică, există și alte tipuri de QS în care o aplicație, după ce a așteptat ceva timp, poate părăsi coada (așa-numitele aplicații „nerăbdătoare”).
Să considerăm un QS de acest tip, presupunând că constrângerea timpului de așteptare este o variabilă aleatorie.
Poisson „flux de plecări” cu intensitate:
Dacă acest flux este Poisson, atunci procesul care are loc în QS va fi Markovian. Să găsim probabilitățile de stare pentru aceasta. Numerotarea stărilor sistemului este asociată cu numărul de aplicații din sistem - atât deservite, cât și de stat la coadă:
fara coada:
- toate canalele sunt gratuite;
- un canal este ocupat;
- două canale sunt ocupate;
- toate canalele n sunt ocupate;
exista o coada:
- toate canalele n sunt ocupate, o cerere este în coadă;
- Toate canalele n sunt ocupate, cererile r sunt în coadă etc.
Graficul stărilor și tranzițiilor sistemului este prezentat în Fig. 10.
Orez. 10. QS cu timp de așteptare limitat
Să marchem acest grafic ca înainte; toate săgețile care conduc de la stânga la dreapta vor indica intensitatea fluxului de aplicații . Pentru statele fără coadă, săgețile care duc de la ele de la dreapta la stânga vor indica, ca și înainte, intensitatea totală a fluxului care deservește toate canalele ocupate. În ceea ce privește statele cu o coadă, săgețile care duc de la ele de la dreapta la stânga vor indica intensitatea totală a fluxului de servicii al tuturor canalelor n plus intensitatea corespunzătoare a fluxului de plecări din coadă. Dacă există r-cereri în coadă, atunci intensitatea totală a fluxului de plecări va fi egală cu .
Numărul mediu de aplicații în coadă: (35)
Fiecare dintre aceste aplicații este supusă unui „flux de plecări” cu intensitatea . Deci, de la medie -în medie, aplicațiile din coadă vor pleca fără a aștepta serviciul, -aplicațiile pe unitate de timp și total pe unitate de timp vor fi deservite în medie - aplicatii. Capacitatea relativă a QS va fi: 
Numărul mediu de canale ocupate mai obținem prin împărțirea capacității absolute a lui A la QS închis
Până acum am luat în considerare sisteme în care fluxul de intrare nu este în niciun fel legat de fluxul de ieșire. Astfel de sisteme se numesc buclă deschisă. În unele cazuri, solicitările deservite sunt din nou primite la intrare după o întârziere. Astfel de QS-uri sunt numite închise. O clinică care deservește o zonă dată, o echipă de muncitori repartizată unui grup de mașini, sunt exemple de sisteme închise.
Într-un QS închis circulă același număr finit de cerințe potențiale. Până când o cerință potențială a fost realizată ca cerere de serviciu, se consideră că se află într-un bloc de întârziere. În momentul implementării, acesta intră în sistem propriu-zis. De exemplu, lucrătorii întrețin un grup de mașini. Fiecare mașină este o cerință potențială, transformându-se într-una reală în momentul defecțiunii sale. În timp ce mașina funcționează, se află în blocul de întârziere, iar din momentul defecțiunii până la sfârșitul reparației, se află în sistemul propriu-zis. Fiecare lucrător este un canal de servicii. = =P 1 + 2 P 2 +…+(n- 1 )P n- 1 +n( 1 -P Intrarea unui QS cu trei canale cu defecțiuni primește un flux de solicitări cu o intensitate =4 solicitări pe minut, timp pentru deservirea unei cereri de către un canalt obsl=1/μ =0,5 min. Din punct de vedere al capacității QS, este profitabil să forțați toate cele trei canale să depună cereri de serviciu simultan, iar timpul mediu de service este redus de trei ori? Cum va afecta acest lucru timpul mediu petrecut de o aplicație în CMO?
Exemplul 2 . /μ=2, ρ/n =2/3<1.
Sarcina 3:
Doi muncitori operează un grup de patru mașini. Opririle unei mașini de lucru au loc în medie după 30 de minute. Timpul mediu de configurare este de 15 minute. Timpul de funcționare și de configurare este distribuit conform unei legi exponențiale.
