Содержание 1. Введение слайд 2. Начало изучения слайд 3. Этапы изучения слайд 4. Группы функций слайд 5. Определение и график синуса слайд 6. Определение и график косинуса слайд 7. Определение и график тангенса слайд 8. Определение и график котангенса слайд 9. Обратные тр-ие функции слайд 10. Основные формулы слайд 11. Значение тригонометрии слайд 12. Используемая литература слайд 13. Автор и составитель слайд
В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции. Это имеет не только математико-исторический, но и методико- педагогический интерес. В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции. Это имеет не только математико-исторический, но и методико- педагогический интерес.
В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как функций числового аргумента уделяется большое внимание в школьном курсе алгебры и начал анализа. Существует несколько различных подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе, и учитель, особенно начинающий, легко может запутаться в том, какой подход является наиболее подходящим. А ведь тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения всех свойств функций (до применения производной), а в особенности такого свойства многих природных процессов как периодичность. Поэтому их изучению следует уделить пристальное внимание.
Кроме того, большие трудности при изучении темы «Тригонометрические функции» в школьном курсе возникают из-за несоответствия между достаточно большим объемом содержания и относительно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы. Таким образом, проблема этой исследовательской работы состоит в необходимости устранения этого несоответствия за счет тщательного отбора содержания и разработки эффективных методов изложения данного материала. Объектом исследования является процесс изучения функциональной линии в курсе старшей школы. Предмет исследования - методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры и начала анализа в классе.
Тригонометрические функции Тригонометрические функции математические функции от угла. Они важны при изучении геометрии, а также при исследовании периодических процессов. Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности. Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на произвольные вещественные числа и даже на комплексные числа.математическиефункцииуглагеометрии периодическихпроцессовотношения прямоугольного треугольникадлины отрезковединичной окружности суммы рядов дифференциальных уравнений вещественные числакомплексные числа
В изучении тригонометрических функций можно выделить следующие этапы: I. Первое знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в геометрии. Значение аргумента рассматривается в промежутке (0о;90о). На этом этапе учащиеся узнают, что sin, сos, tg и ctg угла зависят от его градусной меры, знакомятся с табличными значениями, основным тригонометрическим тождеством и некоторыми формулами приведения. II. Обобщение понятий синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов (0о;180о). На этом этапе рассматривается взаимосвязь тригонометрических функций и координат точки на плоскости, доказываются теоремы синусов и косинусов, рассматривается вопрос решения треугольников с помощью тригонометрических соотношений. III. Введение понятий тригонометрических функций числового аргумента. IV. Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях числа, рассмотрение графиков функций, проведение исследования, в том числе и с помощью производной.
Существует несколько способов определения тригонометрических функций. Их можно подразделить на две группы: аналитические и геометрические. 1.К аналитическим способам относят определение функции у = sin х как решения дифференциального уравнения f (х)=-c*f(х) или как сумму степенного ряда sin х = х - х3 /3!+ х5 /5! - … 2. К геометрическим способам относят определение тригонометрических функций на основе проекций и координат радиус- вектора, определение через соотношения сторон прямоугольного треугольника и определения с помощью числовой окружности. В школьном курсе предпочтение отдается геометрическим способам в силу их простоты и наглядности.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Графики тригонометрических функций Функция у = sin x, ее свойства Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения Для любознательных…
тригонометрические функции Графиком функции у = sin x является синусоида Свойства функции: D(y) =R Периодическая (Т=2 ) Нечетная (sin(-x)=-sin x) Нули функции: у=0, sin x=0 при х = n, n Z y=sin x
тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 5. Промежутки знакопостоянства: У >0 при х (0+2 n ; +2 n) , n Z У
тригонометрические функции Свойства функции у= sin x 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках вида: - /2 +2 n ; / 2+2 n n Z y = sin x
тригонометрические функции Свойства функции у= sin x Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках вида: /2 +2 n ; 3 / 2+2 n n Z y=sin x
тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 7. Точки экстремума: Х мах = / 2 +2 n , n Z Х м in = - / 2 +2 n , n Z y=sin x
тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 8 . Область значений: Е(у) = -1;1 y = sin x
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций График функции у = f (x +в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс График функции у = f (x)+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций Постройте график Функции у = sin(x+ /4) вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y =sin (x+ /4) Постройте график функции: y=sin (x - /6)
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y = sin x + Постройте график функции: y =sin (x - /6)
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y= sin x + Постройте график функции: y=sin (x + /2) вспомнить правила
тригонометрические функции Графиком функции у = cos x является косинусоида Перечислите свойства функции у = cos x sin(x+ /2)=cos x
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при 0
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=sin2x y=sin4x Y=sin0.5x вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = cos2x y = cos 0.5x вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Графики функций у = -f (kx) и у=- k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = - sin (kx) косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx)
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = - sin3x y = sin3x вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=2cosx y=-2cosx вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx+b) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в /k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k>1) или растяжения в k раз (при 0
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Y= cos(2x+ /3) y=cos(x+ /6) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) Y= cos(2x+ /3) y=cos2x вспомнить правила
тригонометрические функции Для любознательных… Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций: y = 1 / cos x или y=sec x (читается секонс) y = cosec x или y= 1/ sin x читается косеконс
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
ЦОР «Преобразование графиков тригонометрических функций» 10-11 классы
Раздел учебной программы:«Тригонометрические функции».Тип урока:цифровой образовательный ресурс комбинированного урока алгебры. По форме изложения материала:Комбинированный (универсальный) ЦОР со...
Методическая разработка урока по математике:«Преобразование графиков тригонометрических функций»
Методическая разработка урока по математике: «Преобразование графиков тригонометрических функций» для учащихся десятого класса. Урок сопровождается презентацией....