Găsiți ponderea medie a timpului liber pentru fiecare lucrător și timpul mediu de funcționare al mașinii.
Găsiți aceleași caracteristici pentru un sistem în care:
a) fiecărui muncitor i se atribuie două utilaje;
b) doi muncitori întrețin întotdeauna mașina împreună, și cu intensitate dublă;
c) singura mașină defectă este întreținută de ambii muncitori simultan (cu intensitate dublă), iar când mai apare cel puțin o altă mașină defectă, aceștia încep să funcționeze separat, fiecare deservind câte o mașină (descrieți mai întâi sistemul din punct de vedere al proceselor de moartea şi naşterea).
Sistemul primește un flux Poisson de cereri cu intensitatea λ, fluxul de servicii are intensitatea μ, numărul maxim de locuri în coadă este T. Dacă o aplicație intră în sistem atunci când toate locurile din coadă sunt ocupate, aceasta lasă sistemul neservit.
Probabilitățile finale ale stărilor unui astfel de sistem există întotdeauna, deoarece numărul de stări este finit:
S 0 – sistemul este liber și în stare de repaus;
S 1 – o cerere este servită, canalul este ocupat, nu există coadă;
S 2 – o cerere este servită, una este la coadă;
S m +1 - o cerere este deservită, Tîn linie.
Graficul de stare al unui astfel de sistem este prezentat în Figura 5:
S 0 S 1 S 2 S m+1
μ μ μ ………. μ μ
Figura 5: QS cu un singur canal cu coadă limitată.
În formula pentru r 0 Să găsim suma unui număr finit de termeni ai unei progresii geometrice:
(52)
Ținând cont de formula pentru ρ, obținem expresia:
În paranteze sunt (m+2) elemente ale unei progresii geometrice cu primul termen 1 și numitorul ρ. Folosind formula pentru suma (m+2) termeni ai progresiei:
(54)
(55)
Formulele pentru probabilitățile stărilor limită vor arăta astfel:
Probabilitatea refuzului serviciului definim o solicitare ca fiind probabilitatea ca atunci când o solicitare ajunge în sistem, canalul acesteia să fie ocupat și toate locurile din coadă să fie de asemenea ocupate:
(57)
De aici probabilitatea serviciului(și, de asemenea, din lățimea de bandă a purtătorului) sunt egale cu probabilitatea evenimentului opus:
Debit absolut– numărul de aplicații deservite de sistem pe unitatea de timp:
(59)
Numărul mediu de aplicații aflate în serviciu:
(60)
(61)
Numărul mediu de aplicații în sistem:
(62)
Un QS cu un singur canal cu o coadă limitată poate fi luat în considerare în Mathcad.
Exemplu:
Parcarea deservește 3 mașini cu un debit de 0,5 și un timp mediu de serviciu de 2,5 minute. Determinați toți indicatorii sistemului.
6 Smo multicanal cu coadă nelimitată
Fie dat un sistem S, având n canale de servicii care primesc cel mai simplu flux de cereri cu intensitatea λ. Fie și fluxul de serviciu să fie cel mai simplu și să aibă intensitatea μ. Coada pentru service este nelimitată.
Prin numărul de aplicații din sistem, notăm stările sistemului: S 0 ,S 1 ,S 2 ,…,S k ,… S n , unde S k – starea sistemului atunci când există k cereri în el (numărul maxim de cereri în serviciu este n). Graficul de stare al unui astfel de sistem este reprezentat ca o diagramă în Figura 6:
λ λ λ λ λ λ λ
……. …….
S 0 S 1 S 2 S m+1 S n
μ 2μ 3μ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ
Figura 6: QS multicanal cu coadă nelimitată.
Intensitatea fluxului de serviciu variază în funcție de starea sistemului: kμ la trecerea de la starea S k în starea S k -1 deoarece oricare dintre k canale; după ce toate canalele sunt ocupate cu serviciul, intensitatea fluxului de serviciu rămâne egală pμ, la primirea altor cereri în sistem.
Pentru a găsi probabilitățile finale ale stărilor, obținem formule similare cu modul în care sa făcut pentru un sistem cu un singur canal.
(63)
Prin urmare, formulele pentru probabilitățile finale sunt exprimate prin
Pentru a găsi r 0 obținem ecuația:
Pentru termenii dintre paranteze, începând cu (n+ 2)-lea, puteți aplica formula pentru găsirea sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu primul termen 
și numitorul ρ/n:
(66)
În cele din urmă, obținem formula Erlang pentru găsirea probabilității de oprire a sistemului:
(67)
Să prezentăm formule pentru calcularea principalelor indicatori ai performanței sistemului.
Sistemul va face față fluxului de cereri dacă
condiție îndeplinită
,
(68)
ceea ce înseamnă că numărul de cereri primite de sistem pe unitatea de timp nu depășește numărul de cereri deservite de sistem în același timp. În același timp probabilitatea refuzului serviciului egal cu zero.
De aici probabilitatea de serviciu(și de asemenea debit relativ sisteme) sunt egale cu probabilitatea evenimentului opus, adică unitatea:
(69)
Absolutdebitului- numărul de aplicații deservite de sistem pe unitatea de timp:
(70)
Dacă sistemul face față fluxului de solicitări, atunci în modul staționar intensitatea scurgerii este egală cu intensitatea fluxului de aplicații care intră în sistem, deoarece toate aplicațiile sunt deservite:
ν=λ . (71)
Deoarece fiecare canal servește μ cereri pe unitate de timp, atunci numărul mediu de canale ocupate se poate calcula:
(72)
Medietimpserviciu canalul unei cereri ;
.
(73)
Probabilitatea ca o aplicație să fie în coadă la intrarea în sistem este egală cu probabilitatea ca să fie mai mult de n aplicatii:
(74)
Numărul de aplicații deservite egal cu numărul de canale ocupate:
(75)
Numărul mediu de aplicații în coadă:
(76)
Apoi medienumăraplicatiiin sistem:
(77)
Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem (în coadă):
(78)
(79)
Un QS multicanal cu o coadă nelimitată poate fi luat în considerare în sistemul Mathcad.
Exemplul 1:
Salonul de coafură are 5 coafore. În timpul orelor de vârf, intensitatea fluxului de clienți este de 6 persoane. La ora unu. Servirea unui client durează în medie 40 de minute. Determinați lungimea medie a cozii, presupunând că este nelimitată.
Fragment de rezolvare a unei probleme în Mathcad.
Exemplul 2:
Casa de bilete feroviară are 2 ferestre. Timpul pentru a servi un pasager este de 0,5 minute. Pasagerii se apropie de ghișeul de bilete în grupuri de 3. Determinați toate caracteristicile sistemului.
Fragment de rezolvare a unei probleme în Mathcad.
Continuarea rezolvării problemei în Mathcad.
În practică, destul de des există servicii medicale cu un singur canal cu o coadă (un medic care deservește pacienții; un telefon public cu o singură cabină; un computer care îndeplinește comenzile utilizatorilor). În teoria stării de așteptare, QS-ul cu un singur canal cu o coadă ocupă de asemenea un loc special (majoritatea formulelor analitice obținute până acum pentru sistemele non-Markov aparțin unui astfel de QS). Prin urmare, vom acorda o atenție deosebită QS-ului cu un singur canal cu o coadă.
Să existe un QS cu un singur canal cu o coadă la care nu se impun restricții (nici asupra lungimii cozii, nici asupra timpului de așteptare). Acest QS primește un flux de cereri cu intensitatea λ; fluxul de servicii are o intensitate μ, care este inversa timpului mediu de deservire a cererii tob. Este necesar să se găsească probabilitățile finale ale stărilor QS, precum și caracteristicile eficacității sale:
Lsyst - numărul mediu de aplicații din sistem,
Wsyst este timpul mediu pe care o cerere rămâne în sistem,
Loch - numărul mediu de aplicații în coadă,
Woch - timpul mediu în care o aplicație rămâne în coadă,
Rzan este probabilitatea ca canalul să fie ocupat (gradul de încărcare a canalului).