Графики тригонометрических функций Функция у = sin x, ее свойства Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения Для любознательныхДля любознательных…
Тригонометрические функции3 Свойства функции у = sin x 5. Промежутки знакопостоянства: У>0 при х (0+2 n; +2 n), n Z У 0 при х (0+2 n; +2 n), n Z У"> 0 при х (0+2 n; +2 n), n Z У"> 0 при х (0+2 n; +2 n), n Z У" title="тригонометрические функции3 Свойства функции у = sin x 5. Промежутки знакопостоянства: У>0 при х (0+2 n; +2 n), n Z У"> title="тригонометрические функции3 Свойства функции у = sin x 5. Промежутки знакопостоянства: У>0 при х (0+2 n; +2 n), n Z У">
Тригонометрические функции8 Преобразование графиков тригонометрических функций График функции у = f (x+в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс График функции у = f (x)+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат
1) вдоль оси ординат График функции у = k f" title="тригонометрические функции14 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у =k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f" class="link_thumb"> 14 тригонометрические функции14 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у =k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при 0 1) вдоль оси ординат График функции у = k f"> 1) вдоль оси ординат График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при 0"> 1) вдоль оси ординат График функции у = k f" title="тригонометрические функции14 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у =k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f"> title="тригонометрические функции14 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у =k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f">
1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) " title="тригонометрические функции16 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) " class="link_thumb"> 16 тригонометрические функции16 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0 1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) "> 1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0"> 1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) " title="тригонометрические функции16 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) "> title="тригонометрические функции16 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) ">
Тригонометрические функции18 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Графики функций у = -f (kx) и у=-k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = - sin (kx) косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx)
Тригонометрические функции21 Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx+b) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в/k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k>1) или растяжения в k раз (при 0
1) или растяжения в k раз (при 0">
«Тригонометрические функции »
«Скажи мне, и я забуду, Покажи мне, и я запомню, Вовлеки меня, и я научусь». (Китайская пословица)
Учитель математики
Самолысова Т.В.
МБОУ Страшевичская СОШ
![](https://i0.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_1.jpg)
![](https://i2.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_2.jpg)
![](https://i2.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_3.jpg)
![](https://i0.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_4.jpg)
![](https://i1.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_5.jpg)
![](https://i2.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_6.jpg)
График, какой функции изображен на рисунке:
3)y = tg x 4)y = ctg x
![](https://i2.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_7.jpg)
«Тригонометрические функции» нужны в каждой профессии.»
1. Сварщики (При подготовке металла к сварке и резке)
2. Электрики (При изучении электромагнитных волн – гармонические колебания)
3. Автомеханики (При изучении балансировки колес, резонансных систем автомобиля)
4. Мастера отделочных работ (При креативной покраске стен)
![](https://i1.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_8.jpg)
Автомеханики. Дан график колебаний поршня двигателя автомобиля. Определить период колебания (T). График какой функции изображён на рисунке?
![](https://i0.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_9.jpg)
Электромонтер.
Дан график колебаний в колебательном контуре радиопередатчика. Определить напряжение (U) и период колебания (T). График какой функции изображён на рисунке?
![](https://i1.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_10.jpg)
« Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед » (А. Нивен)
![](https://i2.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_11.jpg)
1)Найти область определения функции:
2)Найти множество значений функции:
y=12sinx - 5cosx
3)Найти наименьший положительный период функций
Решение задач
![](https://i0.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_12.jpg)
Решение задач
Построить графики функций:
![](https://i1.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_13.jpg)
Решить графически неравенство cos x ≤ sin x
Ответ: П/4+2Пn≤X≤5П/4+2Пn, n Z
![](https://i2.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_14.jpg)
Самостоятельная работа
Счастливая случайность выпадает лишь на долю подготовленных умов Луи Пастер
![](https://i2.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_15.jpg)
Мышление начинается с удивления Аристотель
![](https://i0.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_16.jpg)
Тригонометрия в ладони
![](https://i1.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_17.jpg)
На экране физических приборов.
![](https://i0.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_18.jpg)
Движение по синусоиде
Данный график часто используется в жизни. В частности есть даже такое выражение движение по синусоиде.
![](https://i0.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_19.jpg)
В строительстве
![](https://i0.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_20.jpg)
Синусоиду можно встретить в природе
![](https://i0.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_21.jpg)
Подведение итогов
Стали выше еще на одну ступеньку в изучении математики
Нашли связь между ………….. И …………….
Повторили …………….
![](https://i2.wp.com/fsd.kopilkaurokov.ru/uploads/user_file_54fc3be6a1310/img_user_file_54fc3be6a1310_22.jpg)
Домашнее задание
1. Составить кроссворд по данной теме.
2.Найдите период функции y = 3*cos (x + π /4)
3. Построить график функции у = cos(х + π/4) + 1
Cлайд 1
Cлайд 2
![](https://i1.wp.com/bigslide.ru/images/7/6656/389/img1.jpg)
Cлайд 3
![](https://i1.wp.com/bigslide.ru/images/7/6656/389/img2.jpg)
Cлайд 4
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/7/6656/389/img3.jpg)
Cлайд 5
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/7/6656/389/img4.jpg)
Cлайд 7
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/7/6656/389/img6.jpg)
Cлайд 8
![](https://i1.wp.com/bigslide.ru/images/7/6656/389/img7.jpg)
Cлайд 9
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/7/6656/389/img8.jpg)
Cлайд 10
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/7/6656/389/img9.jpg)
Cлайд 11
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/7/6656/389/img10.jpg)
Cлайд 12
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/7/6656/389/img11.jpg)
Cлайд 13
![](https://i0.wp.com/bigslide.ru/images/7/6656/389/img12.jpg)
Cлайд 14
![](https://i2.wp.com/bigslide.ru/images/7/6656/389/img13.jpg)