În ceea ce privește debitul absolut A și Q relativ, nu este nevoie să le calculați: datorită faptului că coada este nelimitată, fiecare cerere va fi deservită mai devreme sau mai târziu, deci A = λ, din același motiv Q = 1.
Soluţie. Ca și înainte, vom numerota stările sistemului în funcție de numărul de aplicații din QS:
S0 - canalul este gratuit,
S1 - canalul este ocupat (deservește o solicitare), nu există coadă,
S2 - canalul este ocupat, o cerere este în coadă,
Sk - canalul este ocupat, k - 1 aplicații sunt în coadă.
Teoretic, numărul de stări este nelimitat (infinit). Graficul de stare are forma prezentată în Fig. 4.11. Aceasta este o schemă de moarte și reproducere, dar cu un număr infinit de stări. De-a lungul tuturor săgeților, fluxul de cereri cu intensitatea λ mișcă sistemul de la stânga la dreapta și de la dreapta la stânga - fluxul de servicii cu intensitatea μ.
Orez. 4.11. Graficul de stări al unui QS sub forma unei scheme de moarte și reproducere cu un număr infinit de stări
În primul rând, să ne întrebăm, există probabilități finale în acest caz? La urma urmei, numărul de stări ale sistemului este infinit și, în principiu, pe măsură ce t→∞ coada poate crește la infinit! Da, așa este: probabilitățile finale pentru un astfel de QS nu există întotdeauna, ci doar atunci când sistemul nu este supraîncărcat. Se poate dovedi că dacă p este strict mai mic decât unu (p<1), то финальные вероятности существуют, а при р ≥ 1 очередь при t →∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы немного случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!
Dar să revenim la QS-ul nostru cu un singur canal cu o coadă nelimitată. Strict vorbind, am derivat formule pentru probabilitățile finale în schema morții și reproducerii numai pentru cazul unui număr finit de stări, dar le vom folosi pentru un număr infinit de stări. Să calculăm probabilitățile finale ale stărilor folosind formulele (4.21), (4.20). În cazul nostru, numărul de termeni din formula (4.21) va fi infinit. Obținem o expresie pentru p0:
undeProbabilitățile p1, p2, ..., pk, ... se găsesc după formulele:
de unde, ținând cont de (4.38), găsim în final:
p 1 = ρ(1 - ρ), = ρ2(1- ρ), . . ., pk= ρ4(1- ρ), . . . (4,39)
După cum puteți vedea, probabilitățile p0, p1, ..., pk, ... formează o progresie geometrică cu numitorul p. Destul de ciudat, maximul dintre ele p0 este probabilitatea ca canalul să fie complet liber. Indiferent cât de încărcat este un sistem cu o coadă, dacă poate face față fluxului de aplicații (p<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.
Să găsim numărul mediu de aplicații în sistemul QS L. Variabila aleatoare Z - numărul de aplicații din sistem - are valori posibile 0, 1, 2, ..., k, ... cu probabilități p0, p1, p2, ..., pk, ... Așteptările sale matematice sunt
| |
(suma nu se ia de la 0 la ∞, ci de la 1 la ∞, deoarece termenul zero este egal cu zero).
Să înlocuim expresia pentru рk (4.39) în formula (4.40):
Acum să luăm p (1 - p) din semnul sumei:
Aici aplicăm din nou un „mic truc”: kpk-1 nu este altceva decât derivata față de p din expresia pk; Mijloace,
Inversand operatiile de diferentiere si insumare obtinem:
Ei bine, acum aplicăm formula lui Little (4.25) și găsim timpul mediu în care o solicitare rămâne în sistem:
| |
Să găsim numărul mediu de aplicații din coada Loch. Vom raționa astfel: numărul de aplicații din coadă este egal cu numărul de aplicații din sistem minus numărul de aplicații aflate în service. Aceasta înseamnă (conform regulii de adăugare a așteptărilor matematice), numărul mediu de aplicații din coada Loch este egal cu numărul mediu de aplicații din sistemul Lsyst minus numărul mediu de aplicații aflate în serviciu. Numărul de solicitări în serviciu poate fi fie zero (dacă canalul este liber), fie unul (dacă este ocupat). Așteptarea matematică a unei astfel de variabile aleatoare este egală cu probabilitatea ca canalul să fie ocupat (l-am notat Rzan). Evident, Pzan este egal cu unu minus probabilitatea p0 ca canalul să fie liber:
si in sfarsit
Astfel, au fost găsite toate caracteristicile eficacității QS.
Să invităm cititorul să rezolve singur un exemplu: un QS cu un singur canal este o stație de triaj feroviar, care primește cel mai simplu flux de trenuri cu o intensitate de λ = 2 (trenuri pe oră). Întreținerea (desființarea) trenului durează un timp (indicativ) aleatoriu cu o valoare medie de tob = 20 (min.). Parcul de sosire al stației are două șine pe care trenurile care sosesc pot aștepta serviciul; dacă ambele linii sunt ocupate, trenurile sunt forțate să aștepte pe șinele exterioare. Este necesar să se găsească (pentru modul de limitare, staționar de funcționare al stației): numărul mediu de trenuri Lsistemul asociat cu stația, timpul mediu Wsistem în care trenul rămâne în gară (pe șine interne, pe șine externe și sub serviciu), numărul mediu de trenuri Lof care așteaptă la coadă pentru desființare (nu contează ce linii), timpul mediu în care trenul rămâne în linie. În plus, încercați să găsiți numărul mediu de trenuri care așteaptă să fie desființate pe liniile externe Lext și timpul mediu al acestei așteptări Wext (ultimele două valori sunt legate prin formula lui Little). În cele din urmă, găsiți amenda zilnică totală Sh pe care gara va trebui să o plătească pentru timpul de oprire a trenului pe șinele externe, dacă stația plătește o amendă de (ruble) pentru o oră de oprire a unui tren. Pentru orice eventualitate, raportăm răspunsurile: Lcist = 2 (tren), Wsyst = i (oră), Loch = 4/3 (tren), Woch = 2/3 (ore), Lext = 16/27 (tren), Wext = 8 /27 ≈ 0,297 (ore). Amenda medie zilnică Ш pentru așteptarea trenurilor pe șine externe se obține prin înmulțirea numărului mediu de trenuri care sosesc în gară pe zi, a timpului mediu de așteptare a trenurilor pe șinele externe și a amenda orară а: Ш ≈ 14,2а.
QS multicanal cu coadă nelimitată
Să luăm în considerare problema. Disponibil QS cu canale n cu coadă nelimitată. Fluxul de cereri care intră în QS are intensitatea l, iar fluxul de servicii are intensitatea m. Este necesar să se găsească probabilitățile limită ale stărilor QS și indicatorii eficacității acestuia.
Sistemul poate fi în una dintre stările S0, S1, S2, ..., Sk .., Sn, ..., numerotate în funcție de numărul de solicitări din QS: S0 -- nu există cereri în sistem (toate canalele sunt gratuite); S -- un canal este ocupat, restul sunt libere; S2-- două canale sunt ocupate, restul sunt libere; Sk -- k canale sunt ocupate, restul sunt libere; Sn -- toate cele n canale sunt ocupate (fără coadă); Sn+1 -- toate cele n canale sunt ocupate, există o cerere în coadă; Sn+r -- toate cele n canale sunt ocupate, r aplicații sunt în coadă.
Graficul stării sistemului este prezentat în Figura 7. Rețineți că, spre deosebire de QS-ul precedent, intensitatea fluxului de servicii (transferând sistemul de la o stare la alta de la dreapta la stânga) nu rămâne constantă, ci pe măsură ce numărul de solicitări din QS crește de la 0 la n crește de la m la n??, deoarece numărul de canale de servicii crește în mod corespunzător. Când numărul de solicitări din QS este mai mare decât n, intensitatea fluxului de servicii rămâne egală cu nm.
Figura 7 - Graficul de stare al unui QS multicanal
Se poate arăta că pentru c/n< 1 предельные вероятности существуют. Если с/n ? 1, очередь растет до бесконечности. Используя формулы (20) и (21) для процесса гибели и размножения, можно получить следующие формулы для предельных вероятностей состояний n-канальной СМО с неограниченной очередью
Probabilitatea ca o aplicație să fie în coadă este
Pentru un QS cu canale n cu o coadă nelimitată, folosind tehnici anterioare, se pot găsi:
numărul mediu de canale ocupate
numărul mediu de aplicații din sistem
Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în coadă și timpul mediu pe care o aplicație rămâne în sistem, ca și înainte, sunt găsite folosind formulele lui Little (48) și (49).
Comentariu. Pentru un QS cu o coadă nelimitată cu< 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа Ротк = 0, Q=1, а равна интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = л.
QS cu coadă limitată
Întrebările cu o coadă limitată diferă doar prin aceea că numărul de aplicații din coadă este limitat (nu poate depăși un anumit m specificat). Dacă o nouă solicitare sosește într-un moment în care toate locurile din coadă sunt ocupate, aceasta lasă QS-ul neservit, de exemplu. este respins.
QS cu un singur canal cu lungime limitată la coadă
Limită probabilități:
Probabilitatea de eșec:
Debit absolut
Lățimea de bandă relativă
Numărul mediu de aplicații în coadă
Număr mediu de solicitări în serviciu (număr mediu de canale ocupate)
Numărul mediu de aplicații în sistem
QS multicanal cu coadă limitată
Limită probabilități:
Probabilitatea de eșec:
Debit absolut
Lățimea de bandă relativă
Numărul mediu de aplicații în coadă
Număr mediu de solicitări în serviciu (număr mediu de canale ocupate)
Luați în considerare un QS cu mai multe canale (pag> 1), a cărui intrare primește un flux Poisson de cereri cu intensitate și intensitatea serviciului fiecărui canal este p, numărul maxim posibil de locuri în coadă este limitat de valoarea T. Stările discrete ale QS sunt determinate de numărul de cereri primite de sistem, care pot fi notate:
Sq - toate canalele sunt gratuite, k = 0;
S- doar un canal este ocupat (oricare), k = 1;
*5*2 - doar două canale (oricare) sunt ocupate, k = 2;
S n- toata lumea este ocupata n canale, k = p.
În timp ce QS se află în oricare dintre aceste stări, nu există nicio coadă. După ce toate canalele de servicii sunt ocupate, solicitările ulterioare formează o coadă, determinând astfel starea ulterioară a sistemului:
S n + - toată lumea este ocupată n canale și o aplicație este în coadă, k = n + 1;
S n +2 - toată lumea este ocupată n canale și două aplicații sunt în coadă, k = n + 2;
S n+m - toată lumea este ocupată n frânghii și tot T locuri la rând k = n + m.
Stați graficul și canalul SMO Cu coadă, limitat Tîn unele locuri, prezentate în fig. 5.18.
Trecerea QS la o stare cu numere mari este determinată de fluxul de solicitări primite cu o intensitate
Orez. 5.18
întrucât, în funcție de condiție, aceștia participă la soluționarea acestor cereri n canale identice cu o intensitate a fluxului de serviciu egală cu p pentru fiecare canal. În acest caz, intensitatea totală a fluxului de serviciu crește odată cu conectarea de noi canale până la această stare Sn, când totul n canalele vor fi ocupate. Odată cu apariția cozii, intensitatea serviciului nu mai crește, deoarece a atins deja valoarea maximă egală cu ph.
Să scriem expresii pentru probabilitățile limită ale stărilor
Expresia pentru rho poate fi transformată folosind formula de progresie geometrică pentru suma termenilor cu numitorul p /p:
Formarea unei cozi este posibilă atunci când o aplicație nou primită găsește în sistem cel puțin n cerințe, adică când va fi sistemul p, p + 1, n + 2, (pag + T- 1) cerințe. Aceste evenimente sunt independente, astfel încât probabilitatea ca toate canalele să fie ocupate este egală cu suma probabilităților corespunzătoare. r yu Rp+bPp+2 > ->Рп+т- 1- Prin urmare, probabilitatea formării cozii este
Posibilitatea de refuzare a serviciului apare atunci când toate n canale și tot T locurile la rând sunt ocupate
Debitul relativ va fi egal cu
Debit absolut
Numărul mediu de canale ocupate
Numărul mediu de canale inactive
Factor de ocupare a canalului (utilizare).
Raportul timpului de nefuncționare al canalului
Numărul mediu de aplicații din cozi
în cazul în care r/p = 1, această formulă ia o formă diferită:
Timpul mediu de așteptare într-o coadă este determinat de formulele lui Little 
Timpul mediu pe care o aplicație rămâne în QS, ca și pentru un QS cu un singur canal, este mai mare decât timpul mediu de așteptare în coadă cu timpul mediu de serviciu egal cu 1/p, deoarece aplicația este întotdeauna deservită de un singur canal:
Exemplul 5.21. Minimarketul primește un flux de clienți cu o intensitate de șase clienți pe minut, care sunt deserviți de trei casiere cu o intensitate de doi clienți pe minut. Lungimea cozii este limitată la cinci clienți. Determinați caracteristicile QS și evaluați performanța acestuia.
Soluţie
n = 3; T = 5; X =6; p = 2; p =X/x = 3; r/p = 1.
Găsim probabilitățile limită ale stărilor QS:
Ponderea timpului de nefuncționare pentru casierii
Probabilitatea ca un singur canal să fie ocupat cu service este
Probabilitatea ca două canale să fie ocupate cu service este
Probabilitatea ca toate cele trei canale să fie ocupate este
Probabilitatea ca toate cele trei canale și cinci locuri din coadă să fie ocupate este
Probabilitatea refuzului serviciului apare atunci când k = t + n = = 5 + 3 = 8 și este р$ = р OTK = 0,127.
Capacitățile relative și absolute ale QS sunt, respectiv, egale Q = 1 - r deschis= 0,873 și L = 0,873A. = 5,24 (clienți/min).
Numărul mediu de canale ocupate și lungimea medie a cozii sunt:
Timpul mediu de așteptare în coada n ședere în QS este în mod corespunzător egal cu:
Sistemul de service al minimarket-ului merită laude, deoarece lungimea medie a cozii și timpul mediu pe care un client îl petrece în coadă sunt mici.
Exemplul 5.22. În medie, vehiculele cu produse din fructe și legume ajung la depozitul de fructe și legume la fiecare 30 de minute. Timpul mediu de descărcare a unui camion este de 1,5 ore. Descărcarea este efectuată de două echipe de încărcătoare. Pe teritoriul bazei nu pot fi aliniate mai mult de patru vehicule la debarcader, în așteptarea descărcarii. Vom determina indicatorii și vom evalua performanța QS.
Soluţie
SMO cu două canale, n= 2 cu număr limitat de locuri la rând m= 4, intensitatea fluxului de intrare l. = 2 av/h, intensitatea serviciului c = 2/3 av/h, intensitatea sarcinii p = A./p = 3, r/p = 3/2 = 1,5.
Determinăm caracteristicile QS:
Probabilitatea ca toate echipajele să nu fie încărcate atunci când nu există vehicule este
Probabilitatea de eșec atunci când sunt două mașini sub descărcare și patru mașini în coadă este
Numărul mediu de mașini la coadă
Cota de oprire a încărcătorilor este foarte mică și se ridică la doar 1,58% din timpul de lucru, iar probabilitatea de refuz este mare - 36% din cererile primite sunt refuzate la descărcare, ambele echipe sunt aproape complet ocupate, coeficientul de angajare este aproape de unu. și egal cu 0,96, relativ debitul este scăzut - doar 64% din aplicațiile primite vor fi deservite, lungimea medie a cozii este de 2,6 mașini, prin urmare, SM O nu poate face față îndeplinirii cererilor de service și este necesar să să mărească numărul de echipe de încărcători și să folosească mai mult capacitățile debarcaderului.
Exemplul 5.23. O companie comercială primește legume timpurii din serele unei ferme de stat suburbane la momente aleatorii cu o intensitate de 6 unități. pe zi. Camere utilitare, echipamente și resurselor de muncă vă permit să procesați și să depozitați produse într-un volum de 2 unități. Compania are patru persoane, fiecare dintre acestea, în medie, poate procesa produsele unei livrări în termen de 4 ore munca in schimburi este de 12 ore Care ar trebui să fie capacitatea depozitului pentru ca prelucrarea completă a produselor să fie de cel puțin 97% din numărul livrărilor efectuate?
Soluţie
Să rezolvăm problema determinând secvenţial indicatorii QS pentru diferite valori ale capacităţii de stocare T= 2, 3, 4, 5 etc. și comparație la fiecare etapă de calcul a probabilității de serviciu cu o valoare dată р 0 ()С = 0,97.
Determinați intensitatea sarcinii:
Găsim probabilitatea, sau fracțiunea de timp, a timpului de nefuncționare pentru t = 2:
Probabilitatea de refuzare a serviciului sau proporția de aplicații pierdute,
Probabilitatea de serviciu sau proporția de cereri deservite din cele primite este
Deoarece valoarea obținută este mai mică decât valoarea specificată de 0,97, continuăm calculele pentru T= 3. Pentru această valoare, indicatorii stărilor QS au valorile
Probabilitatea de serviciu în acest caz este, de asemenea, mai mică decât valoarea specificată, așa că continuăm calculele pentru următorul t = 4, pentru care indicatorii de stare au următoarele valori: p$ = 0,12; Rotk = 0,028; Pofc = 0,972. Acum valoarea obținută a probabilității de serviciu satisface condițiile problemei, deoarece 0,972 > 0,97, prin urmare, capacitatea depozitului trebuie mărită la un volum de 4 unități.
Pentru a obține o anumită probabilitate de servire, puteți selecta în același mod numărul optim de persoane care să proceseze legume, calculând secvențial indicatorii QS pentru n = 3, 4, 5 etc. O soluție de compromis poate fi găsită prin compararea și contrastarea pentru diferite opțiuni pentru organizațiile CMO a costurilor asociate atât cu creșterea numărului de angajați, cât și cu crearea unui echipamente tehnologice ci prelucrarea legumelor într-o întreprindere comercială.
Astfel, modelele de coadă combinate cu metode economice stabilirea sarcinilor vă permite să analizați QS-urile existente, să dezvoltați recomandări pentru reorganizarea lor pentru a îmbunătăți eficiența operațională și, de asemenea, să determinați indicatorii optimi ai QS-urilor nou create.
Exemplul 5.24. În medie, nouă mașini ajung la o spălătorie pe oră, dar dacă sunt deja patru mașini la coadă, clienții nou sosiți, de regulă, nu se alătură la coadă, ci trec pe lângă. Timpul mediu pentru a spăla o mașină este de 20 de minute și există doar două locuri pentru a o spăla. Costul mediu al spălării unei mașini este de 70 de ruble. Determinați pierderea medie de venituri pentru o spălătorie auto în timpul zilei.
Soluţie
X= 9 mașini/h; = 20 min; p = 2;t = 4.
Găsirea intensității sarcinii 
Determinarea procentului de nefuncţionare a spălătoriei auto
Probabilitatea de eșec
Capacitatea relativă este egală cu Capacitatea absolută Numărul mediu de mașini în coadă
Numărul mediu de aplicații deservite
Timp mediu de așteptare la coadă
Timpul mediu pe care îl petrece o mașină la o spălătorie
Astfel, 34% dintre aplicații nu vor fi deservite, pierderea pentru 12 ore de lucru într-o zi se va ridica la o medie de 2570 de ruble. (12*9* 0,34 70), adică 52% din veniturile totale, deoarece r deschis = 0,52 p 0 ^ s.
- debit relativ sau probabilitate de serviciu, debit absolut, număr mediu de echipaje ocupate, rata de ocupare a echipajelor de încărcare
